一類分數階濾波器逼近階次的選擇

趙慧敏， 李文， 鄧武

(大連交通大學 軟件學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

機車減振系統對列車的運行性能、乘車舒適度等方面起著重要的作用。然而，也正是由于減振降噪措施的引入，不可避免地使牽引電機傳動系統變得更加復雜。例如，由于減振材料或裝置的粘彈性或耗能特性，系統的分數階特性變得無法忽略。分數階控制除了對復雜被控對象具有更好的控制特性和靈活的參數調節能力外，在交流電機振動抑制中也起著一定的積極作用［1－3］。因此，為提高牽引電機傳動系統減振降噪性能，拓展傳統的整數階、確定性分析方法，研究牽引電機傳動系統分數階控制具有實際意義。

一個含有分數階環節的系統稱為分數階系統，在建立或實現分數階環節的過程中，分數階算子通常是用一個整數階多項式或有理分式來逼近的，其逼近精確度直接影響分數階控制性能的優劣。為此，研究者們提出了多種分數階算子的逼近方法，取得了越來越好的逼近效果［4］。然而，在這些研究中，對逼近精確度與逼近模型階次之間關系的討論卻不多見。一般來說，逼近模型的階次越高，逼近精確度就越高。但是，當階次達到一定值后，逼近精確度的提高隨階次的提高不再明顯，因此了解逼近精確度與逼近階次之間的關系，對分數階控制系統的實現有著具體的指導意義。

本文在討論Oustaloup曲線擬合法［5］對分數階濾波器進行有理分式逼近方法的基礎上，對分數階濾波器Qα(s)有理分式逼近階次選擇與逼近精確度之間的關系進行研究。對比不同分數階次和不同逼近階次下，逼近模型與理想模型的幅、相頻率特性及其誤差來觀察逼近階次與逼近精確度的關系，并由此來確定最佳逼近階次。

1 分數階濾波器

分數階濾波器的特點是濾波器的階次α可以在實數范圍內選擇，即α∈R。分數階濾波器使得傳統濾波器的階次由分級可調(α只能取整數)變為連續可調(α可以取實數)。濾波器階次的調節變得靈活和細膩，從而能夠更好地滿足系統設計要求，解決了傳統干擾觀測器在相角裕度損失和低頻振動抑制能力之間的矛盾。

設一類分數階低通濾波器為

由于任意一個實數總可以分為一個整數和一個小于等于1的實數之和的形式，故假設α∈［0，1］，式(1)對應的Bode圖如圖1所示。由圖1可知，分數階濾波器的Bode圖曲線介于相鄰的兩個整數階曲線之間，再一次說明了分數階濾波器在階次選擇上具有更大的靈活性。

圖1 分數階Q濾波器Bode圖Fig.1 Bode chart of fractional Q filter

在設計分數階濾波器時，常數τ(或帶寬ωq)和分數階次α是2個重要參數。在實際應用中，帶寬通常是可以事先確定的，因此，分數階濾波器的設計就變成了對分數階次α的確定問題。α參數是通過綜合干擾抑制能力和魯棒穩定性來具體確定的［6］。

2 分數階微積分算子的逼近

當分數階次α被綜合確定后，分數階濾波器的數字實現即分數階濾波器的離散化是需要考慮的主要問題。然而，分數階濾波器是基于分數階微積分運算的，與傳統整數階有很大的不同，需要采取一些特殊的方法來處理。

2.1 分數階微積分算子離散化

分數階微積分算子的離散化可分為直接離散化與間接離散化2種方法。直接離散化方法首先通過生成函數s=ω(z－1)對分數階微積分算子s±r(r∈R)進行變換，在離散時間域Z中得到一個無理函數ω±r(z－1);之后，用一個有限階次的有理函數對其進行逼近［7］。冪級數和連分式展開是在實現有理化處理時常用的方法。間接離散化方法包括2個步驟:一是建立與連續時間域相匹配的頻域傳遞函數，其本質上是一個逼近或近似的過程;二是對所得到的S域傳遞函數進行離散化。研究表明，用多項式逼近某些函數的效果不如用有理函數逼近的效果好［8］;并且由于連分式展開法并不能確保離散化模型能保持原分數階模型的穩定性，且在實現精確度上不是很理想［9］，多采用有理函數逼近的方法來實現。有理函數逼近方法有很多優點，如可以對未知的信號進行分數階微積分等，它克服了連分式所帶來的缺點，且逼近效果較好。A Oustloup等人分別提出了相應的方法［5］，取得了很好的逼近效果。

2.2 Oustaloup算法

Oustaloup算法［5］是在對復數階次微分器的研究為基礎得來的，對于復變傳遞函數 G(s)=，令β=0，去掉高、低頻部分，選定擬合頻率段為［ωb，ωh］，則復變傳遞函數可用一個頻帶有限制的傳遞函數來表示，為

式中:C0=ωb/ωu=ωu/ωh;ωu=(ωbωh)1/2。則式(2)又可改寫為

式(3)是一個無理函數，Oustaloup算法采用有理函數級聯的方式來實現對式(3)的逼近。級聯的有理函數為

式(4)可以看作一個IIR型濾波器，其階次n=2N+1，且n越大逼近精確度越高。以分數階微分s0.5為例，簡要說明Oustaloup算法的基本思想。設ωb=0.01 rad/s，ωh=100 rad/s，當 N=0，1，2，即濾波器階次n(在此又稱逼近階次)分別為1，3，5時，對應的IIR濾波器傳遞函數表達式分別為

式(6)～式(8)對應的幅頻特性和相頻特性如圖2所示。由圖2可以看出，在設定頻段內，不同逼近階次對分數階微分算子s0.5的逼近效果。

圖2 不同逼近階次下的特性比較Fig.2 Comparison of property under different approximation order

當逼近階次n=1時，逼近誤差很大，當逼近階次n=5時，無論幅頻特性還是相位特性都能較好地逼近s0.5的特性。從理論上講，逼近階次n越高，逼近精確度就越高。但當階次達到某一值后，逼近精確度與逼近階次不再成比例提高，過高的逼近階次在實際中是沒有意義的，應折中考慮逼近精確度與系統綜合性能的關系。

2.3 逼近階次的選擇

設所要實現的分數階低通濾波器Qα(s)對應的傳遞函數為

對式(9)運用Oustaloup算法進行有理函數逼近處理。設逼近頻段為［ωb，ωh］，取ωb=式(9)可以表示為

式(10)是一個無理函數，用一個有理函數級聯的方式來實現對式(10)的逼近，為

則式(5)變化為

式(11)給出的有理分式逼近模型的階次n(亦即IIR型濾波器的階次)對逼近效果有很大的影響［6］。

設在頻段［100，10000］內進行逼近，分數階次α =0.2，0.4，0.6，0.8，逼近階次 n=1，3，5，7。通過計算逼近模型與式(9)的幅、相頻率特性及其誤差來觀察逼近階次n與逼近精確度的關系，來確定最佳逼近階次。

幅頻特性誤差與相頻特性誤差分別為

對不同分數階次α和逼近模型階次n，利用Matlab進行編程，可以得到對數幅、相頻率特性曲線如圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)、圖6(a)所示。不同分數階次及逼近階次情況下，幅頻特性和相頻特性的逼近誤差可由式(13)和式(14)計算得到，對應的誤差曲線如圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)、圖6(b)所示。圖3～圖6的頻率特性及逼近誤差曲線的比較表明，當逼近階次n=5時，對不同的分數階次α，無論是幅頻特性，還是相頻特性都能很好地逼近實際分數階濾波器的頻率特性。

表1和表2分別給出了在不同分數階次α和逼近階次n下，有理分式逼近模型式(11)的幅、相頻特性曲線與實際分數階濾波器式(9)的幅、相頻率特性在逼近頻段內的絕對誤差平均值，計算公式為

式中:ω0=ωb;ωH=ωh。

平均值越小說明逼近精確度越高。通過定量計算，進一步驗證了當n=5時，幅頻特性絕對誤差平均值小于0.027 dB，相頻特性絕對誤差平均值小于0.16°，達到了比較滿意的逼近效果。由表1和表2還可以看出，用于逼近分數階濾波器的有理分式逼近模型的階次n<5時，隨著逼近階次n的提高，幅、相頻率特性的絕對誤差平均值迅速減小，如圖7所示。雖然n=7時誤差也在減小，但其變化幅度已明顯下降。隨著逼近階次的提高，系統的零、極點增多，增加了系統的復雜性，同時對系統性能、運算復雜性及實時控制等方面都會帶來一些不利因素。因此，當采用式(11)來逼近具有式(9)形式的分數階濾波器時，其最佳逼近階次n為5。

圖3 當α=0.2，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.3 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.2，n=1，3，5，7)

圖4 當α=0.4，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.4 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.4，n=1，3，5，7)

圖5 當α=0.6，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.5 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.6，n=1，3，5，7)

圖6 當α=0.8，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.6 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.8，n=1，3，5，7)

圖7 隨n和α變化的幅、相誤差關系圖Fig.7 Amplitude and phase error diagram changing with n and α

表1 逼近模型與實際分數階濾波器幅頻特性絕對誤差平均值Table 1 The average of absolute error of amplitude-frequency characteristic of approximation model and practical fractional-order filters

表2 逼近模型與實際分數階濾波器相頻特性絕對誤差平均值Table 2 The average of absolute error of phase-frequency characteristic of approximation model and practical fractional-order filters

3 結語

通過對Oustaloup算法進行仿真分析及逼近誤差計算，給出了在選定頻段內，在不同分數階階次α及逼近階次n情況下的幅、相頻特性曲線，幅值、相位絕對誤差平均值隨α、n變化的柱狀圖。研究結果表明，在不同分數階次α下，逼近模型的階次n<5時，逼近誤差隨著逼近階次的提高而迅速減小;當n>5后，誤差隨階次提高而減小的程度明顯下降?？紤]到逼近階次越高，引入的零、極點也越多、運算量也越大，不利于實時控制及系統特性改善，因此在應用Oustaloup算法對分數階濾波器進行離散化時，其最佳的逼近階次為5。

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