基于節(jié)理幾何參數不確定性的邊坡可靠度分析

許湘華 ，曲廣琇，方理剛

(1. 中南大學 土木建筑學院，湖南 長沙，410075；2. 貴州省交通規(guī)劃勘察設計研究院，貴州 貴陽，550001)

在很多情況下，巖體受規(guī)模不同、方向各異的多組節(jié)理的切割，破壞了巖體的連續(xù)性和完整性，導致巖體強度和變形性質的各向異性，更使得巖質邊坡系統具有高度不確定性。節(jié)理化巖質邊坡系統的不確定性歸根結底來源于節(jié)理面的隨機分布。對節(jié)理參數的不確定性進行研究和對基于節(jié)理參數不確定性的巖質邊坡可靠度進行分析，在巖質邊坡可靠性評價中顯得尤為重要。節(jié)理幾何參數的概率分布模型主要有均勻分布、負指數分布、正態(tài)分布、對數正態(tài)分布等[1-6]。為了分析節(jié)理參數的不確定性對巖質邊坡可靠性的影響，近年來，可靠度理論被引入邊坡可靠性評價中，如：何滿潮等[7-8]將結構面的力學參數作為隨機變量，幾何參數作為確定值；張奇華[9]把滑面傾角和力學參數作為隨機變量，將坡體體積、滑面面積和其他結構面傾角等隨機量看作確定值，對邊坡可靠度進行分析，但還存在不足；孫樹林等[10]綜合考慮塊體結構面幾何形狀和力學參數的不確定性，把隨機概率模型引入塊體理論，分析了不同結構面參數下邊坡的可靠度；趙奎等[11]探討了節(jié)理面構成塊體的概率公式并對其進行工程應用，分析了邊坡的可靠度。這些研究成果對于由構造控制的邊坡可靠度分析具有重要意義，但是，因節(jié)理參數存在不確定性，研究者對巖質邊坡的可靠性評價不盡合理，同時，考慮節(jié)理參數不確定性的邊坡可靠度分析理論也尚未建立；因此，考慮節(jié)理參數隨機變化對巖質邊坡可靠性影響的分析仍倍受關注，仍需對基于節(jié)理參數不確定性的邊坡可靠度進行分析。在此，本文作者通過理論研究確定節(jié)理幾何參數的概率分布類型，分析其不確定性。以節(jié)理傾向、傾角和間距為隨機變量，提出基于節(jié)理幾何參數不確定性的邊坡可靠度分析方法，并對實際問題進行可靠度分析，以便為巖質邊坡的可靠性評價和防護設計提供理論依據和參考。

1 節(jié)理幾何參數不確定性分析

1.1 節(jié)理幾何參數調查與統計

為了給節(jié)理幾何參數的不確定性分析提供數據，采用測線法對廈蓉(廈門—成都)高速公路某路塹邊坡進行現場節(jié)理調查以獲取大量的節(jié)理樣本。根據結構面控制理論，優(yōu)勢節(jié)理控制著邊坡的穩(wěn)定性，為此，在進行節(jié)理幾何參數概率分布類型分析之前，應用赤平極射投影法對測量的節(jié)理樣本優(yōu)勢節(jié)理進行分組。邊坡體內主要發(fā)育4組優(yōu)勢節(jié)理組，其優(yōu)勢產狀分別為：150°∠82°，200°∠69°，240°∠80°和 300°∠10°。針對以上節(jié)理分組，通過數理統計理論分別對每組節(jié)理的傾向α、傾角β和間距χ進行統計分析，得到相應的概率統計參數，如表1所示。

1.2 節(jié)理幾何參數概率分布類型確定

1.2.1 概率圖法基本原理

對某一組節(jié)理參數n個數據x1, x2, …, xn，選用某一概率分布函數F(x)。首先，將x1, x2, …, xn按其順序排隊，為 θ1, θ2, …, θn。這樣，從理論上講，相應 θi的分布函數應為 F(θi)=i/n。為了避免出現在 i=n時F(θn)=1的不合理現象，定義經驗分布函數值為：

選定F(x)為其理論分布函數，則

以θi為橫坐標，θt為縱坐標，可以將n個數據點繪在該坐標系中。理論上，該n個點應連成1條與橫軸呈夾角為 45°且通過原點的直線。在實際應用中，若該n個點大致上沿1條直線分布，則不論截距和斜率多大，都可以認為該組數據符合所選用的概型F(x)。

表1 節(jié)理幾何參數(α，β，χ)的概率統計參數Table1 Probability statistical parameters of joint geometric parameters (α, β, χ)

1.2.2 結果分析

為了分析節(jié)理幾何參數的不確定性，采用概率圖法研究各組節(jié)理傾向、傾角和間距的概率分布類型，以確定其概率密度，分析結果見圖2～9。

圖 1所示為 J1組節(jié)理傾角正態(tài)分布模型的概率。從圖1可以看出：曲線的數據點基本落在同一條直線上，并且該直線具有通過原點且傾角為 45°的特征。對于其他3種分布類型， J1組節(jié)理傾角符合正態(tài)分布。

通過數理統計理論，確定J1組節(jié)理傾角概率密度為：

圖1 J1節(jié)理傾角正態(tài)分布概率圖Fig.1 Normal distribution probability diagram of J1 dip

圖2 J2節(jié)理傾角正態(tài)分布概率圖Fig.2 Normal distribution probability diagram of J2 dip

圖3 J4節(jié)理傾角正態(tài)分布概率圖Fig.3 Normal distribution probability diagram of J4 dip

圖4 J1節(jié)理傾向對數正態(tài)分布概率圖Fig.4 Lognormal distribution probability diagram of J1 joint trend

圖5 J2節(jié)理傾向對數正態(tài)分布概率圖Fig.5 Lognormal distribution probability diagram of J2 joint trend

圖2 和圖3所示分別為J2和J4節(jié)理傾角的分布概率。從圖2和圖3可以看出：在正態(tài)分布模型下，2組節(jié)理傾角基本連成1條傾斜角為45°的直線。圖4～6所示為J1，J2和J4節(jié)理傾向的分布概率，它們的節(jié)理間距分布概率分別如圖7～9所示。可以看出：在相應的分布模型下，分布曲線的變化趨勢符合概率圖法原理，能夠體現其分布形式；此外，以上概率圖中有部分離散點，這是由個別樣本數據誤差造成的，并不影響樣本總體的分布形式。分析結果表明：各組節(jié)理的傾角多呈正態(tài)分布，節(jié)理傾向多呈對數正態(tài)分布，節(jié)理間距多呈負指數分布。結合數理統計理論，確定了研究區(qū)域內節(jié)理幾何參數的不確定性及其分布概率密度。概率密度函數參數即分布特征參數如表2所示。

圖6 J4節(jié)理傾向對數正態(tài)分布概率圖Fig.6 Lognormal distribution probability diagram of J4 joint trend

圖7 J1節(jié)理間距負指數分布概率圖Fig.7 Negative exponential distribution probability diagram of J1 joint spacing

圖8 J2節(jié)理間距負指數分布概率圖Fig.8 Negative exponential distribution probability diagram of J2 joint spacing

圖9 J4節(jié)理間距負指數分布概率圖Fig.9 Negative exponential distribution probability diagram of J4 joint spacing

表2 邊坡穩(wěn)定性分析的物理力學參數Table 2 Physical and mechanical parameters for stability analysis of rock slope

2 考慮節(jié)理幾何參數不確定性的邊坡可靠性模型的建立與運算

為了建立考慮節(jié)理幾何參數不確定性的邊坡可靠性分析模型，基于現場勘測的雙滑面(J2與 J3組合)邊坡破壞模式，采用Sarma法對邊坡安全系數進行計算。由于Sarma法安全系數計算格式為隱函數，極限狀態(tài)方程無法建立，為此，根據響應面法理論，研究基于Sarma法的邊坡極限狀態(tài)方程 RSM(Response surface method)重構，提出基于節(jié)理幾何參數不確定性的邊坡可靠度分析方法。

2.1 RSM重構原理

對于n個隨機變量x1, x2, …, xn，RSM解析表達式通常為：

式中：a, bi和di(i=1, 2, …, n)均為待定系數，共2n+1個系數。

應用RSM方法重構1個解析表達式，按下述步驟進行：

(2) 根據抽樣所得樣本，利用安全系數K的迭代計算過程計算2n+1個函數值。

(3) 由于式(4)中只有2n+1個待定系數，利用上述迭代得到的 2n+1個函數值解出待定系數 a, bi和 di(i=1, 2, …, n)，得到二次多項式近似功能函數的解析表達式。

(4) 在得出工程近似狀態(tài)函數后，可確定結構的極限狀態(tài)重構方程為：

RSM 重構極限狀態(tài)方程的計算結果精度滿足工程要求[12-14]。

2.2 隨機變量選取

以每個結構面即節(jié)理面的傾向(α1和 α2)、傾角(β1和 β2)、間距(x1和 x2)為隨機變量，巖體重度 γ、邊坡高度H，強度參數(C和φ)等作為常量，進行邊坡可靠度分析。令 X1=α1，X2=α2，X3=β1，X4=β2，X5= x1，X6= x2，將隨機變量表示為隨機向量的形式X=( X1，X2，X3，X4，X5，X6)，其變量參數見表 3。

2.3 極限狀態(tài)功能函數構建

Sarma法安全系數是一個隱函數，無法寫出邊坡穩(wěn)定極限狀態(tài)的解析方程。為了實現隱式功能函數的邊坡可靠性評價，根據 RSM 重構原理，考慮本文選定的隨機變量，確定邊坡穩(wěn)定極限狀態(tài)功能函數為：

式(6)中有6個隨機變量，共13個待定參數。為求解這13個待定系數，將RSM重構思路與Sarma迭代方法結合起來。抽取計算待定參數的樣點值，如表4所示。

將樣點值代入式(6)，聯立方程求解待定參數，確定極限狀態(tài)功能函數為：

至此，建立了基于節(jié)理幾何參數不確定性的Sarma模式響應面法邊坡可靠性分析模型，為進行巖質邊坡可靠度分析奠定了基礎。

2.4 可靠度計算

采用蒙特卡洛法產生隨機數，利用構建的極限狀態(tài)功能函數(式(7))進行邊坡可靠度計算。已知邊坡巖土體力學參數、幾何參數等基本隨機變量的概率分布時，根據邊坡的極限狀態(tài)函數Z=g(X1, X2, …, Xn)，利用蒙特卡洛方法產生符合基本隨機變量概率分布的一組隨機數 x1, x2, …, xn，代入極限狀態(tài)函數 Z=g(X1,X2, …, Xn)，得出極限狀態(tài)函數的1個隨機數z1，用同樣的方法產生 N個極限狀態(tài)函數的隨機數 z1, z2, …,zn。如果在N個極限狀態(tài)函數的隨機數中有M個小于1、等于1或小于等于0，當N足夠大時，根據大數定理，此時的頻率已近似于概率，因而，可得邊坡的破壞概率或者可靠度。

表3 節(jié)理幾何參數(α，β，χ)概率分布形式及其分布特征參數統計Table 3 Probability distribution form of joint geometric parameters (α, β, χ) and its distribution parameters

表4 確定極限狀態(tài)功能函數系數的樣點值Table 4 Sample values to determinate coefficients of limit state functional function

考慮采用蒙特卡羅法研究隨機事件的破壞概率時對模擬次數的要求，根據本文研究方法確定模擬次數為10 000次，能夠滿足計算精確要求。基于節(jié)理幾何參數的概率分布類型及其特征參數，由蒙特卡羅法產生10 000組符合隨機變量分布類型的隨機數Xi，根據所建立的計算模型獲得穩(wěn)定安全系數Zi數組，同時得到Z的統計特征及其小于0的次數m、邊坡的破壞概率pf及可靠度指標β。

式中：N為模擬次數；m為破壞次數；μz和σz分別為Z的均值和方差。

3 邊坡可靠性評價

根據上述分析模型和運算過程，經計算，實例邊坡的破壞概率為25.64，可靠度指標為1.93，平均穩(wěn)定安全系數為1.21。邊坡穩(wěn)定安全系數的統計直方圖如圖10所示。

圖10 安全系數(Fs)統計直方圖Fig.10 Histogram of factor of safety (Fs)

從圖10可以看出：有部分安全系數小于0，這說明實際邊坡工程存在一定的破壞風險。計算結果表明：邊坡處于非穩(wěn)定狀態(tài)，而其平均穩(wěn)定安全系數大于1，說明邊坡工程穩(wěn)定、可靠。這與實例邊坡破壞概率較大的事實不符，驗證了進行邊坡可靠度分析的必要性。

為了研究節(jié)理幾何參數不確定性對邊坡可靠性的影響，在相同模擬次數下計算不同節(jié)理幾何參數下的邊坡破壞概率，如圖11所示。

圖11 節(jié)理幾何參數不確定性對邊坡穩(wěn)定性的影響Fig.11 Effects of uncertainty in joint geometric parameters on stability of rock slope

從圖11可以看出：節(jié)理傾向、傾角和間距對邊坡破壞概率的貢獻是不同的；節(jié)理傾角對邊坡破壞概率的貢獻最大，破壞概率達到87%左右；節(jié)理傾向對邊坡破壞概率的貢獻最小，其破壞概率為52%左右。這說明節(jié)理間距和節(jié)理傾角的隨機分布，嚴重切割了巖體的完整性，導致巖體力學強度下降，邊坡的穩(wěn)定性降低。節(jié)理傾向的隨機分布對巖體的破壞作用較低，但對邊坡穩(wěn)定性也有一定程度的影響。研究結果表明：基于構造控制的巖質邊坡、節(jié)理傾角和間距對邊坡可靠性有非常明顯的影響，是影響邊坡穩(wěn)定的主導因素。因此，在巖質邊坡地質勘測中要盡可能獲得斷層、節(jié)理等詳細資料，從而提高邊坡可靠度分析結果的準確性；此外，針對節(jié)理傾角的主導影響，可以通過設計合適的錨固角來施加錨固力，從而提高邊坡的可靠性。

4 結論

(1) 在優(yōu)勢節(jié)理分組的基礎上，通過數理統計與概率圖法分析了每組節(jié)理幾何參數的概率分布類型，得出各組節(jié)理傾角多呈正態(tài)分布，節(jié)理傾向多呈對數正態(tài)分布，節(jié)理間距多呈負指數分布，確定了研究區(qū)域內節(jié)理幾何參數的不確定性及其分布概率密度。同時，驗證了數理統計與概率圖法相結合的方法是確定節(jié)理幾何參數不確定性的一種有效方法。

(2) 建立了考慮節(jié)理幾何參數不確定性的 Sarma模式響應面邊坡可靠性分析模型，提出了基于節(jié)理幾何參數不確定性的邊坡可靠度分析方法，分析了實例邊坡的可靠性。本文提出的可靠度分析方法能用于準確地評價巖質邊坡工程的可靠性，是一種行之有效的可靠度分析方法。

(3) 節(jié)理傾向、節(jié)理傾角和節(jié)理間距是影響邊坡穩(wěn)定性的主導因素，因此，在進行邊坡穩(wěn)定性分析時要盡可能地詳細調查節(jié)理等結構面資料，在邊坡防護設計時設計合適的錨固角等，從而實現巖質邊坡開挖和支護方案的優(yōu)化設計。

[1] 徐光黎, 潘別桐, 唐輝明, 等. 巖體結構模型與應用[M]. 北京: 中國地質大學出版社, 1993.XU Guang-li, PAN Bie-tong, TANG Hui-ming, et al. Structure model and application of rock mass[M]. Beijing: China University of Geosciences Press,1993.

[2] 陳祖煜, 汪小剛, 楊建, 等. 巖質邊坡穩(wěn)定性分析—原理·方法·程序[M]. 北京: 中國水利水電出版社, 2005.CHEN Zu-yu, WANG Xiao-gang, YANG Jian, et al. Rock slope stability analysis—Principles · methods · program[M]. Beijing:China Water Conservancy and Hydropower Press, 2005.

[3] Goodman R E, Taylor R L, Brekke T L. A model for the mechanics of jointed rock[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations, 1968, 194(3): 637-659.

[4] Hudson J A, Priest S D. Discontinuities frequency in rock masses[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts, 1983, 20(2): 73-89.

[5] Kulatilake P H S W, Wu T H. The density of discontinuity traces in sampling windows[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts,1984, 21(6): 181-190.

[6] Priest S D, Hudson J A. Estimation of discontinuity spacing and trace length using scanline surveys[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts, 1981, 18(3): 183-197.

[7] 何滿潮, 蘇永華, 景海河. 塊狀巖體的穩(wěn)定可靠性分析模型及其應用[J]. 巖石力學與工程學報, 2002, 21(3): 343-345.HE Man-chao, SU Yong-hua, JING Hai-he. Reliability analysis model of block rock mass stability and its application[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2002, 21(3):343-345.

[8] 蘇永華, 姚愛軍, 劉曉明. 裂隙化硬巖洞室圍巖失穩(wěn)分析方法[J]. 巖土力學, 2004, 25(7): 1085-1088.SU Yong-hua, YAO Ai-jun, LIU Xiao-ming. Probability analysis of stability underground cave surrounding rock in fissured rock mass[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(7): 1085-1088.

[9] 張奇華. 塊體理論的應用基礎研究與軟件開發(fā)[D]. 武漢: 武漢大學土木建筑學院, 2004: 10-20.ZHANG Qi-hua. Basic study on application of block theory and development of analytical software[D]. Wuhan: Wuhan University. School of Civil Engineering and Architecture, 2004:10-20.

[10] 孫樹林, 朱杰. 節(jié)理化巖質邊坡的關鍵塊體可靠度分析[J].巖石力學與工程學報, 2007, 26(1): 131-136.SUN Shu-lin, ZHU Jie. Reliability analysis of key block for a jointed rock slope[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(1): 131-136.

[11] 趙奎, 王曉軍, 趙康, 等. 節(jié)理面構成塊體的概率公式及其工程應用[J]. 巖土力學, 2006, 27(3): 369-372.ZHAO Kui, WANG Xiao-jun, ZHAO Kang, et al. A new probability formula of blocks cut by joint planes and its engineering application[J]. Rock and Soil Mechanics, 2006,27(3): 369-372.

[12] 蘇永華, 趙明華, 鄒志鵬, 等. 邊坡穩(wěn)定性分析的Sarma模式及其可靠度計算方法[J]. 水利學報, 2006, 37(4): 457-463.SU Yong-hua, ZHAO Ming-hua, ZOU Zhi-peng, et al. Sarma model for slope stability analysis and its reliability degree calculation method[J]. Shuili Xuebao, 2006, 37(4): 457-463.

[13] 譚曉慧, 王建國, 劉新榮. 改進的響應面法及其在可靠度分析中的應用[J]. 巖石力學與工程學報, 2005, 24(S2):5874-5879.TAN Xiao-hui, WANG Jian-guo, LIU Xin-rong. Improved response surface method and its application to reliability analysis[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005, 24(S2): 5874-5879.

[14] 蘇永華, 趙明華, 蔣德松, 等. 響應面方法在邊坡穩(wěn)定可靠度分析中的應用[J]. 巖石力學與工程學報, 2006, 25(7):1417-1424.SU Yong-hua, ZHAO Ming-hua, JIANG De-song. Application of response surface method to reliability analysis of slope stability[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006, 25(7): 1417-1424.