一類廣義 Schr?dinger方程的雙 W ronskian解＊

吳妙仙

(浙江廣廈建設職業技術學院信控分院,浙江東陽 322100)

0 引 言

非線性發展方程的精確求解問題已形成了許多重要的方法,如反散射方法[1]、Darboux變換方法[2]、Hirota方法[3]、B?cklund變換[4]及 W ronskian技巧[5-6]等.其中 ,W ronskian技巧有著鮮明的特點 ,這不僅因為W ronskian行列式本身所具有的特性使得由W ronskian行列式形式構成的解可以直接代入到方程中進行檢驗,而且通過這種解的表示還可以求得除孤子解以外的其他形式的精確解,如有理解、positon解、negaton解、complexiton解、breathers解等[7-9].

目前,W ronskian技巧已經有效地應用到許多經典的可積系統中,如 KdV方程、MKdV方程、KP方程、Boussinesq方程、非線性 Schr?dinger(NLS)方程及帶導數項的非線性 Schr?dinger方程等.最近,一些學者已成功地將該技巧應用于若干等譜與非等譜方程及變系數方程中.例如:文獻[10]研究了等譜二階 AKNS方程的雙W ronskian解;文獻[11]研究了非等譜 KP方程的雙 W ronskian解;文獻 [12]研究了一類變系數 NLS方程的雙W ronskian解.

本文研究一類在珀色-愛因斯坦凝聚態中有著重要應用的一類廣義非線性 Schr?dinger方程

式(1)中:λ為實參數;Q(t,x)為宏觀波函數;t,x分別為時空變量.方程 (1)從形式上看是經典Schr?dinger方程的變系數推廣,其孤子解和周期解結果見文獻[13].方程 (1)的 Lax對可表示為

式 (2)中:φ為波函數;

1 W ronskian解

若在方程 (1)中施以分式變換

F,G均為 x,t的復函數,則 F與 G滿足下列方程:

其中 D是著名的 Hirota雙線性導數算子,定義為

考察矩陣方程組

式 (8)中:φ,ψ為列向量,φ =(φ1,φ2,…,φ2N)T,ψ=(ψ1,ψ2,…,ψ2N)T;A是關于 x與 t的 2N ×2N 階矩陣函數,且滿足

令 PN×M,QN×M為如下 N ×M階矩陣:

因此,方程 (6)和方程 (7)可轉化為雙線性方程組

為了證明的需要,先給出以下幾個引理:

引理 1[15]設 D是 N ×(N-2)階矩陣,a,b,c,d是 N維列向量,則

引理 2[5]設αj(j=1,2,…,n)是具有 n個分量的列向量,而γj(j=1,2,…,n)是不為零的 n個任意常數,則

式 (17)中 γ αj是列向量 ,即

引理 3[16]設 P=(pij)是 n×n階算子矩陣,其元素 pij是微分算子,B=(bij)是 n×n階函數矩陣,以表示矩陣 B的列向量與行向量,則

注 1 式 (19)說明算子 pij分別作用于各列向量相應元素所得 n個行列式之和與 pij分別作用于行列式各行向量相應元素所得 n個行列式之和相等.

引理 4 設 A是與 x無關的 2N×2N階矩陣函數,且滿足式 (9),則在條件 (8)下,類似于文獻 [14]中的推導,有:

定理 1 若 A是與 x無關的 2N ×2N階矩陣,且滿足 At=λA,則方程 (14)和方程 (15)在條件 (8)下有雙W ronskian行列式解:

證明 先證雙 W ronskian行列式 (26)滿足式 (14).記Δ=2ie-λt,則易得 F,G對 x的導數分別為:

其次,在條件 (8)下又可算得:

將式 (27)～式 (32)代入到方程 (14)的左端,得

注意到式 (24),方程 (14)的左端可化為

利用引理 1,不難推知:

因此,式 (33)恒為零,從而式 (14)成立.同樣地可證得式 (26)亦滿足式 (15).定理 1證畢.

因此,方程 (1)的解可表示為

2 類有理解

一般地,矩陣方程組 (8)的通解可表示為

求解矩陣方程 (9)得 A=eλtA0(A0為任意常數矩陣),將其代入到式 (37)并展開為級數形式,得

斷為有限項

此時,相應的分量可寫為:

因此,可求得方程W ronskian形式的類有理解,其對應的前 3個類有理解分別為:

當然,上述關于類有理解的結果亦可直接代入方程進行檢驗.

3 結 語

對于廣義非線性 Schr?dinger方程 (1),在 Lax對基礎上給出構成解的雙W ronskian行列式的列向量φ與ψ所滿足的矩陣方程,并結合 Hirota方法與W ronskian技巧討論了方程 (1)的雙W ronskian形式的解.在矩陣函數 A要求滿足 Al=λA的條件下,取 A=eλlA0(這里 A0為任意常數矩陣),求得含任意常數矩陣 A0的 φ與ψ的通解,并將其展開為 A0的冪級數.于是,當 A0取相應的特殊矩陣時即可算得方程(1)的類有理解.本文給出的求雙W ronskian解方法還可以應用到其他的可積方程中.此外,對于方程(1),當 A0取其他特殊矩陣時,還可以求得如 positon解、negaton解、complexiton解等其他形式的精確解,關于此方面的結果將另文給出.

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