分形理論在齒輪接觸應(yīng)力分析中的應(yīng)用研究

陳 奇 趙 韓 黃 康 徐 順

合肥工業(yè)大學(xué),合肥,230009

0 引言

齒輪齒面間的接觸狀況和應(yīng)力大小將直接影響到兩接觸輪齒的壽命和運(yùn)行狀態(tài)。目前,關(guān)于齒輪的承載能力分析的理論很多,比如Hertz理論和有限元理論。通過(guò)Hertz模型可計(jì)算出齒輪接觸面的接觸應(yīng)力,由此可判斷出接觸體能否滿(mǎn)足接觸強(qiáng)度條件,并能對(duì)其承載能力進(jìn)行一定的參數(shù)選擇和優(yōu)化分析。Hertz模型較正確地反映兩接觸體間的應(yīng)力狀態(tài),仍應(yīng)用于現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中。

然而,Hertz方法存在如下兩個(gè)問(wèn)題：①不能正確計(jì)算內(nèi)嚙合的兩齒輪在其接觸處的曲率半徑相等時(shí)的應(yīng)力,如微線(xiàn)段齒輪[1-3]在以凸凹嚙合齒輪嚙合時(shí),其兩齒輪接觸處的曲率半徑幾乎相等,用Hertz理論或有限元理論計(jì)算時(shí)所得到的應(yīng)力值幾乎為零,這顯然與實(shí)際情況不符。②僅考慮兩齒輪的宏觀(guān)因素(如表面的形狀、物體的材料特性),而沒(méi)有考慮兩齒輪的微觀(guān)特性因素,如接觸表面的形貌特征及其表面粗糙度等對(duì)接觸能力的影響。若取兩個(gè)加工方法、材料特性和受載都一樣的齒輪進(jìn)行接觸嚙合,若其表面粗糙度和表面紋理形狀不一樣時(shí),其運(yùn)行狀態(tài)和質(zhì)量顯然是不一樣的。

有限元理論屬于近現(xiàn)代理論,通過(guò)把齒輪齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分,并設(shè)定一定的邊界條件和載荷,然后通過(guò)求解剛度矩陣方程等步驟,分析出齒輪接觸的情況[4-7](如應(yīng)力大小和變形情況)。目前流行的有限元理論的軟件有ANSYS軟件、Nastran軟件等。有限元理論能夠反映出齒輪的承載的狀況,但亦存在以下不足：①同樣主要考慮接觸體的宏觀(guān)因素,未考慮接觸體的微觀(guān)因素。②計(jì)算結(jié)果受影響因素多,計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確,大多只能反映一定的應(yīng)力和形變的趨勢(shì)。當(dāng)選擇的單元類(lèi)型、劃分網(wǎng)格的大小、邊界條件、加載方法、計(jì)算方法等其中的一個(gè)因素發(fā)生改變時(shí),得到的計(jì)算結(jié)果便不同。③計(jì)算過(guò)程繁瑣,不具通用性。有限元計(jì)算需要建模、劃分網(wǎng)格、設(shè)置邊界和載荷等步驟,整個(gè)分析過(guò)程復(fù)雜,不易掌握。

為了解決上述問(wèn)題,本文在前期研究成果的基礎(chǔ)上[8],進(jìn)一步研究分形理論在齒輪接觸強(qiáng)度中的應(yīng)用,從而驗(yàn)證理論的正確性和實(shí)用性。

1 齒輪分形接觸強(qiáng)度模型的建立

1.1 齒輪表面接觸系數(shù)

由文獻(xiàn)[9-10]知,漸開(kāi)線(xiàn)輪廓上各點(diǎn)的曲率并不相同,沿工作齒廓各點(diǎn)所受的載荷也不同。對(duì)于端面重合度εa≤2的直齒輪傳動(dòng),以小齒輪單齒嚙合區(qū)的外界點(diǎn)產(chǎn)生的接觸應(yīng)力最大,而兩嚙合齒輪節(jié)點(diǎn)處的計(jì)算接觸應(yīng)力與單齒嚙合區(qū)的外界點(diǎn)的計(jì)算接觸應(yīng)力極為相近。因此為計(jì)算方便,通常以節(jié)點(diǎn)嚙合為代表進(jìn)行齒面的接觸強(qiáng)度計(jì)算。

設(shè)齒輪的基本參數(shù)如下(圖1)：齒數(shù)z,法向模數(shù)m n(端面模數(shù) m t),法向壓力角αn(端面壓力角αt),螺旋角β,變位系數(shù) x n(端面變位系數(shù) x t),齒頂高系數(shù)h*a(n)(端面齒頂高系數(shù)h*a(t)),頂隙系數(shù)c*n(端面頂隙系數(shù)c*t),齒寬b,則

式中,R1為齒輪1、齒輪2齒面在M點(diǎn)接觸時(shí),齒輪1接觸齒廓處的曲率半徑;R2為齒輪1、齒輪2齒面在 M點(diǎn)接觸時(shí),齒輪2接觸齒廓處的曲率半徑;z1、z2為兩齒輪齒數(shù);αt1 、αt2 為兩齒輪的端面壓力角;α′t1、α′t2為兩齒輪無(wú)側(cè)隙 嚙合的端面嚙合角;xt1、xt2為兩齒輪的端面變位系數(shù);“+”為外嚙合,“-”為內(nèi)嚙合。

圖1 兩齒輪接觸模型

由文獻(xiàn)[8]有

式中,λG為齒輪表面接觸系數(shù);λ0G為初始齒輪表面接觸系數(shù);P為單位線(xiàn)長(zhǎng)度載荷;B為兩圓柱體有效接觸長(zhǎng)度;E為綜合彈性模量;μ1、μ2為齒輪1、齒輪2的泊松比系數(shù);E1、E2為齒輪1、齒輪2的彈性模量;C2為常數(shù),C2=0.5;x為綜合曲率系數(shù)。

1.2 齒輪分形接觸模型公式的建立

設(shè)a c[11-12]為單個(gè)微突體由彈性變形變化到塑性變形的臨界面積,a l為最大接觸點(diǎn)的面積。將式(5)代入相關(guān)公式[10]可得齒輪的分形接觸模型,即求得齒輪接觸面的接觸力與接觸面積的關(guān)系。

(1)若a l＞a c,兩球體發(fā)生彈塑性變形,此時(shí)的載荷又可分下列兩種情況：

當(dāng)D≠1.5時(shí)

式中,D為接觸齒面輪廓的分形維數(shù);P′*為量綱一載荷,P′*=P/(AaE),這里Aa為名義接觸面積,可由譜特性參數(shù) ωl確定為當(dāng)兩平面輪廓接觸且D≠1.5時(shí)的名義載荷;A′r*為量綱一真實(shí)接觸面積,A′*r=Ar/Aa,這里 Ar為兩齒面間總的真實(shí)接觸面積和[11],為粗糙度幅值參數(shù);φ為齒輪材料的特性參數(shù),φ=σy/E,σy為較軟齒輪材料的屈服強(qiáng)度;K為齒輪硬度 H與屈服強(qiáng)度σy的相關(guān)系數(shù),K=H/σy;a*c為量綱一結(jié)合面間的臨界接觸面積;g1(D)、g2(D)均為與分形維數(shù)有關(guān)的常數(shù);G為反映z(x′)大小的特征尺度系數(shù);z(x′)為隨機(jī)輪廓高度;x′為輪廓位移坐標(biāo)。

式中,P2*(A*r)為當(dāng)兩平面輪廓接觸且D=1.5時(shí)的名義載荷。

(2)若a l＜a c,僅發(fā)生塑性變形,此時(shí)

式(8)～式(14)即是兩齒輪表面接觸的分形模型。

1.3 微線(xiàn)段齒輪的分形接觸公式

因微線(xiàn)段齒輪嚙合對(duì)的接觸處的曲率半徑相等[3],即R1=R2時(shí),由數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得λ0G=1,將λ0G=1代入式(8)～式(14)即可得到微線(xiàn)段齒輪的分形接觸公式。

(1)若al＞ac,兩球體發(fā)生彈塑性變形,此時(shí)的載荷又可分下列兩種情況：

當(dāng)D≠1.5時(shí)

當(dāng)D=1.5時(shí)

式(15)～式(17)即是微線(xiàn)段齒輪輪齒表面接觸時(shí)的分形模型。

2 分形模型結(jié)果預(yù)測(cè)

2.1 齒數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

取三對(duì)漸開(kāi)線(xiàn)齒輪嚙合對(duì),齒數(shù)分別為25和83、40和 83、83和83。各嚙合對(duì)齒輪其余參數(shù)均相同。利用上述公式可得到不同齒數(shù)時(shí)的載荷與真實(shí)接觸面積的關(guān)系如圖2所示。由圖2可知：①在其余變量和z1不變時(shí),不論是內(nèi)接觸或外接觸,隨著z2增加,相同載荷下將得到更大的真實(shí)接觸面積,接觸應(yīng)力下降。因此,適當(dāng)?shù)脑黾育X數(shù)是有利的,即適當(dāng)增加齒輪的尺寸對(duì)降低接觸強(qiáng)度有利,這與傳統(tǒng)的Hertz理論一致,因此分形分析結(jié)果是正確的。②內(nèi)接觸比外接觸要好。③當(dāng)z2與z1相等時(shí),P*并不為零,從而證明了該模型可用于解決內(nèi)接觸曲率半徑相等時(shí)的接觸強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。

圖2 齒數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

2.2 粗糙度幅值參數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

由文獻(xiàn)[12]知,G*主要反映材料的表面性質(zhì)。由圖3可知,降低G*使曲線(xiàn)往上運(yùn)動(dòng),因此降低G*能有效降低接觸強(qiáng)度,從而改善表面接觸性質(zhì)。這一結(jié)論與實(shí)際情況相吻合。另外,相同接觸條件,內(nèi)接觸的接觸應(yīng)力要低些。

3 齒輪接觸強(qiáng)度實(shí)例計(jì)算

取一對(duì)標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪嚙合,參數(shù)如下：小齒輪齒數(shù)z1=25,大齒輪齒數(shù)z2=83,驅(qū)動(dòng)力矩為9.5×104N?mm,模數(shù)m=2mm,壓力角α=20°,齒寬b=17mm,彈性模量E=206GPa,泊松比μ=0.3,變位系數(shù)為0,設(shè)齒輪為6級(jí)精度。

圖3 參數(shù)G*對(duì)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

3.1 Hertz方法計(jì)算

齒輪的接觸應(yīng)力計(jì)算公式為[10]

式中,α為標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線(xiàn)齒輪的分度圓壓力角;u為傳動(dòng)比,u=z2/z1;KH為載荷系數(shù);T為小齒輪受到的扭矩;b為小齒輪的齒寬;d1為小齒輪的分度圓半徑。

選取K=1.2,并將齒輪其他參數(shù)代入式(18)可得齒輪接觸的最大應(yīng)力為 σH=1025.8MPa。

3.2 有限元法計(jì)算

(1)建立齒輪接觸幾何模型。參照文獻(xiàn)[13]方法,可在Pro/E中精確建立兩齒輪幾何模型,為提高有限元計(jì)算效率,模型各取齒輪的3個(gè)齒。通過(guò)中心距和分度圓上的嚙合點(diǎn)約束,使兩齒輪裝配。通過(guò)Pro/E與ANSYS的數(shù)據(jù)接口,或?qū)⒛Ｐ捅４鏋閕gs格式導(dǎo)入到ANSYS中。模型如圖4所示。

(2)設(shè)置單元類(lèi)型。由于為平面問(wèn)題,在ANSYS中選擇四節(jié)點(diǎn)四邊形板單元PLANE182。

(3)網(wǎng)格劃分。設(shè)置網(wǎng)格精度為4級(jí),劃分網(wǎng)格圖形見(jiàn)圖4。

(4)定義接觸對(duì)。選擇小齒輪和大齒輪相應(yīng)接觸齒廓上的所有節(jié)點(diǎn),創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)集Nodes1和Nodes2。根據(jù)接觸定義向?qū)О粹o,選擇小齒輪為目標(biāo)面,大齒輪為接觸面,并選擇面-面接觸方式,完成接觸對(duì)定義。

(5)設(shè)置邊界及載荷。將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)成柱面坐標(biāo)后,將小齒輪內(nèi)邊緣節(jié)點(diǎn)的徑向位移固定,大齒輪內(nèi)邊緣節(jié)點(diǎn)的各個(gè)方向位移固定。載荷為加在小齒輪上的轉(zhuǎn)矩,具體方法是把載荷分別加載到小齒輪內(nèi)徑方向上各節(jié)點(diǎn)。載荷F r=-792N。加載結(jié)果如圖5所示。

圖4 ANSYS模型及網(wǎng)格劃分

圖5 ANSYS模型加載圖

(6)求解。在Analysis Options(求解類(lèi)型)下拉列表中選擇Large Displacement Static,并設(shè)置計(jì)算時(shí)間為1,載荷步為20,即可求解。

(7)結(jié)果顯示及分析。由圖6可見(jiàn),齒輪間最大的應(yīng)力位于接觸處,其值為983MPa。

圖6 ANSYS求解結(jié)果應(yīng)力云圖(嚙合對(duì)局部放大圖)

3.3 分形模型方法計(jì)算

在應(yīng)用分形模型前,需要先確定其中的3個(gè)主要參數(shù)：分形維數(shù)D、粗糙度幅值參數(shù)G*、齒輪材料特性參數(shù)φ。

(1)分形維數(shù)D。根據(jù)葛世榮等[12]的研究：磨削表面分形維數(shù)與粗糙度Ra的關(guān)系及它們之間的近似換算式為

Ra值對(duì)應(yīng)為微米級(jí)數(shù)值大小。取Ra=0.8,計(jì)算得D=1.54。

(2)粗糙度幅值參數(shù)G*。粗糙度幅值參數(shù)G*用來(lái)控制微觀(guān)數(shù)量級(jí)大小的參數(shù)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[12-14],在本例中取G*=10-6。

(3)材料性質(zhì)參數(shù)[15]為

將 σy=550MPa、E=206GPa代入式(20)得φ=2.67×10-3。

將上述三參數(shù)代入式(8)～式(14),并通過(guò)MATLAB編程可求得兩齒輪間的接觸應(yīng)力：σH=1017.5MPa。

3.4 算例對(duì)比分析

表1給出了前面3種計(jì)算結(jié)果方法的對(duì)比數(shù)據(jù)。

表1 各種方法計(jì)算接觸應(yīng)力數(shù)據(jù)的對(duì)比

由表1可見(jiàn),3種方法所得結(jié)果基本上一致,其中ANSYS方法的誤差稍大一些,分形計(jì)算方法與傳統(tǒng)計(jì)算結(jié)果最接近。因此,證明了文中所述方法是可行的。

4 結(jié)論

(1)本文在分形接觸理論和前期研究成果的基礎(chǔ)上,建立了齒輪接觸強(qiáng)度計(jì)算的分形模型。該模型不僅能解決Hertz理論不能解決的內(nèi)接觸曲率半徑相等時(shí)的齒輪嚙合問(wèn)題,而且計(jì)算公式具有通用性,計(jì)算結(jié)果更為精確。

(2)本文分別運(yùn)用傳統(tǒng)Hertz理論、有限元理論和分形理論對(duì)實(shí)例進(jìn)行對(duì)比計(jì)算,證明了分形理論應(yīng)用于齒輪接觸強(qiáng)度計(jì)算的可行性。

(3)在利用分形理論模型進(jìn)行計(jì)算時(shí),其中的參數(shù)如分形維數(shù)D、粗糙度幅值參數(shù)G*為近似取值,而沒(méi)有真實(shí)的試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),隨著接觸對(duì)齒輪材料等特性的不同,其值存在差異。因此在下面的工作中主要關(guān)注齒輪分形接觸模型的試驗(yàn)研究。

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