G′/G展開法對非線性耦合Klein-Gordon方程組的精確解

郭冠平, 周國中, 何寶鋼

(1.浙江師范大學 教師教育學院,浙江 金華 321004;2.金華教育學院,浙江 金華 321001)

0 引 言

隨著科學技術的發展，人們對于非線性問題的關注也更加深入，而且許多非線性問題的研究最終都可歸結為用非線性演化方程來描述.如何求解它們一直是數學和物理學研究的一個核心問題.近幾十年來已發展了多類不同的求解方法[1-9].人們對于非線性耦合Klein-Gordon方程組[10]

(1)

1 非線性耦合Klein-Gordon方程組的精確解

對于方程組式(1),設

u(x,y,z,t)=u(ξ),v(x,y,z,t)=v(ξ),ξ=kx+ly+pz-ωt.

(2)

Au″+α1u-β1u3-γ1uv2=0;

(3)

Av″+α2v-β2v3-γ2u2v=0.

(4)

式(3)和式(4)中：

(5)

(6)

(7)

式(7)中，G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

G″+λG′+μG=0.

(8)

式(6)～式(8)中的a0,a1,…,am,b0,b1,…,bn,λ,μ為待定常數.正整數m,n由齊次平衡法確定，m=n=1.

將式(6)、式(7)代入式(3)、式(4),并根據式(8)得到

(9)

第1組：

其中a1為任意實數.

第2組:

其中a1,b1為任意實數.

第3組:

其中a1為任意實數.

第4組:

其中a1,b1為任意實數.由式(8)可得：

1)當λ2-4μ>0時,

2)當λ2-4μ<0時,

3)當λ2-4μ=0時,

(12)

由此得到耦合Klein-Gordon方程組一系列的精確解,其中包含了雙曲函數解、三角函數解、孤子包絡解及有理函數解.

對于第1組數據，其解分別表示為：

1)當λ2-4μ>0時,

(13)

(14)

特別地，取C1=0,C2≠0，得到孤立波解為:

(15)

(16)

2)當λ2-4μ<0時，其三角函數解為:

(17)

(18)

3)當λ2-4μ=0時，其有理數解為:

(19)

(20)

式(13)～式(20)中,參數α1,α2滿足耦合關系：

待定參數k,l,p,ω滿足

其中

a1為任意實數.

對于第2組數據，其解分別表示為：

1)當λ2-4μ>0時,

(21)

(22)

特別地，取C1=0,C2≠0，得到孤立波解為:

(23)

(24)

2)當λ2-4μ<0時，其三角函數解為:

(25)

(26)

3)當λ2-4μ=0時，其有理數解為:

(27)

(28)

式(21)～式(28)中,參數α1,α2,β1,β2滿足耦合關系：

待定參數k,l,p,ω滿足

其中a1,b1為任意實數.

2 結 語

本文把G′/G展開法用于非線性耦合Klein-Gordon方程組，獲得了該系統的雙曲函數、三角函數和有理函數等通解.當雙曲函數通解取特殊值時獲得孤波解.用G′/G展開法求解非線性耦合Klein-Gordon方程組，豐富了非線性耦合Klein-Gordon方程組的解系.限于篇幅，本文僅列出2組數據的通解，其他不再贅述.從精確解來看，此方法求解這類非線性問題更直接、更簡潔，具有明顯的優勢.對于其他類問題能否適用還需要進一步的研究.

參考文獻：

[1]張解放，陳芳躍.截斷展開方法和廣義變系數KdV方程[J].物理學報,2001,50(9):1648-1650.

[2]張桂戌，李志斌，段一士.非線性波方程的精確孤立波解[J].中國科學：A輯 數學，2000,30(12):1103-1108.

[3]唐駕時，劉鑄永，李學平.MKdV方程的擬小波解[J].物理學報,2003,52(3):522-525.

[4]石玉仁，呂克璞，段文山，等.組合KdV方程的顯式精確解[J].物理學報,2003,52(2):267-270.

[5]郭冠平，張解放.關于雙曲函數方法求孤波解的注記[J].物理學報,2002,51(6):1159-1162.

[6]石玉仁，郭鵬,呂克璞，等.修正Jacobi 橢圓函數展開法及其應用[J].物理學報,2004,53(10):3265-3269.

[7]周國中,郭冠平.長短波相互作用方程Jacobi 橢圓函數新的展開法求解[J].浙江師范大學學報:自然科學版，2005,28(1)：25-28.

[8]何寶鋼，徐昌智，張解放.(2+1)維非線性KdV方程的新孤子結構[J].物理學報,2005,54(12):5525-5529.

[9]何寶鋼，徐昌智，張解放.擴展的形變映射方法和(2+1)維破裂孤子方程的新解[J].物理學報,2006,55(2):511-516.

[10]聶惠，王明亮.非線性耦合Klein-Gordon方程組的周期波解[J].河南科技大學學報:自然科學版，2007，28(5):79-82.

[11]李幫慶,馬玉蘭.G′/G展開法和(2+1)維非對稱Nizhnik-Novikov-Veselov系統的新精確解[J].物理學報,2009，58(7)：4373-4378.