微位移機構中變截面柔性鉸鏈等效剛度的求解方法研究

劉慶玲 翁海珊 邱麗芳

1.北京科技大學,北京,100083 2.廊坊師范學院,廊坊,065000

0 引言

柔性機構利用柔性鉸鏈的彈性變形實現運動的傳遞,具有無摩擦、無間隙、運動靈敏度高的特點,在微機電、航空航天、機器人等眾多領域獲得了廣泛的應用[1]。對柔性機構變形特性的分析,目前大多采用以下方法：基于鉸鏈柔度的計算方法[2],但分析過程復雜且計算量大;偽剛體模型法,偽剛體模型中柔性鉸鏈等效剛度k的確定是一個關鍵問題[3]。柔性機構中廣泛應用的直梁形形[4]、導角形[5]、橢圓形等各種變截面柔性鉸鏈以其各自的優勢在柔性機構中也獲得了廣泛的應用[6]。由于鉸鏈厚度的變化,采用最小厚度或平均厚度近似計算[7]其等效剛度,無疑會導致誤差的產生。因此,合理確定變截面柔性鉸鏈的等效剛度k是十分必要的。本文對此作了分析,給出了兩種求解方法,并將其應用于微位移放大機構的分析中。

1 變截面柔性鉸鏈等效剛度的確定

任意變截面柔性鉸鏈的結構示意圖及符號意義如圖1所示。鉸鏈的最小厚度、兩端的厚度即鉸鏈的最大厚度分別用t、h表示。

圖1 帶有變截面柔性鉸鏈的柔性構件結構示意圖

1.1 修正系數法

由于柔性鉸鏈的厚度連續變化,本文提出了等效厚度的概念,記為h,以此來計算變截面柔性鉸鏈的等效剛度。為此,作如下定義：

(2)定義變截面柔性鉸鏈的等效厚度h,且約定h=μh,其中h 為變截面柔性鉸鏈的平均厚度;μ為修正系數,取決于柔性鉸鏈本身的結構特性。

以圓弧型變截面柔性鉸鏈為例,材料選用鈹青銅,彈性模量E=126GPa,其最小厚度t分別取0.4mm、0.5mm、0.6mm 、0.8mm;改變鉸鏈的最大厚度 h,使其滿足h/t=2,3,…,12;鉸鏈長l=8mm;桿件參數：H=10mm,L=60mm;柔性構件寬度b=20mm。采用如下方法獲得一系列相應的修正系數μ。

(1)采用有限元分析法分析柔性構件的變形,其有限元模型如圖2所示。在柔性構件末端施加不同載荷,得到柔性構件末端角變形的大小,借助偽剛體模型法的相關理論,反推求得一個對應的鉸鏈厚度值h。

圖2 柔性構件的有限元模型(t=0.5mm,h=5mm)

(2)計算變截面柔性鉸鏈的平均厚度h：

通過h與h 之比,得出修正系數 μ值,經過多組實例的計算,取其平均值,得到修正系數的經驗數值,列于表1。

表1 修正系數μ的經驗值

對于表1中的數據,以αh為自變量,對其進行曲線擬合,結果如下：

利用上述方法,得到一系列修正系數μ,對變截面柔性鉸鏈的平均厚度h 進行修正,得到變截面柔性鉸鏈的等效厚度h,以此計算鉸鏈的等效剛度k,即

1.2 變截面法

對于圖1所示的任意變截面柔性鉸鏈,充分考慮其截面的變化,依據材料力學中梁的基本變形方程,采用積分的方法求得等效剛度。取距固定端距離為x的任意截面A,設該處鉸鏈的厚度為h(x),對該截面A進行受力分析,可得截面處的力矩為

根據材料力學中梁的基本變形方程：

考慮小變形,將式(4)代入式(5),可求得柔性鉸鏈的角變形θ為

由偽剛體理論,有

將式(7)代入式(8),可得

考慮小變形,cosθ≈1,可得

利用上述方法,確定了變截面柔性鉸鏈的厚度表達式h(x),即可由式(9)求得不同類型、不同結構尺寸的變截面柔性鉸鏈的等效剛度k。

1.3 兩種方法的對比

帶有圓弧型柔性鉸鏈的柔性構件,給定幾何參數如下：l=8mm,h=3mm,H=10mm,L=60mm,寬度b=20mm,鉸鏈最小厚度t分別取0.4mm 、0.5mm、0.6mm,設變截面柔性鉸鏈對應的等效剛度k分別為k 1、k2、k3,采用兩種方法進行求解。

(1)修正系數法。給出的3個變截面柔性鉸鏈,其特征厚度比分別為：αh1=7.5;αh2=6,αh3=5,由表1結合式(3)求得的各修正系數μ分別為0.5422、0.6048、0.6607。用式(2)求得平均厚度,對其進行修正。由式(4)求得的k值分別為：k1=7.0289,k2=12.3564,k3=19.7756。

(2)變截面法。將各變截面柔性鉸鏈的參數分別代入式(9),得到k1=6.981,k2=12.0344,k3=19.2791。

由計算結果可以看出,兩種方法的結果基本一致。但是比較而言,修正系數法中的μ值隨變截面柔性鉸鏈的結構、尺寸的變化而變化,需要通過大量算例反推而求得,該方法繁瑣且耗時,不具有通用性,且計算精度不高;而變截面法直接利用鉸鏈的幾何特征,計算過程簡單,精度高,具有一定的通用性。

2 變截面法在微位移機構中的應用

柔性鉸鏈八桿微位移放大機構如圖3所示,8個圓弧形柔性鉸鏈大小相同,對稱設計,下端固定。在機構兩側 A、B處對稱施加水平方向的載荷,通過兩側收縮(或擴張)產生輸入位移,利用柔性鉸鏈的彎曲變形,獲得與輸入方向垂直的輸出位移,以及機構的放大比。該機構材料為單晶硅,彈性模量為 169GPa,整個機構的寬度為75μm,該機構雙向對稱,相關幾何尺寸如圖3所示。下面分析該機構在不同載荷作用下的輸入、輸出位移及其放大比。

圖3 柔性鉸鏈八桿微位移放大機構示意圖

2.1 變截面法理論計算

將圖3中相關幾何尺寸代入式(9),求得的各柔性鉸鏈等效剛度均為4.1033×10-5,在此基礎上,依據偽剛體理論,對該柔性鉸鏈八桿微位移放大機構進行分析,求得該機構在水平載荷作用下的輸入位移、輸出位移及其放大比。求解結果如表2所示。

表2 柔性鉸鏈八桿微位移放大機構理論計算與有限元分析的結果對比及相對誤差

2.2 有限元法仿真分析

在ANSYS環境下,選取Solid45單元類型,建立相同結構尺寸的柔性微位移放大機構的有限元模型,如圖4所示。對機構底部施加約束,在其兩側的中部對稱施加水平載荷,分析機構在不同載荷作用下的輸入、輸出位移,進而求得放大比。有限元的分析結果列于表2。

圖4 柔性鉸鏈八桿微位移放大機構的有限元模型

2.3 結果對比分析

由表2數據可明顯看出,采用變截面法計算柔性鉸鏈的等效剛度,進而求得微位移機構的輸入、輸出位移以及放大比,所得結果與有限元法的分析結果基本一致,其輸入位移、輸出位移的相對誤差均在2%左右。引起誤差的主要原因有：機構在進行簡化過程中會產生一定誤差,桿并非理想剛性桿,存在一定變形;在計算機仿真時,由于角變形很小,利用弦長代替弧長計算,也是造成誤差的一個原因。

3 結論

針對變截面柔性鉸鏈等效剛度k值的計算進行了研究,給出了兩種求解方法：修正系數法與變截面法。比較而言,變截面法具有通用性,而且計算簡便。采用變截面方法計算了柔性鉸鏈八桿微位移放大機構中圓弧型柔性鉸鏈的等效剛度k,在此基礎上,依據偽剛體理論分析了該微位移機構的變形,將求解結果與有限元法的分析結果相對比,二者具有較好的一致性,驗證了k值計算的正確性。

[1] 于靖軍,宗光華,畢樹生.全柔性機構與M EMS[J].光學精密工程,2001,9(1)：1-5.

[2] 張志杰,袁怡寶.典型柔性鉸鏈柔度性能的計算與分析[J].工程力學,2008,25(4)：106-110.

[3] Midha A,Howell L L,Norton T W.Limit Positions of Compliant Mechanisms Using the Pseudo-right-body Model Concept[J].Mechanism and Machine Theory,2000,35(1)：99-115.

[4] Yong Yuenkuan,Lu Tienfu,Handley D C.Review of Circular Flexure Hinge Design Equations and Derivation of Empirical Formulations[J].Precision Engineering,2007,5：1-8.

[5] Lobontiu N,Paine J S N.Corner-filleted Flexure Hinges[J].Mechanical Sign,2001,123：346-352.

[6] Yong Yuenkuan,Lu Tienfu.The Effect of the Accuracies of Flexure Hinge Equations on the Output Compliances of Planar Micro-motion Stages[J].Mechanism and Machine Theory,2008,43(3)：347-363.

[7] Wu Yingfei,Zhou Zhaoying.Design Calculations for Flexure Hinges[J].Preview of Scientific Instruments,2002,73(8)：3101-3106.