基于損傷力學的疲勞壽命和裂紋擴展的數值分析

董 赟 蔡敢為 鄭戰光 毛坤朋

廣西大學，南寧，530004

0 引言

在實際工作狀態下，工程結構件往往承受交變載荷，因此疲勞損傷破壞是工程結構的主要破壞形式之一［1］。近年來，疲勞問題的重要性引起了各方關注，人們利用各種方法對構件疲勞損傷壽命進行預測。其中，文獻［2］基于構件的S－N曲線，結合實測應力譜，采用基于Miner線性損傷累積原理的名義應力估算法預測疲勞壽命；文獻［3］用模糊理論中的隸屬函數描述應力接近疲勞極限時對構件造成損傷的模糊性，對疲勞破壞進行壽命分析；文獻［4］利用彈塑性有限元分析得到缺口根部局部應力應變數據，用KBM法和SWT法預測缺口件的疲勞裂紋萌生壽命；文獻［5］根據斷裂力學的基本原理，推導出了組合梁栓釘的疲勞壽命計算公式；文獻［6］用應力、應變場強度這兩個參數來表征破壞區域的疲勞損傷，對疲勞損傷破壞進行壽命預測。上述方法都沒有給出相應循環次數下裂紋的擴展路徑，而裂紋的發生發展過程主宰著失效過程［7］，因此研究裂紋的擴展對零件的安全設計有重要意義。

本文基于文獻［8－9］的附加載荷法，結合生死單元技術，以循環次數劃分步長，建立了一種損傷力學—附加載荷—有限元法計算格式。采用損傷演化方程中的材質參數，利用ANSYS的二次開發工具APDL語言，對P355NL1鋼標準件的損傷破壞過程進行數值模擬計算，在得到裂紋萌生壽命和擴展壽命的同時，給出了不同循環次數下裂紋的擴展路徑。

1 疲勞損傷模型

對于疲勞損傷問題，應考慮以下四個方面［10］：①微裂紋的形成及擴展；②加載條件下的非線性累積損傷效應；③疲勞極限在初始損傷之后顯著減小；④S－N曲線的平均應力效應。根據以上損傷特征，Chaboche等［11］提出一個疲勞損傷累積模型來描述材料的劣化過程，模型如下：

式中，σ為應力；D 為 損傷，取值范圍為［0，1］；N 為 疲勞循環次數；σM為最大應力；σ為平均應力；β、A（σM，σ）、M為系數，均與材料和溫度有關。

式中，σ1為對稱疲勞強度；σu為拉伸疲勞強度；a、b、M0為與材料有關的常數；〈·〉表示當x＞0時，〈x〉＝x，當x＜0時，〈x〉＝0。

2 損傷力學—附加載荷—有限元法

2.1 附加載荷有限元法

損傷互耦的應力與應變的關系為

式中，E為單元的彈性模量；ε為單元應變矩陣；De為單元的損傷。

將式（5）展開，得

式中，δe為單元節點位移；B為單元幾何矩陣。

由虛功原理，得單元節點力

式中，ke為單元無損彈性剛度矩陣；FDe為由損傷引起的單元附加載荷節點力矩陣。

式中，Se為面積單元。

則

式中，δ為總體位移矩陣；Ae為協調矩陣。

又由虛功原理，得總體外力

式中，k為總體無損傷彈性剛度矩陣；FD為由損傷引起的總體附加外力矩陣。

由式（15）式得

損傷效應可看成是使單元剛度降低。如果假定單元剛度保持不變，則等價于使單元承受的荷載相應增加，因此，可以把有損傷的問題轉化為無損傷的問題進行分析。

2.2 預測裂紋壽命的算法

令危險單元ei的損傷為D（ei），循環一次的損傷增量為ΔD（ei）。由彈性疲勞損傷模型式（1）可知：

令任意單元x的損傷及其損傷增量分別為D（x）和ΔD（x），則

聯立式（19）和式（20）得

采用修正的附加載荷有限元法計算時的流程如圖1所示。

圖1 修正的附加載荷有限元法流程圖

通常采用單元的初始損傷模擬材料的初始缺陷，設缺陷的尺寸（面積）為A′，有限元模型中缺陷所在的單元（危險單元）尺寸（面積）為A，則危險單元的初始損傷為［12］

由于標準試件幾乎沒有初始缺陷，即lim D0＝0，本文取D0＝1×10－15。

算法的具體步驟如下：

（1）應用附加載荷有限元法，對有初始損傷的構件，分析相應的位移場和應力場，找出最大應力單元作為危險單元，記為e1。

（2）根據式（19）計算第一個危險單元循環一次的損傷增量ΔD（1）1（e1）

745 Modeling and validation of a survival prediction model for hepatocellular carcinoma patients after liver transplantation based on up-to-seven criteria

由于用單元的初始損傷模擬材料的初始缺陷時，僅限于第一個危險單元，所以開始計算時，非危險單元的初始損傷為零，即式中D（1）0（x）＝0。

（4）分析損傷場

（5）由附加載荷有限元法（式（14）和式（15））計算損傷演化后的位移場和應力場，再找出最大應力單元。重復步驟（1）至步驟（4），一直到Dk1（e1）＝1為止，殺死該危險單元，此時的循環次數k1為裂紋的萌生壽命。此時有

（6）由附加載荷有限元法計算殺死第一個危險單元后的位移場和應力場，找出的最大應力單元為初始裂紋形成后的危險單元，記為e2。這時的損傷場就是上述裂紋形成后所對應的損傷場，即

（10）重復以上步驟，直到第m個危險單元em被殺死。此時總的循環次數k＝k1＋k2＋k3＋……＋km為構件的總壽命。

單元在加載過程中應具有承受大變形、大應變的能力，并能在不喪失精確性的前提下忍受不規則形狀，結合單元“殺死”功能，本文選取Plane82單元。

3 算例驗證

對P355NL1鋼含溝槽軸對稱試件進行交變載荷作用下的疲勞壽命和裂紋擴展的數值模擬計算，并通過GPS－200CS高頻疲勞試驗機對相同尺寸的4個試樣進行拉伸疲勞試驗。對計算結果和試驗結果進行比較，結果見表1。表2為從文獻［13］中得到的P355NL1材料的力學性能參數。圖2和圖3分別為裂紋萌生和總裂紋的應力分布云圖。圖4為構件的試驗裂紋路徑圖。

表1 高周疲勞試驗結果和計算結果的比較

表2 通過光滑試件得到的疲勞損傷模型的性能參數

圖2 試件裂紋萌生階段應力分布

圖3 試件總裂紋應力分布

圖4 試件試驗裂紋路徑

圖2 和圖3表明，裂紋的萌生壽命超過全壽命的90%。這是因為試樣初始損傷很小，應力分布比較均勻，同一截面上的單元幾乎同時被破壞，所以擴展壽命非常短。由于本文在疲勞損傷有限元分析中沒有考慮材料的循環強化作用，計算結果較試驗結果偏小，導致表1中計算結果是試驗結果的下限。

本文所建立的預測疲勞損傷破壞的數值方法首先是以最大應力單元作為危險單元，然后通過應力大小迭代求出單元損傷D，直至D＝1，單元被破壞為止。所以影響萌生壽命和擴展壽命的主要是因素單元應力值。從理論上講，只要邊界條件正確，作用的載荷取得準確，當網格無限細化時，有限元解收斂于精確的解析解［14］，即當單元尺寸（本文單元面積為1／2×74×98（μm2））足夠小時，有限元解析所得的應力值及模擬的裂紋擴展路徑趨于真值。表1的數據表明，在該單元尺寸下，可以較準確地預測疲勞壽命；圖3和圖4的比較說明，用“殺死”危險單元的方法基本能預估裂紋的擴展路徑。

4 結束語

利用ANSYS的二次開發工具APDL語言，對P355NL1鋼標準件的損傷破壞過程進行數值模擬計算，得到不同循環次數下的損傷應力場。對試件在循環載荷作用下的裂紋萌生壽命和擴展壽命進行計算，并結合生死單元技術給出了擴展路徑。計算結果與試驗結果比較表明，結合損傷力學理論，以循環次數劃分步長，建立的損傷力學—附加載荷—有限元法計算格式對軸對稱構件疲勞壽命和擴展路徑的預測較為準確，從而可使設計周期大為縮短，提高設計效率。

［1］ 張淼，孟慶春，張行．無擴口管路連接件疲勞壽命預估的損傷力學－有限元法［J］．航空學報，2009，30（3）：435－443．

［2］ 徐承軍．基于名義應力法的港口起重機金屬結構安全使用期估算［J］．武漢理工大學學報，2007，31（2）：293－295．

［3］ 王旭亮，聶宏．基于模糊理論的疲勞壽命估算方法［J］．中國機械工程，2008，19（17）：2095－2097．

［4］ 孫國芹，尚德廣，陳建華，等．缺口件兩軸循環彈塑性有限元分析及壽命預測［J］．機械工程學報，2008，44（2）：134－138．

［5］ 王宇航，聶建國．基于斷裂力學的組合梁栓釘疲勞性能［J］．清華大學學報（自然科學版），2009，49（9）：35－38．

［6］ 郭海丁，武奇．基于場強法的平板法蘭角焊縫接頭的疲勞壽命估算方法［J］．航空動力學報，2008，23（6）：1082－1086．

［7］ 王永偉．結構疲勞裂紋擴展的數值模擬［D］．大連：大連理工大學，2005．

［8］ 楊繼運，張行，張珉．基于疲勞裂紋形成曲線的裂紋擴展分析數值方法［J］．機械工程學報，2004，40（7）：50－62．

［9］ 唐雪松，楊繼運，蔣持平，等．軸對稱構件疲勞壽命預測的損傷力學－附加載荷－有限元法［J］．航空學報，2002，23（2）：97－101．

［10］ Chaboche J L．Continuum Damage Mechanics PartⅡ－Damage Growth，Crack Initiation and Crack Growth［J］．ASME，J．App．Mech．，1988，55：65－72．

［11］ Chaboche J L，Lesne P M．A Non－Linear Continuous Fatigue Damage Model［J］．Fatigue Fract．Engng．Mater．Struct．，1988，11：1－17．

［12］ 劉相新．基于損傷力學的粉末高溫合金（FGH95）壽命預測及試驗研究［D］．北京：北京航空航天大學，2002．

［13］ de Jesus A M P，Ribeiro A S，Fernandes A A．Finite Element Modeling of Fatigue Damage Using a Continuum Damage Mechanics Approach［J］．Journal of Pressure Vessel Technology，2005，127（5）：157－164．

［14］ 王勖成，邵敏．有限單元法基本原理和數值方法［M］．北京：清華大學出版社，1997．