二次函數在高中階段的應用

在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質的(圖象以及單調性、奇偶性、有界性)靈活應用，對二次函數還需再深入的學習。

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是以二次函數為例來加以更深層次的認識函數這個概念。二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素x對應，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題:

類型I:已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+1)

這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ:設f(x+1)=x2-4x+1，求f(x).

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則。一般有兩種方法:

(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6

(2)變量代換:它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴t=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而f(x)=x2-6x+6

二、二次函數的單調性，最值與圖象

(1)y=x2+2x-1-1

(2)y=x2-1

(3)y=x2+2x-1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ:設f(x)=x2-2x-1在區間[t，t+1]上的最小值是g(t)。求:g(t)并畫出y=g(t)的圖象

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2

當t>1時，g(t)=f(t)=t2-2t-1

當t<0時，g(t)=f(t+1)=t2-2

g(t)=t2-2，(t<0)-2，(0≤t≤1)t2-2t-1，(t>1)

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面的知識，可以再給學生補充一些練習。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求該函數的值域。

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中來多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。

作者單位:河北省豐南區第二中學