一類隱式擬變分不等式與非擴(kuò)張映象的公共解的三步迭代算法

孫國(guó)祥

(浙江海洋學(xué)院 蕭山科技學(xué)院，浙江 杭州 311258)

0 引 言

變分不等式理論已成為研究許多產(chǎn)生于數(shù)學(xué)規(guī)劃、優(yōu)化與控制理論、運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)均衡、工程技術(shù)等領(lǐng)域的線性與非線性問題的有效工具[1-4]. 近年來，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)各類線性和非線性變分不等式的理論、算法和應(yīng)用等進(jìn)行了大量的研究，取得了豐碩的成果[1-4].

變分不等式研究中的一類重要問題就是如何構(gòu)造逼近各種變分不等式解的有效算法，并證明算法的收斂性.最近，許多學(xué)者給出了求解各類變分不等式和變分包含問題的迭代算法.例如:文獻(xiàn)[5]給出了求解變分不等式的預(yù)測(cè)-校正迭代算法；文獻(xiàn)[6-7]給出了求解變分不等式的三步迭代算法；文獻(xiàn)[8]研究了幾乎漸近非擴(kuò)張型映象不動(dòng)點(diǎn)的三步迭代問題.

受上述工作啟發(fā)，本文研究了一類隱式擬變分不等式與非擴(kuò)張映象的公共解的逼近問題.利用等價(jià)性刻畫結(jié)果，筆者構(gòu)造了求解這類隱式擬變分不等式與3個(gè)非擴(kuò)張映象的公共解的三步迭代算法,應(yīng)用關(guān)于數(shù)列不等式的結(jié)果及投影算子的性質(zhì)，證明了由該算法生成的迭代序列的收斂性.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮以下問題:尋找x∈,使得g(x)∈K(x),且

〈S(x)+T(x),y-g(x)〉≥0,?y∈K(x).

(1)

稱問題(1)為非線性隱式擬變分不等式.

若對(duì)任意x∈,K(x)=m(x)+K, 其中K?是閉凸子集,m:→,則問題(1)等價(jià)于以下問題:尋找x∈,使得g(x)-m(x)∈K,且

〈S(x)+T(x),y-g(x)〉≥0,?y∈m(x)+K.

(2)

定義1設(shè)T:→是單值映象,稱T為：

1)τ-強(qiáng)單調(diào)的,如果?τ>0,使得〈x-y,T(x)-T(y)〉≥τ‖x-y‖2,?x,y∈；

2)α-Lipschitz連續(xù)的,如果?α>0,使得‖T(x)-T(y)‖≤α‖x-y‖,?x,y∈.

引理1[4]給定z∈,x∈D滿足變分不等式

〈x-z,y-x〉≥0,?y∈D

當(dāng)且僅當(dāng)x=PD(z).其中:PD表示到D上的投影算子;PD是非擴(kuò)張的,即

‖PD(x)-PD(y)‖≤‖x-y‖,?x,y∈.

引理2[4]若K(u)=m(u)+K,其中K?是閉凸子集,則

PK(u)v=m(u)+PK(v-m(u)),?u,v∈H.

2 主要結(jié)果

引理4設(shè)K:→2是集值映象，使得對(duì)任意x∈，K(x)是非空閉凸子集,則以下結(jié)論等價(jià):

1)x是問題(1)的解;

2)x是問題g(x)=PK(x)(g(x)-ρ(S(x)+T(x)))的解，其中ρ>0是常數(shù)；

3)x是映象G:→的不動(dòng)點(diǎn),其中

G(x)=x-g(x)+PK(x)(g(x)-ρ(S(x)+T(x))).

(3)

證明 由引理1知，1)與2)等價(jià).設(shè)映象G由式(3)所定義，則顯然2)與3)等價(jià).因此,引理4成立.

設(shè)Q:H→H是非擴(kuò)張映象,F(Q)和IQVI(S,T,g)分別表示映象Q的不動(dòng)點(diǎn)集合和問題(1)的解集合.如果x*∈F(Q)∩IQVI(S,T,g),則由引理4有

x*=Qx*=x*-g(x*)+PK(x*)(g(x*)-ρ(S(x*)+T(x*)))=

Q[x*-g(x*)+PK(x*)(g(x*)-ρ(S(x*)+T(x*)))].

(4)

由方程(4)給出尋求3個(gè)非擴(kuò)張映象S1,S2,S3的公共不動(dòng)點(diǎn)集合與問題(1)解集合的公共點(diǎn)的迭代算法如下：

算法1設(shè)K:→2是集值映象，使得對(duì)任意x∈，K(x)是非空閉凸子集.對(duì)給定的x0∈,3個(gè)非擴(kuò)張映象S1,S2,S3的公共不動(dòng)點(diǎn)集合與問題(1)解集合的公共點(diǎn)的近似解迭代序列{xn}n≥0滿足:

xn+1=(1-an)xn+anS1[yn-g(yn)+PK(yn)(g(yn)-ρ(S(yn)+T(yn)))];

(5)

yn=(1-bn)xn+bnS2[zn-g(zn)+PK(zn)(g(zn)-ρ(S(zn)+T(zn)))];

(6)

zn=(1-cn)xn+cnS3[xn-g(xn)+PK(xn)(g(xn)-ρ(S(xn)+T(xn)))].

(7)

其中:an,bn,cn∈[0,1](n=0,1,2,…);ρ>0是常數(shù).

算法2設(shè)K:→2是集值映象,m:→滿足K(u)=m(u)+K,u∈.對(duì)給定的x0∈,3個(gè)非擴(kuò)張映象S1,S2,S3的公共不動(dòng)點(diǎn)集合與問題(2)解集合的公共點(diǎn)的近似解迭代序列{xn}n≥0滿足:

xn+1=(1-an)xn+anS1[yn-g(yn)+m(yn)+PK(yn)(g(yn)-m(yn)-ρ(S(yn)+T(yn)))];

yn=(1-bn)xn+bnS2[zn-g(zn)+m(zn)+PK(zn)(g(zn)-m(zn)-ρ(S(zn)+T(zn)))];

zn=(1-cn)xn+cnS3[xn-g(xn)+m(xn)+PK(xn)(g(xn)-m(xn)-ρ(S(xn)+T(xn)))].

其中:an,bn,cn∈[0,1](n=0,1,2,…);ρ>0是常數(shù).

定理1設(shè)K:→2是集值映象，使得對(duì)任意x∈，K(x)是非空閉凸子集.設(shè)映象g:→是τ-強(qiáng)單調(diào)κ1-Lipschitz連續(xù)的,映象T:→是κ2-Lipschitz連續(xù)的，映象S:→是α-強(qiáng)單調(diào)β-Lipschitz連續(xù)的.假設(shè)存在ξ>0使得

‖PK(u)z-PK(v)z‖≤ξ‖u-v‖,u,v∈,

(8)

且存在常數(shù)ρ>0滿足

(9)

則問題(1)有唯一解x*∈.進(jìn)一步，如果x*∈F(S1)∩F(S2)∩F(S3)∩IQVI(S,T,g),則由算法1生成的迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于x*.其中:S1,S2,S3:→是3個(gè)非擴(kuò)張映象;an,bn,cn∈[0,1](n=0,1,2,…)滿足

證明 設(shè)u,v∈,則

‖G(u)-G(v)‖=‖u-g(u)+PK(u)(g(u)-ρ(S(u)+T(u)))-v+

g(v)-PK(v)(g(v)-ρ(S(v)+T(v)))‖≤

‖u-v-g(u)+g(v)‖+‖PK(u)(g(u)-ρ(S(u)+T(u)))-

PK(u)(g(v)-ρ(S(v)+T(v)))‖+

‖PK(u)(g(v)-ρ(S(v)+T(v)))-PK(v)(g(v)-ρ(S(v)+T(v)))‖≤

2‖u-v-(g(u)-g(v))‖+‖u-v-ρ(S(u)-S(v))‖+

ρ‖T(u)-T(v)‖+ξ‖u-v‖.

(10)

由于映象g:→是κ1-Lipschitz連續(xù)和τ-強(qiáng)單調(diào)的,所以

‖u-v-g(u)+g(v)‖2≤‖u-v‖2+‖g(u)-g(v)‖2-2〈u-v,g(u)-g(v)〉≤

同理

由于映象T:→是κ2-Lipschitz連續(xù)的,由式(10)可以得到

(11)

下面證明由算法1生成的迭代序列{xn}n≥0收斂于問題(1)的唯一解x*.由于G(x*)=x*,因此

x*=(1-an)x*+anS1[x*-g(x*)+PK(x*)(g(x*)-ρ(S(x*)+T(x*)))];

(12)

x*=(1-bn)x*+bnS2[x*-g(x*)+PK(x*)(g(x*)-ρ(S(x*)+T(x*)))];

(13)

x*=(1-cn)x*+cnS3[x*-g(x*)+PK(x*)(g(x*)-ρ(S(x*)+T(x*)))].

(14)

由式(5)和式(12)及S1,PK的非擴(kuò)張性知

‖xn+1-x*‖≤(1-an)‖xn-x*‖+an‖S1[yn-g(yn)+PK(yn)(g(yn)-ρ(S(yn)+T(yn)))]-

S1[x*-g(x*)+PK(x*)(g(x*)-ρ(S(x*)+T(x*)))]‖=

(1-an)‖xn-x*‖+an‖G(yn)-G(x*)‖≤

(1-an)‖xn-x*‖+anθ‖yn-x*‖.

(15)

由式(9)知,θ<1.同理，由式(6)和式(13)及S2,PK的非擴(kuò)張性,有

‖yn-x*‖≤(1-bn)‖xn-x*‖+bn‖S2[zn-g(zn)+PK(zn)(g(zn)-ρT(zn))]‖≤

(1-bn)‖xn-x*‖+bnθ‖zn-x*‖.

(16)

而由式(7)和式(14)可得

‖zn-x*‖≤(1-cn)‖xn-x*‖+cnθ‖xn-x*‖≤(1-(1-θ)cn)‖xn-x*‖.

于是,式(16)可化為

‖yn-x*‖≤(1-bn)‖xn-x*‖+bnθ(1-(1-θ)cn)‖xn-x*‖=

(1-bn(1-θ)(1+cnθ))‖xn-x*‖.

(17)

由式(15)和式(17)可得

‖xn+1-x*‖≤(1-an)‖xn-x*‖+anθ(1-bn(1-θ)(1+cnθ))‖xn-x*‖=

(1-an+anθ-anbnθ(1-θ)(1+cnθ))‖xn-x*‖≤

(1-(1-θ)an)‖xn-x*‖.

由定理1易得定理2.

定理2設(shè)映象g:→是τ-強(qiáng)單調(diào)κ2-Lipschitz連續(xù)的,映象T:→是κ2-Lipschitz連續(xù)的，映象S:→是α-強(qiáng)單調(diào)β-Lipschitz連續(xù)的.假設(shè)K:→2是集值映象,K(u)=m(u)+K,其中K?是閉凸子集,m:→是μ-Lipschitz連續(xù)的.假設(shè)存在常數(shù)ρ>0滿足

則問題(2)有唯一解x*∈.進(jìn)一步地，若x*∈F(S1)∩F(S2)∩F(S3)∩IQVI(S,T,g),則由算法2生成的迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于x*.其中:S1,S2,S3:→是3個(gè)非擴(kuò)張映象;an,bn,cn∈[0,1](n=0,1,2,…)滿足

參考文獻(xiàn)：

[1]Cottle R W,Pang Jongshi,Stone R E.The Linear Complementarity Problem[M].London:Academic Press,1992.

[2]Isac G.Complementarity Problems[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[3]Facchinei F,Pang Jongshi.Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems[M].New York:Springer-Verlag,2003.

[4]張石生.變分不等式及其相關(guān)問題[M].重慶:重慶出版社,2008.

[5]Ding Xueping.Predictor-corrector iterative algorithms for solving nonlinear mixed variational-like inequalities[J].J Sichuan Normal Univ,2003,26(1):1-5.

[6]Noor M A.New approximation schemes for general variational inequalities[J].J Math Anal Appl,2000,251(1):217-229.

[7]Noor M A,Huang Zhenyu.Three-step methods for nonexpansive mappings and variational inequalities[J].Appl Math Comput,2007,187(2):680-685.

[8]鄧傳現(xiàn),黃發(fā)倫.一類新的幾乎漸近非擴(kuò)張型映象不動(dòng)點(diǎn)的三步迭代問題[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,44(6):1153-1159.