四元數映射z→z2+c M集多臨界點問題研究

孫媛媛, 王興元

(大連理工大學信息與通信工程學院,遼寧大連 116024)

0 引 言

20多年來,人們對復映射z→z2+c所構造的M-J集已進行了深入研究[1～3].1982年,Norton發現Julia集不僅僅存在于復數平面,在以四元數為模型的四維空間中同樣存在Ju lia集[4].對四元數M-J集的拓撲結構和內部特性的分析逐漸成為一個熱點.Gomatam等分析了映射F(Q)+C和CF(Q)下的四元數M集在高維空間的周期穩定性[5];Buchanan等計算并分析了2次、-1次和-2次四元數映射下M集穩定周期域的分布[6];Shizuo分析了四元數M集和Julia集的連通性以及四元數Julia集的拓撲結構[7];M itja等從動力學角度分析了四元數Ju lia集[8];程錦等從理論上分析和證明了指數為正整數的三元數映射的三維廣義M集所具有的性質[9];關柯等總結了四元數Julia集的某些特征[10];于海等得到了四維Bannach空間與三維Euclid空間的對應關系[11];Wang等研究了四元數廣義M-J集的拓撲結構[12].上述工作豐富了四元數分形理論,但是人們此前對四元數M集的構造多是從單一臨界點0開始的.本文將計算四元數映射z→z2+c的M集的臨界點集,并討論臨界點不同造成的四元數M集與一般M集的不同特性.

1 實驗方法

1.1 四元數M集的臨界點集

令四元數z=x0+x1 i+x2 j+x3 k,則f(z)=(x20-x21-x22-x23)+2x0x1 i+2x0x2 j+2x0x3 k+c,其Jacobian行列式可表示如下:

故四元數映射f:z→z2+c的臨界點集是平面x0=0上的所有點.

1.2 逃逸時間算法與周期點查找結合法

對于四元數映射f:z→z2+c,取立體網格G(GH)內的點c0,利用逃逸時間算法判斷c0是否屬于Mf.若c0∈Mf,則判斷c0周期性,即求出|fp(c0)-c0|<ε(ε為誤差范圍,一般ε取10-5)成立的最小正整數p,然后根據p值賦予c0點相應的顏色;若則賦予c0點為黑色.重復上述過程,直到窮盡網格G內所有的點,即可獲得M集.

1.3 對逃逸時間算法的一點改進

對于四元數映射f:z→z2+c,取立體網格G(GH)內的點c0,利用逃逸時間算法進行迭代計算.若迭代m次后,|fm(c0)|<δ(δ取0.05,表示小的鄰域半徑),則根據m的值對點進行相應著色.如果始終未滿足上述條件,判斷c0是否屬于Mf.若c0∈Mf,則賦藍色 ;若則賦黑色.重復上述過程,直到窮盡視窗W內所有的點,即可獲得M集.

1.4 M集上取點構造J集的周期軌道搜索比較法

(1)在Mf上選取p周期點c,令映射f:z→z2+c從z0=c開始迭代,則…,p),可認為ak(k=1,2,…,p)是映射g(z)=fp(z)的不動點.

(2)對立體網格G(GH)內的任意點z,若,可根據k值賦予z點相應的顏色.重復該過程,直到窮盡視窗W內所有的點,即可獲得一種新的不同于逃逸時間算法構造的廣義J集.

2 多臨界點的四元數M集

2.1 四元數M集的性質

在構造不同臨界點的M集之前,先給出如下定理.

定理1 四元數映射f:z→z2+c的M集,滿足

定理2 四元數映射f:z→z2+c的M集,滿足

定理2的證明與定理1相同,此處不再贅述.這說明,從臨界點z0(0,q1,q2,q3)開始迭代構造的 M 集同構于臨界點為z′0(0,q,0,0)(q=的M 集,亦同構于臨界點為z″0(0,-q,0,0)的M集.這樣在研究四元數M集的拓撲結構時,只要選擇適當參數就可研究整個臨界點集的M集了.本文中,將臨界點為z0(0,q,0,0)的M集映射記為f(q)(c),文中所提的臨界點值即指q值.

定理3 四元數映射f:z→z2+c的M集,有

證明 設c=|c|enθ,則c=|c|e-nθ.因為

而

所以

命題真.這解釋了為什么不管從哪兩個分維觀察M集,實驗得到的圖形均是以實軸為對稱的.

定理4[7]四元數映射f:z→z2+c的動力學特征與映射pc0+i|c|:s+it→(s+it)2+c0+i|c|的動力學特征一致.

定理4揭示了四元數M集和復平面M集的關系.同時也說明研究四元數M集的動力學特征及拓撲結構,只要研究與之相對應的二維截面上的M集即可.

圖1為q取不同值時,四元數M集在第三、第四分維均為0時得到的二維截面.圖中黑色區域為逃逸區,彩色區域通過不同的顏色(由于印刷原因,彩色無法顯示)標示了不同周期的穩定區:黃色代表1周期,洋紅色代表2周期,紅色代表3周期,青色代表4周期,綠色代表5周期,藍色代表6周期,灰色代表7周期,白色代表8周期…黃色區域為M集的主瓣,是1周期點的集合,主瓣與一系列圓盤形的小花瓣連接在一起,并且每個小花瓣又被一些細節更小的小花瓣所環繞,以至無窮,這體現了明顯的分形特征.圖1(a)所示四元數M集體現了與復平面M集相同的特征.觀察圖1(b)～(h),M集在臨界點值不為0時,不但體現了上述特征,還表現出差異性.隨著臨界點值的不斷增大,雛瓣和主瓣相繼出現了缺失,甚至退化.如圖1(b)和放大圖(i)所示,q=0.30時,3周期(紅色區域)已經出現退化,而2周期(洋紅色區域)的變化剛剛開始.圖1(c)和(d)中2周期變化更明顯.在圖1(e)～(h)中,1周期區域不斷退化縮小,直至畫不出分形圖形.根據大量的實驗數據得到,穩定區的變化并不是隨意進行的,它沿著實軸正向進行.當在正向上變化到一定程度時,再從負向上開始.并且每個花瓣的變化也不是同時發生的,而是從周期較大的花瓣向周期較小的花瓣不斷地過渡,直到這種影響波及到最大的花瓣(1周期點區域).

圖1 四元數M 集 f(q)(c)(第三、四分維均為0)Fig.1 The quaternion M sets f(q)(c)(the third and fourth dimensions are 0)

2.2 四元數M集的穩定周期域

關于M集f(q)(c)的穩定周期域的邊界,假設c=a+iσ·K,t=-q2,那么1周期軌道穩定區域的邊界由下式給出:

特別地,當t=0時,1周期穩定區的邊界為

這與復平面M集是一致的,如圖1(a)所示的黃色心形區域.

對于其他周期的穩定區的邊界,符合下列定理的描述.

定理5 映射f:z→z2+c的p(p>1)周期軌道為z(1),z(2),…,z(p)的穩定區的邊界由

確定.

證明 當p=2時c)2+c,根據p周期軌道的穩定區條件,得到穩定區邊界滿足.假設當p=n時,邊界條件成立,則當p=n+1時,z(n+1)=z2(n)+c,,再由周期軌道的定義,可證定理5成立.

四元數M集f(q)(c)的2周期軌道的邊界可由下式給出:

當臨界點變化時,四元數M集的區域盡管出現了變化,但是不同周期的穩定區域范圍并未變化.變化只體現在區域內部,最為明顯的是區域內部的縮小.這說明,對于某點z(z∈H),若z∈f(q)(c),則它的周期值是固定的,并不隨著不同的臨界點而發生改變.這解釋了為什么周期區域變化時,縮小部分的邊界并未發現附著更大周期的雛瓣.

Douady等的研究表明,對復平面M集的每個分支花瓣L均有明確的中心,其相反的吸引環是超穩定的,且最多可能有2k-1個分支具有周期為k的吸引子[13].圖2所示為采用改進的逃逸時間算法繪制的四元數M集,藍色區域為穩定區,彩色區域標示了不同周期域中心點的位置,不同顏色代表的周期與圖1相同.圖2(j)～(l)分別是圖2(e)、(f)和(i)豎線標注處的二維虛軸截面.從改進的算法可以看出,圖2中彩色部分是不同周期的中心點及其鄰域.

圖2 改進的逃逸時間算法繪制的四元數M集 f(q)(c)Fig.2 The quaternion M sets f(q)(c)utilizing the improved escape time algorithm

下面計算四元數M集f(q)(c)1～3周期的中心點.

(1)k=1

c-q2=0,1周期的中心在(q2,0,0,0).從圖2中可以看出,隨著q的不斷增大,1周期的中心不斷地右移.

(2)k=2

2周期的中心由(c-q2)2+c=0給出,展開此式得到

(3)k=3

3周期的中心由((c-q2)2+c)2+c=0給出,展開此式得到

當q=0時,方程3個根為 -1.7549和-0.1226±0.744 9i(拋棄根0).第一個根的位置正好在實軸上2周期區域的左側,后面兩個根的位置在比2周期更靠近實軸的地方.當時,式(10)為該式有4個根,分別為兩個實數解-0.實數解0、-0.8042和一對共軛解0.4344±1.007 1i.當q=1時,式(10)為c4-2c3+3c2-c+1=0,該式有兩對共軛解,分別為0.,分別0±0.641 2i和0. 2i0±1.227 2i.上述計算說明,隨著q的增大,3周期的中心整體在不斷沿實軸正向移動.實驗結果見圖2(a)～(i)的紅色區域.

2.3 四元數M集的分岔圖

在過去的研究中,一維多次映射x→p(x,u)的混沌或者周期性行為的研究通常采用分岔圖作為一種普遍的工具.本文構造的分岔圖研究的是四元數映射的實數坐標軸鄰域部分,因為它具有較好的圖形可視化優點.實驗結果表明,四元數映射在實數坐標軸上的投影具有相對于一維二次映射的混沌和周期性行為的圖形顯示.

從圖3中可以看出不同的臨界點值對四元數M集混沌或者周期性行為的影響.圖3(a)為臨界點值為0時的分岔圖,此時的圖形與一維復數映射是一致的.可以觀察到圖形具有周期倍分岔現象,這種周期變化先是1周期,然后1周期分岔變為2周期,2周期再分岔變為4周期,逐漸進入到混沌狀態.在圖3(b)～(d)中也可以明顯地看出這種特性.但是同時也看到分岔圖隨著臨界點值的變化而受到了影響.主要表現為分岔圖隨著臨界點值的增大而變窄,某些區域沿著實軸的正方向逐漸地消失.這對應了在2.1節中發現的穩定周期域逐漸消失的現象,并且在實軸上消失的周期域是從較大周期域逐漸波及到較小周期域,這與2.1節的結論也是一致的.如圖3(e)和(f)所示,當臨界點值大于0.70時四元數M集上的混沌現象已經完全消失了.這主要是因為當臨界點值較大時,在實軸上已經無法找到周期為2以上的穩定域了.另外,從分岔圖中還可以看到,臨界點值非0時周期岔變規律受到一些影響.如圖 3(g)和(h)所示,當q=0.40時,從2周期岔變為4周期時產生了振蕩.

圖3 四元數M集的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagrams of the quaternion M sets

2.4 四元數M集的分形維數

分形是復雜系統,其復雜性可以用非整數維(即分維)描述.分形維數的重要性在于它們能夠用數據定義,并且能通過實驗手段近似地計算.常見的維數有豪斯道夫維數、盒維數、相似維數、信息維數、關聯維數、填充維數、李雅普諾夫維數以及廣義維數等.在實際應用中,常用的是盒維數,它能夠通過實驗近似地計算,并且在一些比較“規則”的集上,這種維數的值與豪斯道夫維數是相等的.

定義1 設集A是度量空間(Rd,ρE)上的有界子集,對每個δ>0,用Nδ(A)表示覆蓋A的半徑為δ的閉球的最少個數,如果

存在,則稱這個極限值為集A的盒維數,記為dim BA.

表1為本文計算的部分臨界點值情況下M集的盒維數.從表中可以看出,隨著臨界點值的增大,四元數M集的分維基本上保持著逐步下降的趨勢.而當臨界點值大于1.0時,M集的維數突然下降很快.從上述計算可以看出,盒維數反映了不同臨界點下四元數M集整個周期域的狀況.隨著臨界點值的增大,M集的周期域出現了緊縮,并且M集的邊界逐漸模糊,導致很多大周期的穩定域消失,這使得盒維數逐漸降低.而當臨界點值大于1.0時,M集的穩定周期域急劇縮小,使得盒維數變化加劇,直至不能產生任何分形結構為止(見圖1(g)和(h)).

表1 四元數M集的分維Tab.1 Fractal dimensions of the quaternion M sets

3 四元數Julia集

定理6 四元數映射f:z→z2+c的Ju lia集,有

證明 設z=|z|enθ,則

該定理表明四元數Julia集關于原點對稱,從圖4各圖中可以看到這個性質.

圖4 四元數Julia集Fig.4 The quaternion Julia sets

定理7 若參數c的標量部分以及范數相同,則四元數Julia集在拓撲結構上保持一致,其迭代后趨向的周期不動點也保持相同范數.

該定理的前半部分是定理4在四元數Julia集中的體現,見圖4(i)～(l).盡管它們在實虛兩軸的投影看起來不盡相同,實際上這是Julia集旋轉了一定角度造成的結果.而在四元數空間中如果參數c遵循定理7中的條件,它們將保持著結構上的一致[12].后半部分結論由本文經過大量的實驗發現,示例見表2.由于實驗采用的機器計算精度有限,表中數據誤差范圍在10-4.

Hart等已經證明了當c∈C,j、k存在對稱性[14].本文發現這種對稱性存在普遍性,將其條件推廣得到如下定理.

定理8

(1)若c=|c|eiθ,則對點z(q0,q1,q2,0)和z′(q0,q1,q′2,q′3),如果滿足=q′22+q′32,則有|g(z)|=|g(z′)|;

(2)同樣的 ,若c=|c|ejθ,則對點z(q0,q1,q2,0)和z′(q0,q′1,q2,q′3),如果滿足q21=q′12+q′32,則有|g(z)|=|g(z′)|;

(3)若c=|c|ekθ,則對點z(q0,q1,0,q3)和z′(q0,q′1,q′2,q3),如果滿足q21=q′12+q′22,則有|g(z)|=|g(z′)|.

該定理表明如果滿足給定的條件,四元數Julia集在某兩個虛軸上的投影是圓盤形狀.從圖4(m)～(p)中可以看到這個性質.

圖4給出的是于四元數M集中選點構造的Julia集在任意兩個分維平面的投影.如無特別說明,均為另外兩個分維為0時的投影.圖中黑色表示逃逸區,彩色區域為穩定區,不同的顏色代表趨向不同的周期不動點.在第三、四分維均取0時,圖形與復平面 Ju lia集是相同的(見圖 4(a)～(e)).而隨著第四分維取值的不斷增大,分形圖形不斷收縮,圖形面積不斷縮小,中間主瓣與周圍雛瓣也在不斷地融合,整個圖形范圍越來越小,直至不再產生分形圖形(見圖4(f)～(h)).這個過程中盡管也出現了圖形收縮、扭曲的現象,但是始終保持著關于原點對稱的特性,這與定理6是一致的.不同Julia集的周期值和不動點即由參數c在M集中的相應周期域的位置決定(見圖4(a)～(h)).本文通過大量實驗發現,如果參數c選自任何一個M集,即則對應的Julia 集即為連通的,否則相應的Ju lia集無周期性,無法構造其圖像.

表2 四元數Julia集的周期點(3周期)Tab.2 The period point in the quaternion Ju lia sets(3-period)

4 結 論

本文采用逃逸時間算法與周期點查找結合法,構造了四元數映射f:z→z2+c的多臨界點M集,探索了多臨界點情況下四元數M集的拓撲結構和裂變演化規律,計算了四元數M集的周期域中心位置和邊界條件.實驗結果表明,不同的臨界點會導致周期區域中心發生轉移或分化成多個,區域面積也會萎縮或退化,并且萎縮處會出現與周期域特性相一致的分形結構.另外,通過定性地建立M集上點的坐標與Julia集整體結構之間的對應關系,發現四元數M集包含了四元數Julia集構造的大量信息.如果參數c取自由任何一個臨界點決定的四元數M集,則相應的Ju lia集即為連通的.這說明四元數映射f:z→z2+c的M集由所有臨界點決定的四元數M集的并集組成.可以看出,多臨界點的四元數M集結構特點較臨界點為0的M集有較大變化,其他映射下的四元數M集亦很有可能存在多臨界點問題,下一步工作可再作深入研究.

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