同時優化權值和初始值的PGM(1,1)模型

羅圣敏 ，陳鵬宇

(1.清遠職業技術學院，廣東 清遠 511500；2.中山大學，廣州 510275；3.中國地質大學（武漢）工程學院，武漢 430074)

0 引言

灰色預測模型是灰色理論的重要組成部分，而GM(1,1)模型是灰色預測模型中最基本的預測模型，已經在許多領域得到了廣泛應用[1～3]。但是GM(1,1)模型在許多情況下預測精度并不高，即使擬合純指數序列也得不到滿意的結果，因此一些學者對其進行了研究。劉思峰研究了GM(1,1)模型的適用范圍[4]，張小璇指出GM(1,1)模型的白化響應式并不是其灰微分方程的真正解[5]，其他還有一些學者做了大量有意義的研究[6～8]，每一種研究對于提高灰色預測模型的精度都有一定的意義。本文將從分析GM(1,1)模型的缺陷出發，對PGM(1,1)模型[9]的背景值構造進行分析，證明PGM(1,1)模型中存在權值p使模型能避免GM(1,1)模型中的缺陷，并以模式搜索法求解最佳權值p以及優化初始值，以期提高PGM(1,1)模型的預測精度。

1 GM(1,1)模型的缺陷

令x(0)為GM(1,1)建模序列：

x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))

令 x(1)為 x(0)的 AGO 序列：

x(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))

x(1)(1)=x(0)(1)

令 z(1)為 x(1)的均值(MEAN)序列：

則GM(1,1)的定義型，即GM(1,1)的灰微分方程模型為

其中a為發展系數，b為灰作用量，是微分方程的參數。灰微分方程白化型為

GM(1,1)白化型響應式為

由最小二乘法，可以求得參數

[a b]T=(BTB)-1BTY

其中

將式（1）代入式（2）有

將 x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)代入式（4）有

整理得

將式（5）中k變為k+1有

取 x(1)(1)=x(0)(1)，由式（6）遞推有

只考慮前四項，則

2 PGM(1,1)模型的建模機理及分析

PGM(1,1)模型相對于GM(1,1)模型的改變僅為背景值的構造不同，其背景值構造為

將式（8）代入式（2）有

整理上式有

取 x(1)(1)=x(0)(1)，由式（10）遞推有

以指數序列x(0)(k)=ck累加后代入式（9）以最小二乘法可求得

此時有

將上式代入式（3）有

累減有

證畢。

因此PGM(1,1)模型不僅存在權值使模型可以避免白化時額外增加的誤差，該權值還可以使模型滿足白指數律，但是由于p值與a值有關，尋找一個 p值使

成立并不容易，通常權值p的求解方法如下：p從0.01開始，每次遞增0.01，按PGM(1,1)的建模步驟，依次求出對應的殘差平方和，直到p=0.99為止，通過比較找到最小的殘差平方和及其對應的p值，即為最佳權值。

3 優化的PGM(1,1)模型

尋找權值p的過程實際上就是在尋找一個p值使模型白化時的額外誤差最小，從而使最小二乘法得到的“最小”基本保持，但是由可知p值通常情況下并不是有限小數，因此其取值精度對預測精度是有影響的，按照原始p值的求解方法，p值的取值精度只有0.01，為了求取更高精度的p值，本文采用模式搜索法求取高精度p值。模式搜索(pattern search)法是Hooke和Jeeves于1961年提出的，這種方法的基本思想是先“探測性移動”尋找最佳點信息，然后用“模式性移動”沿著找到的最佳點信息前進，兩種移動交替進行直到步長δ小于事先給定的某個小正數ε為止[11]，其基本原理及搜索過程可參考文獻[12][13]。具體操作可利用Matlab模式搜索工具箱，以p=0.5為初始點，以原始數據的殘差平方和最小為目標進行搜索。下面以指數序列說明p值取值精度對預測精度的影響。

表1 對應于不同精度p值的殘差平方和

取原始數據為 X(0)={9，92，93，94，95}

以模式搜索法求得p=0.33011961331341

代入式（8）中，取不同精度的p值建立PGM(1,1)模型，所得殘差均方差見表1。

從表1可以看出p值的取值精度較小時，取值精度僅僅增加一位便會對預測精度產生明顯影響，當p值精度取到小數點后六位時，模型預測誤差才可以基本忽略，而模式搜索法所得到的p值下的預測誤差已經可以完全忽略。

由式（11）可以看出PGM(1,1)模型同GM(1,1)模型一樣默認經過初始值點，而上面的討論是以純指數函數為基礎的，由于PGM(1,1)模型可以滿足白指數律，所以模型默認經過初始點是可以理解的，但是當原始數據為近似指數序列時，PGM(1,1)模型默認經過初始點便與最小二乘法的思想不符，此時模型雖然保證了模擬序列首位數據誤差為零，但無法保證整個預測序列殘差平方和最小，因此需要對初始值進行優化。具體優化方法如下：

對以模式搜索法求得最佳p值的式（3）添加修正項有

以模式搜索法在原始數據殘差平方和最小的目標下搜尋最佳β值，代回式（13）便得最終優化后的PGM(1,1)模型。

由于應用需求的不斷刺激，網絡技術和相應的應用程序得到了快速開發和應用。網絡通信量管理對網絡性能有著直接的影響，而性能因素已經成為衡量一個網絡系統事務處理能力的重要尺度。維持不了一致和可靠的性能水平，作為底層基礎結構的網絡就會阻礙整個系統的有效運轉。本文以網絡通訊流量預測問題為例，原始數據及預測值見表 2，其中優化后的 p=0.479088，β=-1.61×10-4。 從表2可以看出，相對于標準的PGM(1,1)模型，本文優化的PGM(1,1)模型平均擬合相對誤差從0.784%降低到0.075%，平均預測相對誤差從1.348%降低到0.086%。很明顯模型的優化是有效的。

表2 原始值與不同模型預測值比較

4 結束語

本文通過分析GM(1,1)模型的缺陷，指出PGM(1,1)模型中存在p值使模型可以避免白化時的缺陷，并且滿足白指數律，但是由于p值通常是無限小數，其取值精度對預測精度存在影響，因此本文提出了以模式搜索法求取高精度p值，實例證明了該方法的有效性；同時本文也指出了原有PGM(1,1)模型初始值確定的不足，提出了以模式搜索法再優化PGM(1,1)模型；最后實例應用結果證明了優化的PGM(1,1)模型可以再次提高預測精度，這對提高PGM(1,1)模型的應用價值具有一定的意義。

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