向心加速度表示速度方向變化的快慢嗎?

徐 學 朱 斌

(1.江蘇省蘇州中學園區校,江蘇蘇州 215021; 2.江蘇興化安豐高級中學,江蘇興化 225766)

當物體做曲線運動時,加速度可以分解為沿著速度方向的切向加速度和垂直于速度方向的向心加速度,切向加速度改變速度的大小,向心加速度改變速度的方向.當物體做勻速圓周運動時,速度的大小將不發生變化.只存在改變速度方向的向心加速度,向心加速度的作用是只改變速度的方向.從加速度的物理意義來看,加速度是表示速度變化快慢的物理量.因此向心加速度的物理意義表示的是速度方向變化的快慢.果真如此嗎?

日前筆者在高三物理的復習中遇到這樣的一道題:

題目.甲、乙兩個質點,分別做不同的圓周運動,下面的說法中正確的是

(A)線速度較大的質點,速度變化較快.

(B)角速度較大的質點,速度方向變化較快.

(C)向心加速度較大的質點,速度方向變化較快.

(D)向心加速度較大的質點,速度變化較快.

圖1

分析1:許多學生選擇了選項(B).他們認為物體在做圓周運動時,在Δt時間內,物體的速度由 v1變為 v2,如圖1所示,把 v1平移至v1′,則 v1′與 v2之間的夾角為 Δθ,Δθ就是在Δt時間內速度方向的變化量就表示在單位時間內速度方向變化量,也表示速度方向變化的快慢.由圖可知,弧 AB對應的圓心角 Δθ′=Δθ,而因此ω就表示速度方向變化快慢的物理量.

分析2:也有不少學生認為(C)選項正確.他們覺得加速度是表示速度變化快慢的物理量,加速度可以分解為切向加速度和向心加速度.切向加速度改變速度的大小,向心加速度僅改變速度的方向,所以向心加速度是表示速度方向變化快慢的物理量.在陽光出版社2009年10月份出版的《全品學練考》的第11頁就是這樣論述的“向心加速度就是反映速度方向變化快慢的物理量”.

兩種分析看來都有道理.究竟是ω表示速度方向變化快慢呢?還是a表示速度方向變化快慢.

探究:如果我們設想這樣的特例 ωA=ωB,則 TA=TB.在一個周期內兩個物體速度方向均改變2π,所以兩個物體速度方向變化快慢是一樣的,如果 rA=2rB,則 a向A=rAωA2,a向B=rBωB2,則 a向A=2a向B,雖然 a向A＞a向B,但是兩者速度方向改變快慢卻是一樣的.因此向心加速度不能表示速度方向變化快慢.(C)選項是錯誤的.

那么為什么向心加速度不能表示速度方向變化快慢呢?

分析:如圖2設物體做變速圓周運動,在Δt時間內,物體與圓心O連線掃過的圓心角為Δθ,在速度由 v1變化為v2,把 v1平移至 v1′,作出速度的變化量 Δv.物體的加速度把Δv沿著v2和垂直于 v2分解為Δv1和Δv2,向心加速度,當 Δt→0,則 sinΔθ≈Δθ,則上式所以速度方向改變的快慢ω除了與向心加速度有關,還與物體做圓周運動的半徑r有關.在物體的運動半徑 r沒有確定的前提下“向心加速度表示速度方向變化快慢的物理量”是錯誤的.

圖2

圖3

若物體做勻速圓周運動(v僅表現為方向改變)結論是否正確呢?如圖3,可以看到,雖然速度 v僅表現為速度v的方向的變化,Δv是Δθ與v的乘積,Δv除了與速度方向改變量的大小Δθ有關,而且與物體的速度 v有關.而v=ω r,是與圓周運動的半徑有關的物理量.物體的向心加速度仍舊是由 ω和r兩個物理量共同決定,在物體的運動半徑沒有確定的前提下,向心加速度表示速度方向變化快慢這個結論也是錯誤的.

結論:物體的角速度是表示物體做圓周運動時速度方向變化快慢的物理量,物體的向心加速度不能表示物體做圓周運動的速度方向改變的快慢.僅當物體做圓周運動的半徑一定時,才能表示物體速度方向變化的快慢.