點嚙合齒面CNC制造技術的曲面包絡逼近法

周凱紅 周曉艷

桂林航天工業高等?？茖W校，桂林，541004

0 引言

準雙曲面齒輪副齒面是一種滿足高速重載動力傳動要求的點嚙合齒面，它的嚙合性能由嚙合點處兩齒面的幾何結構確定?；趥鹘y搖臺式機床的格里森齒面展成技術不能控制兩齒面嚙合跡線上每一個嚙合點處的幾何結構，無法保證加工齒面的嚙合性能。基于計算機數字控制技術的Free－Form型多軸聯動數控機床的出現為改變這種狀況提供了可能。但基于該技術的齒面展成方法是，通過對刀具與工件在展成參考點處的相對空間位置和運動進行等效轉換，直接將傳統搖臺機床加工準雙曲面齒輪的原理和方法運用于Free－Form型機床。這種方法的實質是以數控機床模擬傳統搖臺機床的功能，沒有充分發揮Free－Form型機床萬能運動的特點，無法加工優化設計的嚙合特性預定的點嚙合齒面［1－2］。Litvin等［3］通過展成一個與目標齒面沿一給定的曲線相切的近似曲面，并以該曲面按一個給定的目標函數逼近目標齒面來確定刀具與工件的相對位置和相對運動即機床加工調整參數。該方法只能部分滿足齒面預定的嚙合性能要求［4］。與上述兩種材料線去除齒面加工方法不同，文獻［5］將點嚙合齒面視為一般的自由曲面，在通用數控機床上以具有自適應性法矢的球面作為加工刀具，按給定的刀具軌跡規劃完成齒面的加工。該方法的缺陷是，其材料去除方式是點去除，加工效率低，但從理論上說它能精確加工任何設計齒面。該方法主要用于大模數齒輪和齒輪模具的加工。

本文提出了在內蘊齒面微分幾何特性的曲面活動標架下確定刀具相對工件展成運動的新方法，按此方法加工得到的齒面在指定的接觸跡線附近與目標齒面有二階切觸，并能通過改變刀具在展成目標齒面上指定接觸跡線各點時的姿態，使刀具的包絡面的其他區域以最小偏差逼近目標齒面。這就是所謂展成點嚙合齒面的包絡逼近原理。本文所提出的這種齒面展成方法可以在Free－Form型五軸聯動的數控機床上展成按預定嚙合特性設計的點嚙合齒面。

1 點嚙合齒面展成運動的曲面活動標架描述方法

點嚙合齒面的嚙合特性由兩嚙合齒面接觸跡線上每一個嚙合點處的零至二階參數以及接觸跡線以外兩嚙合齒面的間隙確定?；跀悼丶夹g加工具有預定嚙合特性的點嚙合齒面就是控制刀具相對工件的運動，使刀具曲面在此運動下的包絡面與加工目標齒面沿齒面接觸跡線具有二階切觸，而在接觸跡線以外的區域，包絡面按預定的（最?。┢畋平庸つ繕饲妗Ｒ虼?，展成齒面的刀具相對工件的運動應按加工目標齒面的幾何結構來控制和描述。

活動標架的概念起源于研究剛體運動。Darboux等［6］以空間曲線的Frenet標架沿曲線的運動來研究空間曲線的微分結構。Cartan將活動標架引入空間曲面的研究，又將其從運動群推廣到任意李群，并引進外微分形式，形成研究曲面微分結構的新方法［7］。這一新方法的特點是將曲面微分特性與標架沿曲面的運動聯系起來，特別適合描述和控制刀具展成復雜曲面的相對運動。

如圖1所示，刀具曲面Σt通過相對于坐標系Sp｛Op；xp，yp，zp｝的運動Ψ 包絡出曲面Σg。設Lp是曲面Σg上的一條曲線，Lt是曲面Σt上的一條曲線，Lp與Lt對于運動Ψ相互共軛。Lg是形成包絡曲面Σg的特征線。因此，在運動的任意時刻，曲面Σt與Σg相切于Lg，而Lg總與Lt和Lp三線交于點M，故在點M，對于曲面Σt與Σg分別有活動標架Sft｛M；αt，υt，nt｝和Sfp｛M；αp，υp，np｝。其中，αi（i＝t，p）是曲線Li在點M 的單位切矢，ni是曲面Σ（i）在點M 的單位法矢，υi＝ni×αi。加工目標齒面Σp與曲面Σg固結且沿曲線Lp與曲面Σg具有二階切觸，即曲面Σg和齒面Σp沿曲線Lp二階及二階以下參數均相等。

曲面Σt相對曲面Σg的角速度為

圖1 基于曲面活動標架的齒面展成運動模型

在M點，曲面Σt相對曲面Σg的速度為

因此，在任意點P，曲面Σt相對曲面Σg的速度為

于是，曲面Σt的包絡運動Ψ被表示為曲面Σt和Σg及其各自曲面上的曲線的微分幾何（活動標架運動）參數及兩曲面活動標架的相對位置參數的函數。

2 展成點嚙合齒面的包絡逼近原理

實際上，運動Ψ也代表一種從曲面Σt到曲面Σg的運動變換。如果曲面Σt是一種曲面結構比較簡單的刀具曲面（如平面、圓柱面、圓錐面和各種螺旋面等），那么，通過控制這種變換就可能包絡出結構復雜的曲面Σg使其以最小的誤差逼近一個加工目標曲面。這就是包絡逼近原理。

2.1 加工目標齒面Σp和刀具曲面Σt及坐標系

這里的加工目標齒面Σp及其上指定曲線Lm就是按預定嚙合特性設計的點嚙合齒面和其上的接觸跡線，它在展成運動中始終與坐標系Opxpypzp固結。因為它是要求加工的目標齒面，所以，目標齒面Σp和指定的接觸跡線Lm的方程是已知的，設其在坐標系Opxpypzp中可以分別表示為

接觸跡線Lm的切矢為

刀具曲面就是傳統的標準刀盤，它是一個圓錐面，切齒刀盤與坐標系Otxtytzt固結（圖2），它的參數方程在此坐標系中為

另一個主方向（沿圓錐準線）單位矢量為

圖2 刀具曲面及其坐標系

刀具曲面Σt上展成目標齒面Σp上的接觸跡線Lm的刀刃線Lt即圓錐面的一條母線Ln（圖2）。

2.2 刀具包絡面Σg和目標齒面Σp沿接觸跡線Lm的二階切觸條件

設M處沿接觸線Lg的方向為Ig，M處沿Σp上的指定的曲線Lm的方向為Im（即Lm在點M的切線幺矢ep的方向）（i＝t，p；j＝1，2）分別表示刀具曲面Σt和目標齒面Σp在M處的主方向（圖3），那么，沿方向Ig，曲面Σt與曲面Σg的法曲率和短程撓率相等，即

圖3 由二階插值條件確定位置參數Δ

由于要求刀具曲面Σt所展成的曲面Σg與目標齒面Σp沿指定曲線Lm具有二階切觸，故在M點，曲面Σg與Σp具有相同的主方向和對應相等的主曲率，即

故由歐拉－貝特朗公式可求得

由式（11）～式（13）可將Δ表示為參數rtM和θp的函數。其中，rtM是點M 在曲面Σt上的嚙合點到Σt的錐頂的距離。由于曲面Σt是錐面，當Σt沿錐面母線相對Σp移動（即rtM改變）時，Σt的包絡曲面Σg總能與目標齒面Σp沿指定的曲線Lm具有二階切觸。但對于不同的rtM值，Σg在曲線Lm以外的區域逼近目標齒面Σp的程度是不同的，因此，可以通過控制rtM的變化，使Σg在曲線Lm以外的區域充分逼近目標齒面Σp來控制刀具加工出滿足設計要求的齒面。

2.3 刀具曲面Σt及其包絡曲面Σg在坐標系Sft中的嚙合方程

刀具曲面Σt及其包絡曲面Σg在坐標系Sft中的嚙合方程可寫為

式中，Mfb為坐標系Sft到坐標系Sfp的變換矩陣（圖1）；Mbt為坐標系Otxtytzt到坐標系Sft｛M：et1，et2，nt｝的變換矩陣（圖2）；Mft為坐標系Otxtytzt到坐標系Sfp的變換矩陣（圖2）。

將式（3）、式（15）代入式（14），將式（14）在坐標系Sft中寫成齊次坐標的形式，并消去dsp／dt得

這里要特別指明的是，式（16）中的rtt是曲面Σt與曲面Σg的接觸線Lg上任意點N到曲面Σt錐頂Ot的距離（即向量r的模）（圖2）。

2.4 刀具曲面Σt的包絡曲面Σg在坐標系Sp中的參數方程

曲面Σg是刀具曲面Σt相對工件運動形成的曲面族的包絡面，它在工件固連坐標系Sp中的參數方程為

式（18）中的npp總是指向Σp的實體。

由式（17）可消去參數rtt，故曲面Σg的參數方程可表示為關于θt、θp、rtM和drtM／dθp的參數方程，這個曲面方程中的θp是曲面Σg的獨立參數，它表示Σg與Σt接觸線的位置。為了在下面曲面Σg與齒面Σp發生關系時，避免與Σp的參數θp混淆，故把這個曲面方程中的θp命名為θg，即

2.5 通過曲面Σg逼近目標齒面Σp確定參數rtM和drtM／dθp

刀具曲面Σt沿接觸跡線Lm相對齒面Σp按式（3）運動，在與齒面Σp固連的坐標系下展成曲面族Σg（式（19））。這是一個與齒面Σp在接觸跡線Lm附近有二階切觸的曲面族，若以Σg最小偏差逼近目標齒面Σp為條件，可以從此曲面族中優選出一個曲面，從而確定rtM及drtM／dθp，進而由式（13）確定Δ（rtM，θp），最終由式（3）確定刀具與工件之間的相對運動。為此必須建立以曲面Σg與目標齒面Σp偏差距離δ最小為目標的齒面優化模型。

圖4 曲面Σg沿接觸線Lgk與曲面Σp的偏差的確定

因為要同時控制接觸跡線Lm兩側的偏差最小，所以，齒面優化目標是接觸跡線兩側的偏差和最小，故曲面逼近的數學模型如下：

目標函數

約束條件

判斷Fk是否小于一個設計所要求很小的偏差值ε，若是，則接受上述設計結果；若不是，則應改變刀具曲面Σt的形狀，重新按上述方法設計刀具相對工件的運動。一般通過改變Σt的壓力角即半錐角α0t或將Σt由錐面改為球面來滿足加工要求。

確定與Mk對應的式（15）確定展成 Mk時的Δ，然后，由式（8）、式（12）確定刀具相對工件的運動。這就是由展成齒面的幾何結構確定的刀具相對工件的運動方程，它寫在坐標系Sfp下。通過坐標系Opxpypzp、Sfp、Sft和Otxtytzt之間的坐標變換矩陣可以將刀具相對工件的運動方程寫到坐標系Opxpypzp中，并確定刀具相對工件的位置關系。上述刀具與工件相對運動和相對位置的描述都是在坐標系Opxpypzp、Sfp、Sft和Otxtytzt中進行的（圖3、圖4），與機床坐標系無關。要在Free－Form型機床上加工上述齒面，必須在Free－Form型機床上等效實現刀具與工件的上述相對運動和相對位置關系。

3 包絡逼近原理在Free－Form型機床上的實現

3.1 Free－Form型機床簡介

圖5是CNC銑齒機的三維概念圖。Free－Form型機床將齒輪加工所需的全部運動用六坐標數控軸實現，取消了搖臺、刀傾及偏心機構等，它具有六個聯動坐標軸：三個平動軸X、Y、Z；三個轉動軸A、B、C。六根軸提供六個自由度，可靈活地控制工件與刀具在空間中的位置和運動。在Free－Form型機床上進行加工時，刀具與工件的運動被分解成為X、Y、Z三個方向的直線運動和A、B、C三個回轉運動。刀盤軸線與Z軸平行，工件軸線平行于XZ平面。

圖5 Free－Form機床的三維概念模型

另外，在Free－Form型機床上，六根數控軸的運動是獨立的，但是，只有X、Y、Z三個方向的直線運動和A、B兩個回轉運動合成工件和刀具之間的展成運動，它們按不同組合進行聯動，可以展成不同曲面逼近預先設計的齒面。刀盤軸線C只產生切削力所需的運動，與齒面展成運動無關。

3.2 機床運動分析坐標系

如圖6所示，坐標系Otxtytzt和Opxpypzp是分別與刀刃和工件固結的坐標系，其中zt軸和zp軸分別與C軸和A軸重合。Omxmymzm是與機架固結的固定坐標系，Om位于A軸與B軸的交點，它的各坐標軸分別與機床各坐標軸對應平行。坐標系Ohxhyhzh與Omxmymzm的各對應坐標軸相互平行，其坐標原點Oh與坐標系Otxtytzt的坐標原點Ot重合于刀盤錐頂。軸zh與C軸重合。坐標系Oexeyeze相對坐標系Omxmymzm繞軸ym轉動，ym與B軸平行。Oe與Om重合，軸ye與軸ym重合。坐標系Odxdydzd的xd軸與xe重合于A軸，其余各坐標軸與Oexeyeze的對應各軸相互平行，其坐標原點Od與Om的距離xmdx為常數。Od與Op重合于工件齒輪的根錐錐頂。

圖6 Free－Form型機床運動分析所涉及的坐標系

3.3 機床加工調整參數的確定

在Free－Form型機床上實現包絡逼近的實質是，通過圖6所示的機床坐標系實現圖7所示的與包絡逼近等效的坐標變換。這一過程由以下兩部分確定。

圖7 在Free－Form型機床上實現包絡逼近時，從刀具曲面到加工目標曲面的兩條等效坐標變換路徑

3．3．1 由刀具相對工件的等效運動關系確定機床加工時各控制軸的運動方程

按圖5、圖6所示的Free－Form型機床結構和坐標系關系，寫出刀具和工件在五軸聯動下的運動方程，并與式（1）、式（3）描述的方程比較，從而求出各運動軸的運動控制方程。

首先得到A軸的位置控制方程：

其次得到B軸的運動控制方程：

最后得到在機床坐標系Omxmymzm下展成點M處刀具相對工件的的速度為

由式（25）得在坐標系Omxmymzm中刀具錐頂Ot相對坐標原點Oe的運動速度為

式中，Mem、Mpe、Mpf、Mmt均為坐標變換矩陣（圖7）為角速度矢量的坐標方陣。

由式（26）可得機床沿X、Y、Z軸的運動方程。

式（24）、式（26）確定了Free－Form型機床按設計齒面要求加工預定齒面時各數控軸的運動方程，這里，A軸的運動是基準運動。

3．3．2 Free－Form型機床坐標系中刀具與工件相對位置關系的確定

按圖5、圖6所示的Free－Form型機床結構和坐標系關系，寫出刀具和工件在五軸聯動下的各機床坐標系的變換矩陣，并與坐標系Opxpypzp、Sfp、Sft和Otxtytzt組成的坐標系變換關系進行比較，從而求出各運動軸的位置控制方程：

在式（27）中，θA已經由式（23）給出也已經由上節的曲面包絡逼近模型確定，因此，在展成M點時，刀具錐面頂點Oh在機床坐標系Omxmymzm的坐標值可以用工件繞B旋轉軸相對初始位置轉過的角度θB表示。安裝距的初始值（展成第一個點時的θB值）確定了展成點在機床坐標系中的位置，因此，可以根據機床結構和展成齒面在機床坐標系中的合理位置來選定θB的初始值，其他展成位置的θB值由式（24）對θp的積分式確定。恰當選擇θB的初始值可以優化刀具展成齒面時的切削力。安裝距的確定原理與θB的初始值相同。

在按上述方法確定了刀具相對工件的切齒運動和相對位置的控制，并通過五軸聯動數控機床實現這些相對運動和五軸位置關系后，接下來要考慮的是齒深控制問題。這里，控制齒深的方法是：在不改變上述刀具與工件相對運動和相對位置關系的情況下，由預先設計的根錐，按嚙合原理，對標準圓錐刀盤的刀頂面進行修形（展成），使它們在上述機床運動下與預先設計的根錐共軛，從而切實控制齒深。用這種方法就不必對已經按上述方法設計好的機床調整參數進行修正了。

4 切齒計算實例結果與分析

下面以一弧齒錐齒輪小輪凹面（正車面）的切齒計算為例來驗證上述理論推導的正確性。齒輪的基本參數見表1；齒面接觸跡線上部分點的一階和二階參數見表2。

表1 弧齒錐齒輪副小輪主要幾何參數表

表2 齒面接觸跡線上部分點的曲率及坐標

根據本文介紹的切齒加工原理可知：如果不計切齒計算誤差和機床加工誤差，在加工得到的齒面Σg上，沿指定的接觸跡線上各點的零階、一階和二階參數與要求加工的齒面Σp對應各點的零階、一階和二階參數都完全相等，即Σp與Σg沿指定接觸跡線具有二階切觸。因此，本文介紹的切齒方法能夠加工按預定嚙合特性設計的點嚙合齒面。表3給出了展成接觸跡線上各點的同時，在實際齒面范圍內，展成齒面其他區域的最大偏差。圖8是按本文介紹方法展成的齒面與理論齒面對照的拓撲修形圖。這里的理論齒面是：由給定大輪齒面設計小輪齒面時，大輪按設計所要求的傳動規律在工件坐標系中運動得到大輪包絡面。其中，刀具包絡面Σg、加工目標齒面Σp和大輪包絡面都在工件坐標系Opxpypzp中，它們沿指定的接觸跡線相切，且有二階切觸。在小輪坐標系中，這三個曲面的位置關系如圖9所示。在這三個曲面中，刀具包絡面Σg可以由刀具曲面通過展成運動，由嚙合方程求得；大輪包絡面可以由大輪齒面通過指定的大小輪的相對運動，由嚙合方程求得。

表3 刀具在展成曲面與目標齒面的最大偏差δmax

圖8 包絡逼近法展成的小輪凹面與理論齒面凹面的偏差分析拓撲圖（μm）

圖9 大輪齒面包絡面、小輪加工目標齒面和刀具齒面包絡面之間的關系

加工目標齒面Σp要依據加載齒面接觸分析（load tooth contact analysis，LTCA）的計算結果確定。由于LTCA的計算很復雜，且所得到的結果一般還需試驗驗證其精度，因此，一般Σp確切的曲面方程很難得到?？紤]到大輪包絡面與Σp有圖9所示的位置關系，且二者偏差很小，故在本文中提到的刀具包絡面Σg逼近的目標曲面（Σp），在實際切齒計算中用大輪包絡面替代。由圖8和圖9可知，當Σg逼近大輪包絡面的最大偏差為δmax時，Σg逼近Σp的最大偏差δmaxb將不大于δmax，因此，這種替代對最終得到的齒面嚙合特性造成的影響是可以控制的，即這種影響可以控制在LTCA結果所要求的范圍內。上述分析表明：包絡逼近法展成的小輪齒面始終能確保其與大輪齒面嚙合時獲得沿預定接觸跡線上每一嚙合點都具有預定的嚙合特性。

在本例中，按上節所介紹的切齒方法得到的齒面與大輪包絡面的偏差最大值為0．45μm，與目標齒面的偏差最大值會小于這個值。進一步研究表明，如果適當改變刀具的形狀，還可以進一步降低偏差，理論上可以證明曲面的包絡逼近方法可以充分（無限）逼近加工目標曲面。這個實例也表明本文所介紹的加工方法具有很高的精度。

5 結束語

提出了在Free－Form型五軸聯動數控機床上加工具有預定嚙合特性的點嚙合齒面的新的加工方法——曲面的包絡逼近法。在新的齒面展成方法中，刀具相對工件的展成運動是在內蘊齒面微分幾何特性的曲面活動標架下設計的，這就確保了加工得到的齒面在指定的接觸跡線附近與目標齒面有二階切觸，并能通過改變刀具在展成目標齒面上指定接觸跡線各點時的姿態，使刀具的包絡面的其他區域以最小偏差逼近目標齒面。實例計算證實了所提出理論和方法能確保所展成的點嚙合齒面沿接觸跡線的每一嚙合點具有預定的嚙合特性，并在接觸跡線以外的齒面區域高精度地逼近加工目標齒面。

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