基于載荷二維分布的可靠性分析方法

高 鵬 謝里陽

東北大學,沈陽,110004

0 引言

機械零件及系統的載荷一般可以用復雜的時間-載荷歷程來描述,也即可以用隨機過程來對載荷歷程進行數學描述。因此,當零件承受載荷多次作用時,則不能簡單地應用載荷-強度干涉模型進行計算,而應該從載荷歷程的統計特性出發,考慮載荷作用次數對于零件及系統可靠度的影響。近年來,有學者對載荷多次作用下零件的可靠度計算進行了研究[1-5]。文獻[4]假設強度不退化,分析了載荷作用次數對可靠度的影響。文獻[5]通過遞推公式得到多級載荷下考慮強度退化的可靠度計算。但是,這些模型中沒有考慮載荷的隨機性,并且沒有對載荷的隨機歷程進行詳細闡述,導致模型中隨機變量物理意義不明確,無法全面表達隨機載荷多次作用時的可靠度變化規律。

本文首先對載荷歷程進行了分析,提出隨機載荷的二維分布：橫向分布和縱向分布;然后,根據組成系統的零件間的結構關系,提出考慮共因失效時機械系統的可靠度計算公式。

1 基于載荷縱向分布的零件可靠性分析

載荷-強度干涉模型是機械零件靜態可靠度分析的基礎。用f s(s)、f r(r)分別表示載荷和強度的概率密度函數,Fr(?)表示強度的分布函數,則載荷小于強度的概率也即可靠度為

這就是Freudenthal于1947年提出的著名的載荷-強度干涉模型[6]。其中,載荷和強度是廣義的,載荷可以是應力、溫度、腐蝕、載荷的作用次數等,強度可以是疲勞強度、抗熱性、抗腐蝕性、零件的失效循環數等。該模型適用于隨機載荷作用一次或者考慮個體差異的恒幅載荷作用下的可靠度計算。實際上,零件往往承受隨機載荷的多次作用,這時,載荷需要用一個隨機過程來描述。工程上,經常通過多次記錄載荷的整個時間歷程來獲得多個樣本,并通過對樣本的統計分析得到載荷的統計特性。

對于確定時刻(或者確定載荷作用次數)通過統計得到的載荷概率密度函數,稱為載荷的縱向概率密度函數,而不同時刻的縱向概率密度函數一般是不同的。用f si(si)、F ri(r i)分別表示第i次作用時載荷概率密度函數和強度的分布函數,Ri表示載荷作用第i次時零件不發生失效的概率,假設零件的初始可靠度為R0,則隨機載荷作用n次(n≥1)后的可靠度為

這就是基于載荷縱向分布的零件可靠度模型。

2 強度不退化時基于載荷橫向分布的零件可靠性分析

對于載荷整個時間軸的統計分析得到的概率密度函數稱為載荷的橫向概率密度函數。通常使用的各種計數法(如雨流計數法等)得到的分布是這種分布。值得注意的是,每個樣本得到的概率密度函數一般都不相同,通常使用的概率密度函數可以看作是載荷橫向分布的一次實現(只統計一個樣本),或者載荷橫向分布的平均分布。為了對此進行描述,用Xj表示載荷橫向分布某一具體實現的統計特征參數(例如對于正態分布,其統計特征參數為均值和方差;對于三參數威布爾分布,其特征參數為位置參數、形狀參數、尺度參數),定義F(X)為載荷特征分布函數,f X(Xj)d X表示載荷橫向分布為某一特定分布的概率,并且該分布的統計特征參數為Xj,fX(Xj)為載荷特征概率密度函數。

對于某一確定樣本統計得到的橫向分布,假設該確定分布的概率密度函數為 f sj(s)(注意：該概率密度函數不是特征概率密度函數),特征參數為Xj,載荷作用次數為n,則某一確定載荷si出現的次數為ni=nf sj(si)d s。令強度的概率密度函數為 f r(r),則si作用ni次后零件的可靠度為

那么,隨機載荷作用n次后的可靠度為

由式(3)可知,載荷每次作用的平均可靠度為

考慮到載荷橫向分布的不確定性,得到隨機載荷作用n次后零件的可靠度為

式(5)為基于載荷橫向分布的零件可靠度計算公式。

為了便于工程應用,對于已經得到的多個樣本,可以利用式(5)的離散化形式進行可靠性評估,也即先通過計數擬合出每個樣本的概率密度函數,再按照下式進行計算：

式中,Pj為經過擬合后載荷概率密度函數為fsj(s)的概率,并且可以近似地認為該概率等于概率密度函數為fsj(s)的樣本個數占全體樣本的比例。

這樣就得到了基于載荷橫向分布的、適合實際應用的零件可靠度計算公式。

3 考慮強度退化時基于載荷橫向分布的零件可靠性分析

以上分析中假設了強度不退化,當考慮強度退化時,可以采用以下的近似計算方法：

對于某一確定的橫向概率密度函數 f sj(s),當載荷作用n次時,大小為si的載荷的出現次數為ni=nf sj(si)d s次,其造成的損傷為nf sj(si)d s/Nsi,Nsi為si作用下的零件使用壽命。由線性損傷等效原理(這里只是為了敘述方便,實際上可以采用其他非線性等效原理),si作用ni次,相當于大小為sj0的載荷作用ni0次,并且

式中,Nsj0為sj0作用下的零件使用壽命。

又由零件的S-N曲線,近似得到Nsm=C,其中m、C近似為常數,得到

因此隨機載荷作用n次相當于載荷sj0作用nsj0次 ,并且

于是,可以認為強度符合確定載荷sj0作用下的變化規律,而且sj0作用第q-1次時的剩余強度分布函數為Frq-1|sj0(r)。于是得到

同樣,式(8)的離散化形式為

4 橫向概率密度函數與縱向概率密度函數的關系

以上分析了基于載荷橫向分布和縱向分布零件可靠度的計算模型。從模型的建立過程中可以發現,基于零件縱向分布的可靠度模型需要對各個時刻(或者不同載荷作用次數)的載荷概率密度函數進行統計。然而這在實際上是做不到的,因為這需要記錄大量的載荷 -時間歷程樣本,并且進行大量的統計。為便于工程應用,往往假設載荷歷程為各態歷經過程,也即認為各個時刻的載荷概率密度函數相同。這對載荷-時間歷程樣本數目和時刻的選擇提出了較高的要求,樣本應該具有一定的代表性。更重要的是,當得到的載荷-時間歷程樣本數量不足,不能通過各個時刻的統計得到各態歷經假設下的載荷概率密度函數,并且每個樣本計數后擬合的概率密度函數相差比較大時,基于載荷橫向分布的可靠度模型則可以充分地利用有限的樣本直接對零件可靠度進行近似計算。

下面通過分析載荷橫向分布和縱向分布概率密度函數的關系,給出在有限樣本條件下,根據載荷的橫向分布統計特性近似得到載荷縱向分布概率密度函數的方法,從而可以方便地使用基于載荷縱向分布的可靠度模型。這種方法避免了對樣本進行各個時刻的統計,更適于利用傳統可靠性模型進行計算。假設載荷歷程為各態歷經過程,每個時刻的概率密度函數相同,均為 f s(s)。那么每次載荷大小為s0的概率為P0=f s(s0)d s,該載荷不出現的概率為1-P0。如果載荷作用了n次(假設n足夠大),那么該載荷出現的次數n0的期望值為E(n0)=nP 0=nf s(s0)d s。另外,在載荷作用的n次中,載荷s0出現次數為x的概率,即

令P0為定值,對P(n0=x)取極值,得到 x=nP0=nfs(s0)d s。由此可以近似認為各個載荷-時間歷程樣本中,通過計數統計得到的出現概率最大的概率密度函數就是各態歷經假設下載荷的縱向概率密度函數。或者分別求出各個樣本中相同級別大小的載荷的平均出現次數,擬合出載荷的平均橫向概率密度函數,并將其作為縱向概率密度函數。這樣就可以結合載荷 -強度干涉模型,使用基于載荷縱向分布的可靠度模型計算零件及系統的可靠度。

假設不考慮強度退化,零件強度服從N(600,302)MPa的正態分布,載荷分布服從 N(500,302)MPa的正態分布,初始可靠度為1。當載荷的概率密度函數為縱向概率密度函數時,利用式(2)可以得到可靠度隨載荷作用次數的關系。當載荷的概率密度函數為橫向概率密度函數時,應用式(3)得到可靠度隨載荷作用次數的變化規律。二者的對比如圖1所示。

圖1 可靠度隨載荷作用次數變化規律

由圖1可以看出,兩種情況下零件可靠度隨載荷作用次數的增加而下降。對于相同的載荷作用次數,當載荷的概率密度函數為橫向概率密度函數時,零件可靠度小于概率密度函數為縱向概率密度函數時的可靠度,并且開始隨著載荷作用次數的增加,其差值逐漸增大,當載荷作用次數較大,零件趨于失效時,其差值逐漸縮小。產生差值的原因是,縱向概率密度函數是橫向分布中出現概率最大的概率密度函數或者是平均橫向概率密度函數,但是出現概率并非絕對等于1。從圖1中可以看出,二者在一定載荷作用次數范圍內差值并不是很大,可以進行近似計算,并且能夠反映出零件可靠度的基本變化規律。所以,當獲得的載荷-時間歷程樣本比較少時,也可以采用以上提出的近似方法,使用基于縱向載荷分布的可靠性模型進行零件的可靠度計算。從另外一個角度講,在本例中,如果假設基于載荷縱向分布的計算結果是準確值,那么基于載荷橫向分布的計算結果就是估算值。而由之前的推導過程可以看出,與縱向分布概率密度函數相同的橫向概率密度函數出現的概率最大。因此更加說明了在有限數目樣本情況下使用基于載荷橫向分布的可靠性模型進行近似估算的合理性。

5 考慮共因失效時基于載荷橫向分布的系統可靠度分析

以上著重分析了基于載荷橫向分布的零件可靠度計算模型,對于由零件組成的系統,可以根據系統結構功能函數求解系統的可靠度。本文著重分析考慮共因失效的系統可靠度。當系統多個零件受到相同載荷作用時,如果作零件相互獨立的假設將引起較大的誤差。目前,研究人員提出了很多考慮共因失效的可靠度計算模型,如α因子模型、β因子模型、BFR模型等。但是這些方法仍然基于元件層面,物理意義不明確[7-9]。本文直接應用之前建立的可靠度模型,分析當系統元件承受同一載荷多次作用時的可靠度變化規律。

為了敘述方便,以下均假設組成系統的零件相同,并且不考慮強度退化,每個零件具有相同的強度概率密度函數和分布函數f r(r)、Fr(r)。對于由a個零件組成的串聯系統,當大小為確定值s的載荷作用一次時,系統可靠度為

假設載荷的橫向分布概率密度函數為 f sj(s),特征概率密度函數為 f X(Xj),則利用與式(3)類似的推導過程,可以得到隨機載荷作用n次后串聯系統的可靠度：

離散化模型為

同理,由a個零件組成的并聯系統,當大小為確定值s的載荷作用一次時,系統可靠度為

隨機載荷作用n次后并聯系統的可靠度為

離散化模型為

由a個零件組成的k/a系統,當大小為確定值s的載荷作用一次時,系統可靠度為

隨機載荷作用n次后k/a系統的可靠度為

離散化模型為

以上模型在建立的過程中考慮了零件承受的載荷為同一載荷這個信息,并且沒有作零件相互獨立的假設,因此反映了共因失效這種失效相關性。

以上分析了隨機載荷作用下系統可靠度隨載荷作用次數的變化規律。如果考慮載荷出現次數的隨機性,則可以得到當強度退化時零件的時變可靠度計算模型。如果載荷出現的次數滿足以下條件[10]：①當t=0時,n(0)=0;②在互不重疊的時間段內載荷出現的次數相互獨立;③在時刻t和足夠小的時間段Δt＞0,有

則時間t內出現n次載荷的概率為

也即將載荷出現的次數看作是強度為λ(t)的泊松過程。這時,由全概率公式,可以得到系統可靠度隨時間的變化規律。假設系統初始可靠度為1。對于串聯系統,由式(11)得到的系統可靠度為

由式(13),得到并聯系統的可靠度為

由式(15),得k/a系統的可靠度為

假設有分別由3個相同零件組成的串聯系統、并聯系統及2/3系統。對已得到的載荷-時間樣本進行統計,得到的各個樣本均服從雙參數威布爾分布。特征參數的分布律如表1所示。λ(t)=0.6h-1,初始可靠度為 1,零件強度服從均值為650MPa、標準差為20MPa的正態分布,則零件可靠度隨時間的變化規律如圖2所示。

表1 載荷特征參數分布律

圖2 可靠度與時間的關系

從圖3可以看出,系統可靠度隨時間逐漸降低,并且在初始階段下降速度最快,隨后下降速度趨于平緩。其中串聯系統下降速度最快,可靠度最低,2/3系統其次,并聯系統下降最慢。實際上該例中串聯系統相當于1/3系統,并聯系統相當于3/3系統,結果與實際相吻合。

6 結論

(1)機械零件及系統往往承受隨機載荷的多次作用,在分析隨機載荷下的零件可靠度時應該首先對隨機載荷的統計特征進行分析。本文提出載荷的二維分布,也即載荷的橫向分布和縱向分布。傳統載荷-強度干涉模型適用于載荷作用一次的可靠度計算。在計算隨機載荷指定作用次數后的可靠度時,應該使用載荷的縱向概率密度函數。但是,工程上得到的是載荷-時間歷程樣本。由于樣本數量的限制以及載荷縱向分布統計特性獲得的困難,使得基于載荷縱向分布的可靠性模型難以應用,因此,本文重點分析了基于載荷橫向分布的可靠度計算模型。該模型可以直接根據獲得的樣本進行可靠度計算,并從理論上分析了該計算方法的合理性。

(2)本文在建立基于載荷的橫向分布的計算模型時,分別考慮了強度退化以及強度不退化兩種情況,可以應用于零件早期失效期(強度不退化或者退化不明顯)以及偶然失效期和耗損失效期(需要考慮強度退化)。此外,通過分析載荷縱向概率密度函數與橫向概率密度函數的關系,提出了根據載荷橫向分布統計特征,近似得到各態歷經假設下載荷縱向概率密度函數的方法,這樣便可以結合載荷-強度干涉模型計算零件可靠度與載荷作用次數的關系。通過實例驗證了該方法可以近似反映零件可靠度的變化規律,并同時從另一個角度驗證了基于載荷橫向分布的可靠性模型的合理性和正確性。

(3)由基于載荷橫向分布的零件可靠度計算模型分析了幾種典型機械系統的可靠度計算方法。傳統的模型需要假設零件間相互獨立,但實際上由于載荷的相關性,使得獨立假設往往不能反映系統的實際可靠度。本文沒有作零件相互獨立的假設,直接根據系統中零件的組成結構推導出串聯系統、并聯系統以及表決系統的可靠度計算方法。本文進一步考慮了載荷作用次數的隨機性,通過假設載荷作用次數為泊松過程,建立了系統的時變可靠度計算模型。

[1] Huang W,Askin RG.A Generalized SSI Reliability M odel Considering Stochastic Loading and Strength Aging Degradation[J].IEEE Transaction on Reliability,2004,53(1)：77-82.

[2] Koh C G,Ang K K,Zhang L.Effects of Repeated Loading on Creep Deflection of Reinforced Concrete Beams[J].Engineering Structures,1997,19(1)：2-18.

[3] Thayalan P,Aly T,Patnaikuni I.Behaviour of Con-crete-filled Steel Tubes Under Static and Variable Repeated Loading[J].Journal of Constructional Steel Research,2009,65：900-908.

[4] 王正,謝里陽,李兵.隨機載荷作用下的零件動態可靠性模型[J].機械工程學報,2007,43(12)：20-25.[5] 王新剛,張義民,王寶艷.載荷作用次數和強度退化對SSI模型的影響[J].機械設計與制造,2008,(12)：205-207.

[6] Freudenthal A M.Safety of Structures[J].Transaction,ASCE,1947,112：125-180.

[7] Levitin G.Incorporating Common-cause Failures into Nonrepairable Multistate Series-parallel System Analysis[J].IEEE Transaction on Reliability,2001,50(4)：380-388.

[8] Xie L Y,Zhou J Y,Hao CZ.System-level Loadstrength Interference Based Reliability Modeling of k-out-of n System[J].Reliability Engineering and System Safety,2004,84：311-317.

[9] Xie L Y,Zhou JY,Wang Y Y,et al.Load-strength Order Statistics Interference M odels for System Reliability Evaluation[J].International Journal of Performance Engineering,2005,1(1)：22-36.

[10] 李裕奇,劉赪,王沁.隨機過程[M].北京：國防工業出版社,2008.