基于構型演變和李群理論的2T2R型四自由度并聯機構型綜合

范彩霞 劉宏昭 張彥斌

1.西安理工大學,西安,710048 2.焦作大學,焦作,454150 3.河南科技大學,洛陽,471003

0 引言

少自由度并聯機構是指自由度數為2～5的并聯機構,適用于不完全需要六自由度的工作場合。除具有六自由度并聯機構的優點外,少自由度并聯機構還具有結構簡單、設計制造成本低、控制容易等特點。因此,近十幾年來,少自由度并聯機構一直是國際機構學和機器人領域研究的熱點之一。

在少自由度并聯機構中,對具有2個移動和2個轉動的2T2R型四自由度并聯機構的研究相對較少,而2T2R型四自由度機構可直接作為四軸并聯機床的原型,或者再串聯一個自由度后可作為五軸混聯機床或機器人的原型,也可開發為航海中船舶的減振裝置[1]、農作物收獲機上的振動篩[2]等,使空間2T2R型四自由度并聯機構有著廣泛的應用前景。

Li等[3]用約束螺旋法綜合出一類對稱2T2R型四自由度并聯機構;楊廷力[4]用單開鏈單元法綜合了一類2T2R型四自由度并聯機構;文獻[5-6]提出了一種2T2R型并聯機構,并通過增加一個移動自由度開發了五軸聯動并聯機床;陳文家等[7]提出了2PRS-2PUS并聯機構,Liu等[8-9]對該機構進行了工作空間等性能分析;汪勁松等[10]提出了幾種2T2R型四軸并聯機床結構;傘紅軍等[11]提出了2-TPR/2-TPS并聯機構。

本文基于構型演變和李群理論,提出一類2T2R并聯機構型綜合的系統方法。從一個6R平面機構入手,將其中一個構件看作動平臺,通過改變運動副,添加支鏈,演變成為空間并聯機構2RRU-2SPS;然后基于李群理論找出等效支鏈,綜合出一類2T2R并聯機構。

1 理論基礎

1.1 構型演變

構型演變[12]是并聯機構型綜合最直觀、工程上最實用的方法。構型演變法發明新機構的基本思路是：以現成成功機構的原形為藍本,通過各種不同的演化方法,如改變支鏈數目,改變支鏈中主動副的數目和類型,變換機架以及機架的布局形式等,得到滿足特定需求的新機構。

傳統的構型演變原則是,演變后的機構自由度不發生變化。本文中的構型演變原則是,將一個平面機構演變成一個空間機構,動平臺增加了一個轉動自由度。演變方法是,將與平面機構輸出構件相連的兩個R副改變為U副或S副,并改變輸出構件形狀,添加支鏈。

1.2 李群理論

根據群論,剛體在空間所有運動的集合D是李群,又稱為位移群,則剛體在空間的大多數運動可以用D的子群表示,又稱為位移子群。Herve[13]基于位移群的代數結構給運動鏈進行了分類,給出了全部12種位移子群,其中6種低副即轉動副、移動副、螺旋副、圓柱副、球面副和平面副產生的位移集都是位移子群。

分支運動鏈末端相對于固定端的運動由所有低副生成的位移子群的乘積決定,這些位移子群的乘積可能仍然是位移子群,也可能是一個位移流形。

三維位移子群G(w)[14]表示法線為w的平面運動,即在垂直于w的平面內的2個移動和繞w的一個轉動,根據位移子群乘積的封閉性和交換性,可得到G(w)的位移子群鏈和對應的運動鏈,如表1所示。表 1中,u、v、w表示正交的單位矢量,如vPwRwR表示2個R副軸線都平行于w,P副移動方向平行于v,2個R副軸線和P副移動方向垂直。

表1 G(w)的運動鏈

2 2T2R并聯機構型綜合

2.1 原機構分析

本文提出的2T2R空間并聯機構是由一個三自由度平面機構增加一個轉動自由度演變而來的,所以選擇能產生2T1R平面運動的平面機構作為原機構。本文選擇一個6R平面機構,如圖1所示,選取OXYZ為固定坐標系。

圖1 平面6R機構

如果選取圖1所示機構的構件3作為輸出構件[15],則該機構就可看作具有2條對稱支鏈的并聯機構,2條支鏈分別為{-R1//R2//R3-}和{-R4//R5//R6-}。顯然,構件3具有3個自由度,即沿X方向的移動、沿Y方向的移動、繞Z方向的轉動。因此,選擇輸出運動為2T1R平面運動的構件作為動平臺。

2.2 構型演變

(1)把構件3的兩端換成U副。將圖1中的構件3的兩端換成U副,即R3換成U3,R4換成U4,U3副的一個軸線和原R3軸線同軸,另一個軸線和原R3軸線垂直,即沿構件3的軸線方向;U4副的一個軸線和原R4軸線同軸,另一個軸線和原R4軸線垂直,即沿構件3的軸線方向。顯然,由于U3的一個軸線和U4的一個軸線共軸且沿構件3的軸線方向,所以構件3多了一個局部轉動自由度,如圖2所示。

圖2 構件3具有U副

(2)將構件3擴展成為一個平面,用一個長方形板表示,如圖3所示,這個動平臺就多了一個轉動,具有2T2R型4個自由度,即沿X方向的移動、沿Y方向的移動、繞Z方向的轉動和繞U 3 U4方向的轉動。

圖3 構件3擴展為平面

(3)選用2個具有六自由度的運動鏈作為第三、第四支鏈,附加在長方形板上并將其支撐起來,支鏈的另一端與長方形靜平臺相連,圖3中選用了常見的SPS支鏈作為第三、第四支鏈,由于自由度等于6的運動鏈為無約束支鏈[12],不對動平臺產生約束,所以動平臺的自由度不會發生改變,即得到2T2R型四自由度的新機構R1 R2 U 3-R6 R5 U 4-S7P8S9-S10P11S12,如圖4所示。

圖4 R1R2 U3-R6 R5 U4-S7 P8 S9-S10 P11 S12機構

2.3 綜合等效支鏈

上面所得到的2RRU-2SPS機構具有4個支鏈,分析各支鏈,運用李群理論找出等效運動鏈。由于第一支鏈和第二支鏈結構完全相同,第三支鏈和第四支鏈完全相同,所以只需要分析第一支鏈和第三支鏈。

第一支鏈{-R1//R2//U3-}的等效支鏈：

(1)原機構中的{-R1//R2//R3-}的等效支鏈。支鏈{-R1//R2//U3-}是由原機構中的{-R1//R2//R3-}演變而來的,而{-R1//R2//R3-}具有一個平面運動,即在OXY平面內的沿X、Y方向移動和繞Z的轉動。因此,原機構中{-R1//R2//R3-}的等效支鏈必須具有平面運動。根據李群理論,具有平面運動的位移子群G(w)所對應的運動鏈有wRwRwR 、vPwRwR 、wRvPwR 、wRwRvP 、uPvPwR、uPwRvP、wRuPvP,見表1。并且上述運動鏈的末端只有是R副,才能在演變時被替換成U副。所以原機構中的{-R1//R2//R3-}的等效支鏈為可實現平面運動并且第三個運動副是 R副的運動鏈,有wRwRwR 、vPwRwR 、wRvPwR 、uPvPwR 。

(2){-R1//R2//U3-}的等效支鏈。如果原機構中構件3(圖2)兩端用S副代替U副,構件3也會具有一個局部自由度,再附加無約束運動鏈為第三、第四支鏈,這個局部自由度也會轉化為動平臺的一個有效自由度,和使用U副效果類似。因此,該支鏈的第3個運動副為S副或U副。所以,wRwRwR、vPwRwR、wRvPwR、uPvPwR 的第三個運動副被替換為 U副或者S副后,得出8種支鏈,再將其中的P副用平行四邊形4R閉環代替,用Pa表示,又得出6種支鏈,結果如表2所示。表2中,Pa為平行四邊形4R閉環,{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R(3S-2P)-S-}支鏈中的-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R(3S-2P)-為3S-2P閉環的等效單開鏈,其他類似。

表2 2T2R機構等效支鏈

第三支鏈SPS的等效支鏈：

第三支鏈具備6個自由度,為無約束支鏈,無約束支鏈可由單開鏈法、約束螺旋法、李群理論來產生,本文參考了文獻[4,12],選用了常見的支鏈 ：SPS、PSS 、RSS 、PUS 、UPS 、RUS 、RRRRRR、RRRRRP、RRRRPP、RRRPPP,含有閉環的支鏈有{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R(3S-2P)-S-}、{-P(3S-2R)-P(3S-2R)-R(3S-2R)-S-}、{-P-P(3R-2P)-P(3R-2P)-S-}、{-R(3S-2P)-P(3S-2P)-P(3S-2P)-S-}、{-R(3S-2R)-P(3S-2R)-P(3S-2R)-S-}[4],如表2所示。

2.4 構造2T2R機構

2.4.1 選取支鏈

從表2中,選出4個支鏈：第一、第二支鏈的等效支鏈中任意選2個,第三、第四支鏈的等效支鏈中任意選2個。可得出這4種情況：第一、第二支鏈相同,且第三、第四支鏈相同的有14×15=210種機構,如 2RPU-2SPS;第一、第二支鏈相同,且第三、第四支鏈不同的有14C215=1470種機構,如2RPU-SPS-UPS;第一、第二支鏈不同,且第三、第四支鏈相同的有15C214=1365種機構,如RPU-RPS-2SPS;第一、第二支鏈不同,且第三、第四支鏈不同的有=9555種機構,如 RRURRS-SPS-UPS。

2.4.2 配置支鏈

在支鏈裝配時,為達到期望的自由度,配置支鏈的原則是,由原6R機構演變而來的2條支鏈要共面并且各轉動副互相平行且垂直于該面。

對于支鏈選取的4種情況中,前3種情況的機構中都有相同的支鏈。對于有相同支鏈的機構,相同支鏈可以采取相鄰分布和對角分布兩種配置形式,理論上可以得出210×2+1470×2+1365×2+9555=15 645種 2T2R型四自由度機構。

在這些機構中,第一、第二支鏈相同、且第三、第四支鏈相同的機構具有最大程度的對稱性,選出其中典型的新機構,如圖5中的2RPU-2SPS機構、圖 6中的 2PRU-2PUS機構、圖 7中的2PRU-2RSS機構。

圖 5 2RPU-2SPS機構

圖6 2PRU-2PUS機構

圖7 2PRU-2RSS機構

3 2RPU-2SPS機構的自由度計算和主動副選取

任意選取一新機構2RPU-2SPS,如圖5a所示,運用單開鏈法計算其自由度和確定其主動副。

該機構由 4條單開鏈(single open chain,SOC)組成,其結構為SOC{-R1⊥P2⊥U 3-}、SOC{-R4 ⊥P5 ⊥U6-}、SOC{-S7-P8-S9-}、SOC{-S10-P11-S12-}。

基于單開鏈法計算機構活動度為

式中,F為機構活動度;fi為運動副的自由度;m為運動副數;ξj為第j個基本回路的獨立位移方程數。

對于該機構,4條單開鏈的自由度數分別為4、4、6、6,滿足∑ξj為最小值,它的3個基本回路分別為{-R1(⊥P2)//R31⊥R32/R61⊥R62(⊥P5)//R4-},ξ1=4;{-R1(⊥P2)//R31⊥R32-S7-P8-S9},

其中,R⊥R表示U副用2個垂直的R副代替。

若取P2、P5、P8、P11為主動副并剛化之,剛化后的機構活動度為

其中,滿足 ∑ξj為最小值時,它的3個基本回路分別為{-R1//R31⊥R32/R61⊥R62//R4-},ξ1=4;{-R1//R31⊥R32-S7-S9},ξ2=6;{-S7-S9-S12-S10-},ξ3=6。

因為F*=0,滿足主動副存在準則,故4條支鏈上的移動副P2、P5、P8、P11可同時為主動副。

上述分析表明本文所提出的基于構型演變和李群理論的2T2R型四自由度并聯機構的型綜合方法正確可行。

4 結論

(1)基于構型演變法,提出了一種新的機構2RRU-2SPS,機構具有2個相鄰的RRU支鏈和2個相鄰的SPS支鏈。

(2)在2RRU-2SPS機構的基礎上,運用構型演變和李群理論尋找等效支鏈,綜合出15 645種2T2R機構。

(3)選取典型新機構2RPU-2SPS,分析其自由度和確定主動副,同時也驗證了本文提出的綜合方法的正確性。

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