一定有 ∑Fi=F合嗎?

王宗謨

(江蘇省吳江市盛澤中學,江蘇蘇州 215228)

高中物理教科書上對“合力”的概念很明確:如果一個力作用在物體上,它產生的效果跟幾個力共同作用的效果相同,這個力就叫做那幾個力的合力.

這里“作用的效果”是指什么?許多中學物理書特別是教學輔導用書,都明確指出,力的作用效果有二:(1)使物體發生形變;(2)使物體運動狀態發生改變.因此我們自然認為,合力與分力的等效性應包括以上兩方面.

那么,一個物體受到幾個力作用是否一定可以找到一個合力呢?讓我們來分析以下例子.

例1.設光滑水平面上有一均勻的柱狀彈性體,質量為M,兩端分別受到水平拉力F1＞F2,如圖1所示.我們需要討論的是該物體的合力是什么?

圖1

通常認為,按矢量運算法則F合=F1-F2.事實上物體的加速度從改變物體運動狀態方面來講,單個力(F1-F2)與兩個力 F1、F2共同作用的效果相同,它似乎就是合力.

再從物體形變方面看.設柱體原長 L,其上任取一橫截面,設該處與左端距離為 x.受到外力 F1、F2后,該處彈力為F.對左段運用牛頓第二定律,有

得

可見,各處彈力沿長度方向均勻增加,即各處的形變程度是不同的.在X處取一微元段,其原長為dx,其形變伸長為dl,橫截面積S,材料的楊氏模量 E,由胡克定律得

拉伸總形變為

現在我們能否在柱體上找到一處,施以大小為(F1-F2)的一個力而產生同為ΔL的形變呢?設想將這個力作用于柱體右端,這樣可以使柱體有最大的拉伸,經與上類似的計算,只要在上式中令 F2=0,將 F1代之以(F1-F2),結果表明,此形變大小僅有可見,單一大小為(F1-F2)的力在產生物體形變方面不能等效代替F1、F2兩個力,即它不能當作合力.倒是一個大小為F1+F2的力作用于柱體右端時能產生同樣的形變,然而這樣的力對物體運動狀態的改變(產生加速度)又顯然不等效.

由此可見,我們找不到一個單力來代替 F1、F2兩個力并可以在形變及運動狀態改變兩方面同時滿足等效關系.也就是說,此問題不存在合力.

這說明,物體所受諸力可以取其矢量和,但這矢量和并非一定就是合力.而通常如上所述F合=F1-F2的表達式也僅是一個矢量和,并非是真正的合力,正確的表達應是∑Fi=F1-F2=Ma.

若 F1、F2作用于同一點,則其矢量和即是合力.中學物理教科書在講平行四邊形定則時即用一個力代替兩個互成角度的共點力使一根橡皮條拉伸同樣長度,以此來說明合力就是矢量和.同樣,若所作用的物體可視為質點,則矢量和就是它的合力.

如果物體可視為剛體,無須考慮形變,其所受力的矢量和是否一定就是合力?讓我們考慮下面一例.

圖2

例2.置于光滑水平面上的一剛體,受到兩水平反向平行力F1、F2,它們大小相等,作用線間的距離為d.求此兩力的合力.

此兩力的矢量和顯然為0.從物體運動狀態來看,其平動加速度確是為0,但物體會有一個轉動的角加速度.而我們無法找到一個大小為0,卻又能產生轉動角加速度的力作為等效的合力.

綜上所述,質點所受的力、彈性體上作用于同一點的力、剛體上的共點力或匯交力,其矢量和就是合力,其余情況則不一定.所以,在許多理論力學教科書上,將力的矢量和稱為“主矢”,而不叫“合力”.

從根本上講,力的作用效果是改變運動狀態.物體的形變是因為一開始受力時其上各微元質點運動狀態的變化不同(加速度不同,發生的位移不等)所引起.從表面上看,物體在力的作用下產生的效果表現為運動狀況變化(質心平移加速度、角加速度)及形變.但實際上運動狀態改變和形變是有先后的,形變是運動狀態改變的結果.嚴格地講,力的作用效果是使質點運動狀態發生改變.在中學階段因不去深究形變和運動狀態改變的關系,而把形變和運動狀態改變并列為力的作用效果.但我們教師應該明白其中的關系,否則將難以回答本文上面提出的問題.