解直角三角形在測距問題中的應用

初中數學中的函數應用——解直角三角形，為我們提供了一個解決實際問題，特別是測高(如旗桿、房屋、山高、樹木等的高度)、測寬(如河流的寬度)、定點施工等一系列距離測量與計算的有效平臺.本文著重對這一問題的幾種常見題型作一簡短歸納.

1. 單直角三角形類型.這是指問題的解決，可以歸納在一個直角三角形中利用三角函數求得三角形的邊長.這是測距問題中最簡單的模型.通過對這一類型的學習，讓學生進一步熟悉直角三角形中邊角之間的數量關系，并能運用這些關系解決一些實際問題，從而激發學習興趣.

例1 如圖1，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α= 16°31′.求飛機A到指揮臺B的距離.

分析 :這里只有一個直角三角形，求解十分簡單，只要利用∠B=α= 16°31′，再運用銳角三角函數sin∠B=■，代入數據得sin16°31′=■，即可求出AB，雖然它不是測量高度，但也可理解為測高(測距)類型題.

2. 單直角三角形加矩形類型.這是最簡單的測高模型，利用簡單的工具(如量角器)，依靠目測，可大致測得仰角.通過讓學生直接參與測量活動，不但能使學生掌握數學知識，更能培養學生動腦、動手，學以致用的能力與習慣.

例2 身高1.5米的小剛想測量學校旗桿AB有多高，為此他在離B點10米遠的地方C用量角器測得A點的仰角為60°(如圖2)，你能否幫他算算旗桿AB的高度.

分析:這是一道簡單的測高模型問題，它由一個Rt△ADE和一個矩形BCDE組成，我們只要在Rt△ADE中利用三角函數tan60°=■=■，求出AE，再把AE與身高EB=1.5相加即可得旗桿AB的高.

3. 雙直角三角形類型.這是指問題的解決不能單純在一個直角三角形中，而是在兩個直角三角形中，兩次運用三角函數求得三角形的邊長，必要時需添加輔助線.通過對這一類型的學習，培養學生比較、分析和想象能力，在解決測量問題時，能因地制宜設計出測量的方案，能將一些較復雜的動態問題，轉化成靜止的數學模型，培養學生的數學建模能力.

例3 建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC 40m的D處觀察頂部A的仰角為50°，觀察旗桿底部B的仰角為45°.求旗桿的高度(圖3).

分析:這里存在Rt△ADC和Rt△BDC，分別利用tan50°=■和tan45°=■，求得AC、BC，再用AB=AC-BC即得旗桿的高度.

4. 雙直角三角形加矩形類型.這是一個常見的測高模型，里面含有兩個直角三角形與矩形(當然，根據具體問題的不同，不一定需要矩形).在現實生活中，很多難度比較大的問題，如測量物體高度、測距、航海、攔水壩、人字架等問題的解決，都可以轉化為這一類型.

例4 如圖4，為測量河對岸某建筑物AB的高度，在平地C處測得建筑物頂端A的仰角α為30°，沿CB方向前進n=12米到達D處，在D處測得建筑物頂端A的仰角β為60°，設測角儀高度為1.5米.求建筑物的高度.

分析:這是一個常見的測高模型，里面含有兩個直角三角形與矩形，它有一定的解題方法:一般地，我們可以在“里面”的Rt△ABD中“設”(設未知數):也就是利用tanβ=■，代入數據得 tan60°=■=■，故設AB=■x，DB=x，從而CB=CD+DB=n+x=12+x;而在“外面”Rt△ABC中“列”(列方程):即利用tanα=■，代入數據得 tan30°=■=■，解方程求得x，進而代入可求出AB=■x，最后加上測角儀的高度BB′即可求得建筑物的高度.

5. 定點施工問題.實際上也是測距問題，是考查學生解決實際問題能力的中考熱點題，是解直角三角形的實際應用.此類題列式和求解過程一般比較簡單.關鍵是理解應用性試題所描述的實際含義，掌握已測與所求之間的關系，要能根據題意正確畫圖或識圖.

例5 如圖5，沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC方向上的一點B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點E離D多遠正好能使A、C、E成一直線.

分析:這是定點施工問題，設計上也是測距問題.這里∠E=∠ABD-∠D=140°-50°=90°，所以利用三角函數的cos50°=■，即可求出DE，從而可以定出施工點E的位置，使A、B、C、E在同一直線上.

責任編輯 羅 峰