關(guān)于具有變量核的參數(shù)型Marcinkiewicz積分的有界性

吳小梅, 任芬芳, 邱加蔚， 王 侃

(浙江師范大學(xué) 行知學(xué)院,浙江 金華 321004)

另一方面,Calderón和Zygmund[2-4]于1955年開始首先考慮了帶變量核的奇異積分算子的Lp有界性.由于這類算子在變系數(shù)的二階線性橢圓方程中的廣泛應(yīng)用,近年來人們越來越關(guān)注帶變量核的奇異積分算子的有界性問題.2004年,丁勇等[5]得到了帶變量核的Marcinkiewicz積分的Lp(1

若定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω(x,z)滿足下列條件:

1)Ω(x,λz)=Ω(x,z),?x,z∈Rn,λ>0;

假設(shè)函數(shù)Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)且滿足消失性條件

?x∈Rn,

(1)

(2)

注1有界性條件式(2)是由Lee和Rim[9]在2004年提出的，經(jīng)過簡單的積分計算，易見當(dāng)Ω(x,z)滿足式(2)時,Ω(x,z)不一定會滿足L1-Dini條件[5],同時這兩類條件均比Lipα(0<α≤1)條件[1]弱.

在給出主要結(jié)果之前,先介紹Herz型Hardy空間及其原子分解理論.

定義2設(shè)0

定義3[10]設(shè)1

1)supp(a)?B(0,r)={x∈Rn:|x|

其中,下確界取遍f的所有上述分解.

為證明主要結(jié)果,還需要下面的引理:

以下給出本文的主要結(jié)果.

I1+I2.

(3)

其中:

先估計I2.根據(jù)引理2及aj的尺寸條件有

(4)

下面利用H?lder不等式, 根據(jù)p的大小對式(4)進行討論.

1)當(dāng)0

2)當(dāng)1

其中:

首先估計I11.因為y∈Bj,x∈Ck，且j≤k-3, 所以 |x-y|～|x|～|x|+2j,再根據(jù)微分中值定理,有

(5)

由式(5)、廣義的Minkowski不等式及aj(x)的尺寸條件可得

從而

(6)

利用aj(y)的消失性條件、定義3、式(6)及廣義的Minkowski不等式,有

1)當(dāng)0

2)當(dāng)1

綜上,即得定理1成立.

參考文獻：

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