斜軸墨卡托投影模型及其應(yīng)用分析

陸鵬程 林冬偉

(1.同濟(jì)大學(xué)測量與國土信息工程系,上海 200092；2.中船勘察設(shè)計研究院有限公司,上海 200063)

1 概述

我國高速鐵路建設(shè)正在大規(guī)模開展,對測量的精度要求很高。根據(jù)《客運(yùn)專線無砟軌道鐵路工程測量技術(shù)暫行規(guī)定》要求,平面坐標(biāo)系統(tǒng)采用工程獨(dú)立坐標(biāo)系,坐標(biāo)系的設(shè)計滿足如下要求[1]：邊長投影在對應(yīng)的線路設(shè)計平均高程面上(軌面高程)；投影長度的變形值不大于10 mm/km。按照這種要求,當(dāng)前工程中常用的高斯投影在不考慮高程對長度變形影響的情況下,東西方向最多只能控制50多km,這樣就會導(dǎo)致一條東西跨度較大的鐵路沿線需要建立多個獨(dú)立坐標(biāo)系,給整條鐵路工程施工帶來很多不便。本文提出沿鐵路線方向,采用等角斜切圓柱投影即斜軸墨卡托投影的原理、方法、計算步驟,使圓柱面與線路中心線相切,并通過數(shù)據(jù)分析其應(yīng)用于高速鐵路測量的優(yōu)越性。

2 斜軸墨卡托投影的基本原理、方法、計算步驟

墨卡托投影是一種保角圓柱投影[2]。它以圓柱作為投影面,將經(jīng)緯線投影到圓柱面上,將圓柱面展成平面而成。圓柱面可與地球橢球相切或相割,根據(jù)位置的不同,分為正圓柱、橫圓柱、斜圓柱三種。圓柱投影示意圖如圖1所示,其中圖1(a)為正圓柱,圖1(b)為橫圓柱,圖1(c)為斜圓柱。

圖1 圓柱投影示意

正軸圓柱投影適用于低緯度地區(qū)或沿緯度線擴(kuò)展的區(qū)域,假如投影區(qū)域是沿除赤道圈以外的某一大圓方向,或沿經(jīng)線方向伸展的地區(qū),則可考慮采用斜軸或橫軸圓柱投影以改善投影條件,從而使變形減小。

采用斜軸圓柱投影時,用橢球體表示地球則計算甚為不便,在幾百公里的工程范圍內(nèi),通常將地球橢球體視為半徑等于R的圓球體,斜軸投影與半徑R的圓球體相切的大圓稱投影中線,投影前后其長度保持不變。離開投影中線的點(diǎn)會產(chǎn)生長度變形,其變形性質(zhì)與高斯投影類似。若線路工程東西長度太長(超千公里),圓球表示地球帶來的誤差將不可忽視,宜分段處理。

2.1 選擇投影參考圓球

設(shè)線路工程范圍中心某點(diǎn)經(jīng)緯度為(B0,L0),線路設(shè)計平均高程面(軌面高程)為H0,假設(shè)基準(zhǔn)點(diǎn)為(B0,L0,H0),在基準(zhǔn)點(diǎn)處投影圓球的半徑方向與WGS-84橢球法線重合,投影圓球球面通過基準(zhǔn)點(diǎn)(B0,L0,H0),使線路設(shè)計平均高程面位于投影參考圓球上。

投影圓球的半徑(即中心線走向的法截弧半徑)取為

式中：A0為線路工程中心線走向的大地方位角,M0、N0分別為工程中心基準(zhǔn)點(diǎn)處的子午圈和卯酉圈半徑。

2.2 建立圓球空間直角坐標(biāo)系

設(shè)X′軸為過球心指向基準(zhǔn)點(diǎn)P(B0,L0,H0),過基準(zhǔn)點(diǎn)P沿橢球大地方位角A0方向形成的投影圓球的大圓為投影圓球的假想赤道面,過基準(zhǔn)點(diǎn)P垂直于假想赤道面的大圓為假想零子午面,Z′軸為過球心垂直于假想赤道面(如圖2所示)。

圖2 橢球空間直角坐標(biāo)系與圓球空間直角坐標(biāo)系

設(shè)基準(zhǔn)點(diǎn)(B0,L0,H0)所對應(yīng)的WGS-84空間直角坐標(biāo)為(X0,Y0,Z0),計算公式為

則各控制點(diǎn)在新投影圓球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)計算公式為

則基準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)(B0,L0,H0)在圓球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(R0,0,0)。

2.3 投影圓球球面坐標(biāo)經(jīng)緯度

顯然各點(diǎn)并非正好都位于投影圓球的球面上,而參考圓球體表面與地面越吻合則投影變形越小。一般來說,對于地勢起伏不大的線路工程,選擇合適的投影圓球半徑,使得圓球表面與測區(qū)表面大致吻合,就能比較好的控制高差投影差影響；對于地勢起伏較大、范圍較廣的線路工程,要控制高差投影差的變形,可以采取將各點(diǎn)沿其重力線方向投影到投影參考圓球球面上,而非用投影圓球的半徑方向代替。在垂線偏差較小的情況下,可將橢球的法線看作是該點(diǎn)的重力線方向。

各點(diǎn)距投影圓球球面的高度為

各點(diǎn)法線在橢球空間直角坐標(biāo)系中的矢量為(cos B cos L,cos B sin L,sin B)T。

考慮高度H′引起的改正后,圓球球面上點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為

根據(jù)球面各點(diǎn)的坐標(biāo)(X″,Y″,Z″),則可計算斜軸圓球上的經(jīng)緯度為

2.4 斜切圓柱投影坐標(biāo)

斜軸墨卡托投影中,要使線路中心線的長度在投影前后保持不變,就要將圓柱面沿線路工程中心相切,即取圓柱面沿投影參考圓球的假想赤道線相切。圓柱面展開后,設(shè)投影后的假想赤道線為x軸,假想零子午線為y軸,則圓球面上假想的緯度圈展開后就是x軸的平行直線,假想子午圈成了y軸的平行直線。

切圓柱投影的一般公式為

即保持線路中心線(x軸)的長度不變。

投影變換條件主要包括等距離變換、等角度變換和等面積變換。為了在常規(guī)測量中的邊角改化方便,本文采用等角度投影

采用等角度投影,可以保持投影前后各點(diǎn)的方向值不變；離線路中心線越遠(yuǎn),則長度變形越大,但各方向上的長度變形相等；等角度投影便于常規(guī)測量中的邊角改化換算,即角度不變,邊長乘以相應(yīng)變形系數(shù)。

3 斜軸墨卡托投影的應(yīng)用

在工程測量實際應(yīng)用中,距離投影長度綜合變形主要由高差投影變形和高斯地圖投影變形兩部分組成[3-4]：

①將實際測量真實長度歸化至國家統(tǒng)一的橢球面上,會產(chǎn)生高差投影變形。

②將橢球面上的長度投影到高斯平面上,會產(chǎn)生地圖投影變形。

由高速鐵路工程實際情況可知,要使高差投影變形小于1/10萬,則線路的高程至歸化高程面的距離不宜大于60 m；要使高斯投影變形值不大于1/10萬,應(yīng)將投影帶邊緣至中央子午線的距離控制在28 km以內(nèi),即投影帶東西向的寬度不大于56 km。

而工程實際情況是,對于一些東西走向范圍較大的線路工程來說,采用上述做法就需要根據(jù)線路分布范圍選取不同中央子午線劃分區(qū)域,導(dǎo)致高斯投影帶的寬度較小,投影帶數(shù)量過多,施工過程中將頻繁進(jìn)行投影換帶計算,嚴(yán)重影響施工變形精度的控制。

因此,采用斜軸墨卡托投影,目前一般方法是建立斜軸投影坐標(biāo)系,即將地球假設(shè)為一個圓球體,通過在圓球上建立極坐標(biāo)系過渡來計算斜軸圓球上各點(diǎn)的經(jīng)緯度[5,6],進(jìn)而再投影到平面上。將線路走向的中心線作為投影中心線,在切圓柱投影時將圓柱面與線路的中心線相切,使線路范圍內(nèi)點(diǎn)到投影中心線的距離小于28 km,滿足2.2中地圖投影的要求；同時通過參考圓球的半徑選擇,使圓球球面與測區(qū)表面大致吻合,控制高差投影變形的影響。

本文介紹的斜軸墨卡托投影,同樣是將地球假設(shè)為一個圓球體,所不同的是建立投影圓球空間直角坐標(biāo)系來過渡計算圓球上的經(jīng)緯度,再采用切圓柱投影來滿足地圖投影的要求；對于高差投影變形的影響,采取將各點(diǎn)沿其重力線方向投影到投影參考圓球球面上,而非用投影圓球的半徑方向代替。在垂線偏差較小的情況下,可將橢球的法線看作是該點(diǎn)的重力線方向,這對于高差投影差的控制具有重要意義。

圖3是某線路工程各點(diǎn)在WGS-84橢球面上的經(jīng)緯度分布圖,可知線路走向大致是東西方向,且東西范圍跨度較大。采用斜軸墨卡托模型計算,選取測區(qū)中央4號點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn),建立線路工程獨(dú)立坐標(biāo)系(點(diǎn)4為原點(diǎn))。表1為各點(diǎn)在WGS-84橢球上的經(jīng)緯度,其空間直角坐標(biāo)由轉(zhuǎn)化而來。

圖3 線路上各點(diǎn)經(jīng)緯度分布

表1 某線路工程各點(diǎn)WGS-84橢球經(jīng)緯度及空間坐標(biāo)

確定線路設(shè)計平均高程面(軌面高程)為165.5 m,線路中心線走向大地方位角分別取兩個不同值,可得到下面兩個算例結(jié)果。

3.1 算例一

設(shè)線路工程區(qū)域中心線走向的大地方位角為224°00′00″,則投影參考圓球的半徑R0=6 368 171.619 082 55 m。表2為各點(diǎn)在投影圓球球面上的經(jīng)緯度和投影后的平面坐標(biāo)以及長度變形。

3.2 算例二

設(shè)線路工程區(qū)域中心線走向的大地方位角為227°00′00″,則投影參考圓球的半徑R0=6 369 791.471 096 39 m。表3為各點(diǎn)在投影圓球球面上的經(jīng)緯度和投影后的平面坐標(biāo)以及長度變形。

表2 斜軸墨卡托投影結(jié)果(一)

表3 斜軸墨卡托投影結(jié)果(二)

從本文所述斜軸墨卡托投影原理,計算過程和表1、表2的計算數(shù)據(jù)可以看出：

(1)斜軸墨卡托投影是將地面點(diǎn)投影到平面的投影,從地球橢球面到投影圓球球面和從球面到斜軸墨卡托投影都是等角投影,即在整個投影過程中角度不變形,符合一般工程測量和高速鐵路工程測量的要求和習(xí)慣。

(2)由表1和表2的數(shù)據(jù)可以看出,算例二的線路走向大地方位角取得更為合理,長度變形更小。算例一的投影長度變形最大為0.732 8/100 000,算例二最大的長度變形為0.301 9/100000,而高速鐵路測量要求長度變形小于1/100 000。因此,將斜軸墨卡托投影應(yīng)用于高速鐵路測量具有明顯優(yōu)勢。

(3)結(jié)合圖3、表1和表2來看,隨著距離線路中心線的垂直距離的增加,斜軸墨卡托投影的長度變形在增大。因此,選擇合適的中心線大地方位角很重要,確保各測點(diǎn)距離投影中心線的平均垂直距離(即y值)更小,從而更好地控制投影引起的長度變形。

4 結(jié)束語

通過對斜軸墨卡托投影的研究,對計算過程進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn),并對算例計算結(jié)果進(jìn)行了分析,可以得出以下觀點(diǎn)：

(1)對于東西走向、范圍較廣的線路工程,采用高斯投影將會因分帶過多、換算頻繁而導(dǎo)致難以控制長度變形,采用斜軸墨卡托投影可以有效地控制地圖投影差。投影中心線不一定與設(shè)計坐標(biāo)系的坐標(biāo)一致,可以進(jìn)行平面轉(zhuǎn)換,但不會引起長度變形。

(2)采用斜軸墨卡托投影選擇線路中心線走向時,要確保各測點(diǎn)處在中心線的有效偏距(28 km)內(nèi)。在從地球橢球面向投影圓球球面投影時,采取將各點(diǎn)沿其橢球法線方向投影到投影圓球球面上,而非用投影圓球的半徑方向代替,能夠更好地控制高差投影差。

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