剖析拋物線中的分類探究題

?江西省安福縣城關中學 曹經富

在近幾年各地中考中，有關探究相關圖形的形狀、位置，大小等試題頻繁亮相于壓軸題中，這類試題通常以拋物線為背景，以簡單的幾何圖形為載體,借助點動、線動、圖動的思想．進而分類探究相關圖形的某種狀態與結論．

分類討論是初中常用的重要思想方法，無論是在生產活動、科學實驗中，還是在日常的生活中，都常常需要用到它． 分類討論是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想．它能訓練人的思維條理性和嚴密性.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.掌握分類思想，有助于我們提高理解知識，整理知識和獨立獲得知識的能力.而二次函數作為初中階段最核心、最重要的內容，越來越被作為呈現知識、能力和思想的載體．為此，讓我們結合有關試題，一同走進與拋物線有關的分類世界，感受它的魅力與奇妙動感．

一、有關等腰三角形的分類探究題

例 1：（2010年重慶市綦江縣） 已知拋物線 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖像經過點 B（12,0）和 C（0，-6），對稱軸為 x=2．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點D在線段AB上且AD＝AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的結論下，直線x＝1上是否存在點M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標，若不存在，請說明理由．

思路點撥：（1）可用待定系數法求解；（2）當條件既滿足PD＝QD，又滿足PQ⊥CD時，是否存在PD的長．注意到當 PD＝QD，PQ⊥CD 時，△PDC≌△QDC（HL），此時∠QDC＝∠PDC，又∵∠PDC＝∠ACD，于是可以判斷DQ∥AC，∵D是AB中點，∴DQ是△ABC的中位線，DQ＝1AC，AC 可求，那2么DQ亦可求，從而確定PD的長；（3）探究△MPQ為等腰三角形要分類討論：若以PQ為等腰△MPQ的底邊，則作PQ的中垂線，與x＝1的交點即為點M；若以PQ為腰，則分別以P、Q兩點為圓心，以PQ長為半徑作圓，與x＝1的交點即為點M，依此作法，可作出5個點．再利用勾股定理和一次函數的性質，解出點M的坐標．

解析：（1）∵ 拋物線過點 C（0，－6），∴c＝－6，即 y＝ax2＋bx－6.

（2）存在，設直線CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，

∴點D在拋物線的對稱軸上，連結DQ，顯然∠PDC＝∠QDC，

由已知∠PDC＝∠ACD，∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC，DB＝AB－AD＝20-10=10，∴DQ為△ABC的中位線，

∴t＝5÷1＝5（秒）.

∴存在t＝5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，在Rt△BOC 中，，∴點Q的運動速度為每秒單位長度．

（3）存在．如下圖，過點Q作QH⊥x軸于H，則QH＝3，PH＝9，在 Rt△PQH 中，

①當MP＝MQ，即PQ為底邊時，設直線CD的直線方程為 y＝kx＋b（k≠0），則，解得

∴y＝3x－6，當x＝1時，y＝－3，∴M（11，－3）.

②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點，設直線x＝1上存在點 M（1，y），由勾股定理得：42＋y2＝90，即，∴

③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點．過點Q作QE⊥y 軸于 E，交直線 x＝1 于 F，則 F（1，-3），設直線 x＝1 存在點 M（1，y）由勾股定理得（y+3）2+52=90：，即∴，綜上所述，存在這樣的5個點

點評：本題是集代數、幾何核心內容于一體的綜合題．在（2）它從一個新的角度提出問題，重在考查了學生化動為靜及數形結合能力，在（3）中重點考查了探究等腰三角形存在情況的分類討論.在探究等腰三角形的形狀時，通常對已知線段為底和腰兩種情況進行分析，考慮已知線段為腰時，又要分兩種情況：線段兩端點分別為等腰三角形的頂點．解題時要注意將有關點的坐標轉化為相關線段的長，再借助等腰三角形的兩邊相等構建方程求解相關未知數或變量．

二、有關平行四邊形的分類討論題

例2：（2010年陜西省）如下圖，在平面直角坐標系中，拋物線 A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）3 個點.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點P的坐標.

思路點撥：（1）已知3個點求拋物線的解析式可用一般式求解．（2）要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況考慮：①AB為邊，則利用PQ∥AB且PQ＝AB，從而可知P的橫坐標是4或者-4，然后代人二次函數解析式，求出點P坐標；②如果AB為對角線，只要線段PQ與線段AB互相平分即可又知點Q在y軸上，且線段AB中點的橫坐標為1，∴點P的橫坐標為2，這時符合條件的P只有一個點記為P3，將x＝2代入二次函數解析式即可求出.

解析：（1）設該拋物線的表達式為y=ax2+bx+c根據題意，得，解得

（2）①AB為邊時，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可.又知點Q在y軸上，∴點P的橫坐標為4或-4，這時符合條件的點P有兩個，分別記為P1,P2.而當x=4時；當x=-4時，y=7，此時

②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點Q在y軸上，且線段AB中點的橫坐標為1，∴點P的橫坐標為2，這時符合條件的P只有一個記為P3，而且當x=2時y=-1，此時P（32，-1）.綜上，滿足條件的P為

點評：在探究4點構建的平行四邊形中，其中只有兩個點確定，其余兩點為動點，則需要借助分類討論的思想進行分析，即已知的兩個點可能為所要探究平行四邊形的邊，也可能為對角線，再進一步借助平行四邊形的邊、角及對角線性質進行求解．

三、有關直角三角形的分類討論題

例3：（2009年福建省寧德市）已知拋物線 C1：y=a（x+2）2-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求P點坐標及a的值；

（2）如下頁圖（1），拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；

（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

思路點撥：將點B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，當點P、M關于點B成中心對稱時，要求出C3的解析式關鍵是求出頂點M點的坐標，而B點坐標為（1，0），利用對稱性及通過添加適當的輔助線、全等知識等可得頂點M（4，5），且拋物線C3開口向下，運用頂點式便可求出C3的解析式；在（3）中，拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4．其實就是P，N關于點Q成中心對稱，根據對稱性可設字母m表示出N、E、F等各點的坐標，探究以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，要進行適當的分類考慮：3個角都有為直角的可能，再利用相關的勾股定理等確定其中所設字母m的值，進而求出Q點的坐標.

解析：（1）由拋物線 C1：y=a（x+2）2-5 得頂點 P（-2，-5）.

∵ 點 B（1，0）在拋物線 C1上，∴0=a（1+2）2-5，解得

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作 MG⊥x軸于G，∵點P、M關于點B成中心對稱，∴PM過點B，且PB＝MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，∴ 頂點 M 的坐標為（4，5）.

拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到，∴拋物線C3的表達式為

（3）∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到，∴頂點N、P關于點Q成中心對稱，由（2）得點N的縱坐標為5.

設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，∵ 旋轉中心Q在 x軸上 ∴EF＝AB＝2BH＝6，∴FG＝3，點 F 坐標為（m+3，0），H 坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），

根據勾股定理得 PN2＝NK2+PK2=m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34.

①當∠PNF＝90°時，PN2+NF2＝PF2，解得，∴Q點坐標為

②當∠PFN＝90°時，PF2+NF2＝PN2，解得，

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90°.

點評：本題是一道集拋物線的變換及探究直角三角形存在性的綜合題，解題關鍵是要弄清兩個對稱點之間橫坐標、縱坐標之間的變量與不變量之間的關系．對于圖像類的坐標問題，其基本的思想是“數形轉換”，把根據已知條件、圖形性質求出來的幾何量，轉化成點的坐標，或者是由坐標轉化成幾何量時都應注意對點的坐標符號或幾何量的確定．在探究三個點是否構成直角三角形時，主要是運用勾股定理的逆定理進行驗證，其中應進行分類討論哪一條邊可能為斜邊．

四、有關三角形相似的分類討論題

例4：（2010年甘肅省）如下圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與 y 軸交于點 C（0，-3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

思路點撥：（1）運用待定系數法可求解解析式；（2）結合B、C、D三點的坐標可計算出三邊的長度，再結合勾股定理的逆定理可判斷是否為直角三角形；（3）要探究以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似，其中△BCD已確定，則相似的對應關系存在多種可能，故需要采用分類討論的思想進行考慮，即AC可能分別與△BCD的三邊為對應邊.

解析：（1）設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由拋物線與y軸交于點C（0，-3）,可知c=-3即拋物線的解析式為y=ax2+bx-3．把 A（-1，0）、B（3，0）代入,得解得a=1,b=-2.∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.∴頂點D的坐標為（1，-4）.

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形.理由如下：過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F.在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=18. 在 Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴CD2=2. 在 Rt△BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴BD2=20.∴BC2+CD2=BD2，故△BCD為直角三角形.

（3）連接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合條件的點為O（0，0）． 過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合條件的點為P（10,.過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合條件的點為P（29，0）．∴ 符合條件的點有3個：O（0，0）

點評：本題以二次函數為載體，將勾股定理與相似相融合，解題的關鍵是能運用數形結合的思想將相關的點的坐標及時轉化為相應的線段長，在探究相似時，應弄清哪些是已知的量（邊），確定的量（邊），進而運用幾何圖形（相似三角形）的性質分別對應列成比例式進行求解.

五、有關探究圖形面積的分類討論題

例5：（2010年山東省濰坊市）如下頁上圖所示，拋物線與 x 軸交于 A（-1，0）、B（3，0）兩點，與 y 軸交于 C（0，-3）．以AB為直徑做⊙M，過拋物線上的一點P作⊙M的切線PD，切點為D，并與⊙M的切線AE相交于點E．連接DM并延長交⊙M于點N，連接AN．

（1）求拋物線所對應的函數的解析式及拋物線的頂點坐標；

（3）拋物線上是否存在點P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

思路點撥：（2）連接MP，由條件可得半徑為2，結合切線長定理可得△EAM≌△EDM，借助四邊形EAMD的面積為，即△EAM的面積為,發現，這時要注意分類，點E可能在第二象限，也可能在第三象限，故點E的坐標有兩個；結合△EAM三邊的關系存在特殊角，進行借助特殊角的三角函數關系求解D點坐標（也存在兩個，第一象限或第四象限），運用待定系數法從而得到兩條直線BD的解析式（.3）要探究四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，結合相關圖形關系也就是S△EAM＝S△AMD，即同底等高，可知切線PD與x軸平行，且到x軸的距離為2,應分類討論：可能 y＝2或y＝-2，即將（x，2）和（x，－2）代入拋物線可得相應P點坐標．

解析：（1）因為拋物線與 x 軸交于點 A（-1，0）、B（3，0）兩點，設拋物線的函數關系式為 y＝a（x＋1）（x－3），∵ 拋物線與 y軸交于 C（0，－3），∴-3＝ a（0+1）（0-3），解得 a＝1，所以拋物線的解析式為 y＝x2-2x－3＝（x－1）2-4，因此拋物線的頂點坐標為（1，-4）；

（2）連接 EM，∵EA、ED 是⊙M 的切線，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四邊形EAMD的面積為當點E在第二象限時，切點D在第一象限，在Rt△EAM中，∠DMB=60°，過切點D作DF⊥AB于F點，∴MF＝1，DF＝，則直線PD過的坐標代入，則函數PD的解析式為當點E在第三象限時，切點D在第四象限，同理可求直線PD的解析式為因此直線PD的函數關系式為y＝-

（3）若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，又∵S四邊形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，則 S△EAM=S△AMD，∴E、D兩點到x軸的距離相等，∵PD與⊙M相切，∴點D與點E在x軸同側，∴切線PD與x軸平行，此時切線PD的函數關系式為 y＝2或 y＝－2. 當 y＝2 時，由 y＝ x2-2x-3 得當 y＝－2時，由 y＝ x2-2x-3得.故滿足條件點P的位置有4個，分別是

本題將一次函數、二次函數、直線與圓、三角函數等知識高度融合，在題型上雖較為傳統，但卻有力考查了學生綜合運用知識融會貫通能力、分析問題、解決問題能力及分類討論的能力.在近幾年，有關拋物線與圓、面積的綜合題不斷被人所淡化，但它對于培養、訓練與考查學生數學分析能力、邏輯推理能力、綜合能力、數形結合、分類討論思想及數學素養卻是一道亮麗的風景和不可多得的好試題.