“單子”哲學的數學基礎初探

朱新春 史玉民（中國科學技術大學科技哲學部，安徽合肥，230026）

“單子”哲學的數學基礎初探

朱新春 史玉民（中國科學技術大學科技哲學部，安徽合肥，230026）

萊布尼茨是個畢達哥拉斯主義者，同時在數學方面又有杰出成就，故而數學對其形而上學影響很大。單子哲學體系三個主要構成部分——單子論、連續律、前定和諧律，都有一定數學基礎。通過數學，尤其是萊布尼茨本人的數學成就，能更好地理解單子理論。

萊布尼茨；單子；數學；連續律；前定和諧

一、萊布尼茨的數學化宇宙觀

萊布尼茨是17世紀眾多天才之一，與伽利略、笛卡爾等前輩一樣也遵循數學化自然觀。他在1677年寫的《通向一種普遍文字》中就說：

“一個古老的諺語說：上帝依照重量、度量和數量創造了萬物。可是有許多東西，即凡是不受力或動力影響的東西，并不能加以估量；任何不可分割成部分的東西也難以度量。另一方面，沒有東西不被包攝在數量之中。因此，數量可以說是一個基本的形而上學的形式，算術是一種宇宙的靜力學，在其中顯示出事物的諸動力。在數之中隱藏了最深奧的秘密，這一直是從畢達哥拉斯時代以來的人們所確信的。畢達哥拉斯本人曾依照一個可靠的來源，把這個以及其它許多直觀知識從東方傳播至希臘。”［1］

萊布尼茨步畢達哥拉斯等人的后塵，把一切物體（概念）以及物體（概念）間的關系統統歸結為數和數的聯系，并進一步把物體（概念）都無條件地復原為數。他還認為宇宙是一個由數學-邏輯原則所統率的和諧整體，唯有數學和形而上學才是基本的科學，唯有理性才能闡明它。不僅如此，萊布尼茨還把認識也歸結為數，他認為模糊表象和清晰表象之間的區別歸根到底也僅僅是數量上的。萊布尼茨是著名的數學家，創立了微積分和二進制數字體系，而這些成果都直接影響著他的形而上學。

萊布尼茨曾明確表達其思經由經院哲學到機械論再到有機論的轉變過程。哲學思想的轉變與他的學術研究有重大關系，成熟單子哲學也正是奠基于他的科學成就，尤其是數學成就。有學者說“單子學說”是其數學的哲學基礎，其實這不符合實情。萊布尼茨的二進制和微積分基本上在1672~1676年出使巴黎時就已初步完成，只是成果發表要晚一些。有關微積分的成果最早發表于1684年，二進制完成在1679年，在1705年才正式刊出。“單子”思想則是在1686~1697年才逐漸成熟。而且，萊布尼茨“總是宣稱，他的邏輯學和數學與他的形而上學之間不存在鴻溝。還宣稱，他的全部哲學是數學化的，是以數學的最深內核產生出來的”［2］。很多現代學者也認為：“萊布尼茨的哲學思想是以其數學工作為基礎的，而不是相反。”［3］“我們可以在微積分學中讀到單子論，或可以在射影幾何中讀到神全知。”［4］“萊布尼茨真正轉向單子論的建立，是在他完成微積分主要工作以后。”［5］此外，萊布尼茨還強調，必然的真理適應于一切可能的世界，而數學又是必然真理的典范。因此，他的數學成果是其單子哲學的重要基礎毋庸置疑。在思考萊布尼茨的“單子”理論時，從其數學成就及與之相關形而上學解釋，可以深化對“神秘單子”的理解，而不致于停留在表面上。

二、二進制算術與“單子”的創造

在1679年，萊布尼茨就發現了二進制算術，但直到1705年才正式刊出面世。關于二進制算術的用途，萊布尼茨雖然對其未來作用充滿信心，但對20世紀計算機科學發展的巨大意義，可能始料未及。就其當時而言，萊布尼茨并未指出二進制有什么實質性作用，只是把它用來解釋《易經》卦圖和作為其形而上學觀點的證明。

從形而上學方面來說，萊布尼茨認為二進制算術是上帝創造世界的最好證明，在其致白晉（JoachimBouvet）的信中談到二進制算術的意義時就明確指出：

“您已經充分體會到了它在宗教中的主要功用之一，亦即它是創世說的無與倫比的象征，也就是萬物來源于唯一的上帝和無，沒有什么先在的質料。并且，盡管不是絕對的無，但相對的無總是必然地存在于被造物中，只是各自的程度不同罷了。”［6］

萊布尼茨對這個思想感到很驕傲，以致他打算用一個刻有銘文的紀念章來紀念它。銘文是“G·W·萊布尼茨所發現的創造物的典型”以及“為了從無中派生出一切來，‘一’就夠了”。他認為正像整個算術能從1和0中推導出來一樣，整個宇宙也能這樣由純存在（神）和虛無中產生出來，神的創世活動因而也就是在一個而且是同一時刻他自身本質的自愿消減，以及可以從1和0的組合中推導出來的最完滿的數學計算。在《單子論》中他寫道：

按微生物指導書中革蘭氏染色法對各菌株染色，辨別其為陽性菌或是陰性菌[29]，并在100倍油鏡下觀察其菌體形態、大小、有無芽孢及其著生位置等，毛霉菌采用乳酸石碳酸棉藍染色。嚴謹觀察、描述、拍照、記錄。

“因此只有上帝是原始的統一或最初的單純實體，一切創造出來的或派生的單子都是它的產物，可以說是憑借神性的一剎那的連續閃耀而產生的，神性是受到創造物的容受性的限制，對于創造物說，有限乃是它的本質。”［7］

萊布尼茨不光得到上帝創世的證明，而且對單子的屬性也有了基本的認識，它們是不同程度地分有了上帝的本性。他說：

“在上帝之中有權力，權力是萬物的源泉，又有知識，知識包含著觀念的細節，最后更有意志，意志根據最佳原則造成種種變化或產物。這一切相應于創造出來的單子中的主體或基礎、知覺能力和欲望能力。不過在上帝之中這些屬性是絕對無限或完滿的，而在創造出來的單子或‘隱德萊希’中，則只是按照具有完滿性的程度而定的一些仿制品。”［7］

顯然，上帝之中主要屬性——權力、知識、意志，對應單子的屬性——權力（主體）、知覺能力、欲望能力。他還明確指出，單子是上帝的仿制品，上帝是大宇宙，單子是小宇宙，那么上帝能夠表象整個宇宙，單子也能表象整個宇宙，只是清晰程度不同；上帝是最高單子，最完滿的存在，而其他等級的單子程度不等地分有了上帝的屬性。從這里還可以看出，單子與上帝從本質上沒有差別，只是程度上的差別。這種認識正如中國宋明理學中所強調的理一分殊。朱熹就把理一分殊作為其理一元論哲學的重要命題，從本體論角度指出，總合天地萬物的理，只是一個理，分開來，每個事物都各自有一個理。然千差萬殊的事物都是那個理一的體現。他說：“太極只是天地萬物之理。在天地言，則天地中有太極；在萬物言，則萬物中各有太極。未有天地之先，畢竟是先有此理。動而生陽，亦只是理；靜而生陰，亦只是理。”［8］王夫之認為，萬物之大原惟天地，如由一向萬，本大為一，即理一；末小而萬，便是分殊。這包含著事物的同一性與差別性、普遍性與特殊性的關系。不過，王夫之的理氣關系是朱熹的理氣關系的顛倒，使理成為氣的理，認為“有氣必有理，則理既殊而氣亦不同”，從而把理一分殊建立在了唯物論的基礎之上。

萊布尼茨的單子思想是不斷發展變化的，在單子思想初成之時，約在1685~1695年期間，兼有中國宋儒理氣的雙重性質，唯物主義色彩較為濃重；稍后一段時間，主要是“泛機體論”和萬物有靈論雙重色彩；到后期，其實體理論依然保有機體論和有靈論思想，但是“泛靈魂論（panpsychic）”的特征更加明顯，神學色彩更為濃重。［9］

三、微積分與連續律

萊布尼茨在數學上的第二項成就就是發明微積分，于1684年和1686年分別發表的論述微分學和積分學論文，標志微積分正式創立。微分學提供了一個決定某一量在任一瞬間變化比率的一般方法，這個量是在和另一量的相互關系中連續變化的，因此，它是另一量的“函數”。萊布尼茨是第一個在現代意義上使用一個變量的“函數”這個詞的人，即一個變量的值只為另一個變量所決定。積分是微分的逆轉，它在于從給定的某一瞬間的值出發重建出一個整體來。換句話說，增加一個維數，從一個點的變化比率出發，可以重建一條完整的線，從一條線的變化比率出發，可以重建一個它所限定的面；從一個面出發，就能由旋轉這個面而創造出來體。他的發現產生于一個無限系列聚斂于一極限上的看法。微分學是確定這種系列極限的一種方法，而積分學則是發現其總和的一種方法。

連續性是萊布尼茨哲學的一個基本原則，如果說單子是萊布尼茨哲學的磚塊，那么連續律則是它們的黏合劑，并按照前定和諧原則構建起了哲學大廈。“萊布尼茨就是用連續律來規范眾多單子，使構成世界的無數單子和諧地成為一個整體。”［10］萊布尼茨所強調的連續性原則，亦即自然不飛躍的原則。

“這條法則主張，我們永遠要經過程度上和部分上的中間階段，才能從小到大，或者從大到小；并且從來沒有一種運動是從靜止中直接產生的，也不會從一種運動直接就回到靜止，而只有經過一種較小的運動才能達到，正如我們絕不能通過一條線或一個長度而不先通過一條較短的線一樣，雖然到現在為止那些建立運動法則的人都沒有注意到這條法則，而認為一個物體能一下就接受一種與前此相反的運動。”［11］499-500

這就是萊布尼茨的連續性原則或自然不飛躍原則，“任何事物都不是一下造成的，這是我的一條最大的原則，并且是完全證實了的原則”［11］499。微積分的發現，為萊布尼茨的形而上學上的連續性原則提供了數學上證明。連續性定律就是萊布尼茨詳細分析數學和生物學對象的實際情況之后概括出來的。他分析笛卡爾的解析幾何學時，發現一切幾何圖形皆可用點的連續運動來把握，微積分進一步反映了不同幾何圖形的轉化與連續。對解析幾何和微積分這兩門最新數學內容的哲學思考，在萊布尼茨的頭腦中積淀為精辟的哲學思想，形成了一條哲學定律。連續性定律還是萊布尼茨考察生物學資料得出的結論。他研究生物學資料發現，宇宙是由不同等級的存在物構成的。宇宙從高級到低級、從有機物到無機物的連續狀態，從實證方面強化了萊布尼茨的關于世界連續性的認識，讓他相信世界的連續性是不容懷疑的事實。世界的連續性被概括為哲學定律，從而使無數的單子連接起來，組成了一個和諧的世界。同時，這條定律也為充足理由律提供了一個重要的本體論前提，若無連續性，事物就是沒有聯系的、孤立的存在，充足理由律就失去了基礎。

笛卡爾認為物質實體的本質屬性是廣延，萊布尼茨認為既然是廣延，那么一定是可分的。針對原子說，萊布尼茨也同樣認為，盡管原子極其微小，但只要有形就必然還是可以再分割的；而且，如果原子是終極實體，那么由原子組成的復合物中間必然就會有縫隙，因此也就違反了連續律。他通過物理學的研究提出了無形無狀的“力”作為實體，并以之統一了精神領域，后來又賦予這樣實體以豐富的內涵，稱為“形而上學”的點，最后名之為“單子”。萊布尼茨認為單子是基本實體，單子是無形無狀的，作為形而上學的點，包含著宇宙總體的信息，是個小宇宙；整個宇宙是由無數單子構成的。可以看出，每個單子就如同一個微分點，這個點包含著整個宇宙函數的變化特征。

連續律是單子運動和聯系的法則，最高單子——上帝和其他單子都遵循這一原則。最高單子——上帝，通過連續運動創造出了構成整個世界的全部單子。上帝，即最高單子具有最高完滿性和最高量的積極實在性，包含著眾多單子的全部內容，其他單子是上帝或太上單子在瞬間連續閃耀而產生的，并且程度不同地分有上帝的屬性，一直達到極限狀態；其他單子只是上帝的“派生物”，有限性是這些創造物的本質；盡管如此，由于它們分有最高單子——上帝的屬性，總是具有上帝的全部特征，只是程度不同。創造出來的單子的運動變化也是遵循連續律的。萊布尼茨說：“一切創造出來的東西都有變化，因此，創造出來的單子也是這樣的，而且這種變化在每個單子里都是連續的。”“既然一個單純實體的任何現在狀態都自然地是它以前狀態的后果，那么，現在中就包孕了未來。”［7］再者，所有單子遵循著連續律組合在一起，任何兩個單子之間是無縫隙的，或者說任何兩個單子之間有無限個單子；無數單子組成充實的宇宙，沒有虛空。由于一個單子能夠反映整體及其變化規則，又是整體的構成部分，而整個宇宙又是由原初實體——上帝產生出。這種思想無疑與現代分形幾何是一致的，一個分形幾何上的點，其每一點服從總體的函數變化法則，反映整體圖形的變化狀況，是整個圖形的極度微縮狀態；而整個幾何圖形就是由無數點組成的，就如同由某一個點連續運動產生出來的。［4］

萊布尼茨認為，“宇宙是一個由數學-邏輯原則所統率的和諧的整體，唯有數學和形而上學才是基本科學，唯有理性才能闡明它”［1］7。連續律作為無數單子的黏合劑和每個單子的變化法則，無疑有其數學上的基礎。當然萊布尼茨還吸納了當時其他科學最新成果，尤其是生物學上成就。①萊布尼茨吸納了當時最新的生物學和其他科學成果，為其哲學思想提供經驗基礎。

四、函數律與前定和諧

前定和諧是萊布尼茨用以解決單子之間相互作用的形而上學公設，同時也是其哲學飽受非議之處。宇宙是由無數單子組成，單子是沒有窗口的，每一個單子只按照它自己的創造性意圖而行動，不受外在的影響。但是，獨立的、“沒有窗口的”單子之間是如何相互協調的呢？萊布尼茨采用了“前定和諧”來解釋這個難題。關于前定和諧，萊布尼茨說：

“在單純實體中，只有一個單子對另一個單子所發生的理想的影響，它只是通過上帝為中介，才能產生它的效果，因為在上帝的觀念中，一個單子有理由要求上帝在萬物發端之際規范其他單子時注意到它。因為一個單子既然不能對另一個單子的內部發生一種物理的影響，那就只有靠這種辦法，一個單子才能為另一個單子所依賴。”［7］

前定和諧，實質就是萬能的上帝在創造單子時就已經設定了它們的活動內容和方式，并且從總體上保證無數樣式的活動彼此適應和協調一致。萊布尼茨進一步以此來解決“身-心”之間的關系。“靈魂遵循它自身的規律，形體也遵循它自身的規律，它們的會合一致，是由于一切實體之間的預定的和諧，因為一切實體都是同一宇宙的表象。”［7］490在萊布尼茨看來，單子之間并無因果關系，而是一種共時性的運動。萊布尼茨說：“在創造物之間，能動與被動是相互的。因為上帝比較兩個單純實體，發現每一個中間都有使它適應于另一個的理由，因此就某個方面說是能動的，從另一個觀點看來則是被動的。”［7］因此，在單子之間并未有什么真正因果關系，雖然萊布尼茨提出了充足理由原則，但并不是因果性法則，充足理由是指事物存在的“條件、要求和趨向”。前定和諧學說受到了一些哲學家的嘲諷，實際上前定和諧理論遠非其批判者所想象地那樣簡單。

休謨（David Hume，1711-1776）認為，因果律并非自明之理，也不能用邏輯證明。在他看來，我們所以認為一件事是另一件事的原因，是由于兩件事的觀念的聯想關系所致，這種聯想是由一件事在另一件事之前的一長串事件喚起的。這只不過是經驗問題而已，在自然界里，事件是連接著的，但我們不能推斷它們有因果關系。萊布尼茨也同樣不承認因果關系，但是他采用數學的函數關系來解決這個問題。“不過萊布尼茨的學說，在某種方式上是比休謨更有成效些，因為休謨關心的僅僅是因果律，而萊布尼茨關心的是函數的規律，即這樣的規律，它并不陳述什么東西引起了什么，而是陳述了一事物中的變化同另一事物的變化有著什么樣的嚴格數學關系。在物理學中，函數扮演著比因果性更廣泛得多的角色。”［12］關于自然運動遵循數學和諧法則的思想，古希臘就存在。畢達哥拉斯就認為：“數是基本的實在物，而且作為一個整體的宇宙是和諧的。就像音樂中基本音程的比率一樣，在宇宙中也明顯表現出簡單的數學比率來（‘天體的和諧’）。”萊布尼茨接受了這兩個觀點。［13］萊布尼茨也曾用樂隊來比喻這樣的前定和諧。前文已經說過，萊布尼茨認為宇宙是一個數學-邏輯原則所統率的一個整體。實際上萊布尼茨的宇宙遵循一個微分方程，所有單子都互為自變量和因變量，在上帝寫下這個方程時，它們都共同遵循函數法則，因而，一個單子變化，另一個也在變化，不是外部的因果關系，而是前定的和諧。單子作為一個實體，按照上帝最初賦予的內容進行活動，也就是說每個單子都有自己的“定義域”，因此，單子的變化就必然反映整體特征。后來，康德（Immanuel Kant，1724-1804）也試圖廢除因果律的概念，而代之以函數律。

按照萊布尼茨觀點，宇宙是由無數沒有維度的和具有活力的點構成的，每個點都反映著所有其他的點，并和所有其他的點相和諧。加特勒·湯姆森（GarrettThomson）認為萊布尼茨這種觀點與現代物理學某些觀點有諸多一致之處。他引述了一個現代物理學的觀點：“正是時空中這種由點所構成的事件是（相對性的）基本概念。在原則上，所有結構都必須被理解為普遍場中的形式，它們是所有時空點的函數。”［14］此外，海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）也強調：“能量實際上是構成所有基本粒子，所有原子，從而也是萬物的實體，而且能量就是運動之物。”“在現代量子論中……基本粒子最后也還是數學形式”，“代表基本粒子的一些數學形式將是某種永恒的物質運動律的一些解”。［15］當然，并不能認為萊布尼茨走在了當代物理學的前面，但是可以看出萊布尼茨的前定和諧說是來自他的數學化宇宙觀和卓越的數學成就，而并非是毫無根據的玄想。

萊布尼茨的單子哲學有三個基本范疇，即單子、連續律和前定和諧律。單子是構建其哲學大廈的磚塊，連續律是粘合無數單子的黏合劑，而前定和諧是無數單子的相互聯系和相互影響的法則。通過這三個方面，萊布尼茨本體論哲學大廈得以構建。其自創立之時就引起很多非議，懷特海雖然“把機體的假說作哲學的基礎應當首先歸功于萊布尼茨”，但也覺得“單子說過于新奇，所以就似乎都跑到了極端，超出了哲學的安全界限”［16］，這意指單子哲學的神秘主義色彩。事實上，萊布尼茨在幾十個科學領域都取得了很杰出的成就，其哲學無疑有深厚的科學基礎。數學是其最為推崇的理性知識類型，而其最杰出成就又在此領域。單子、連續律和前定和諧律，即其哲學本體論的三個基本范疇無疑都有數學上根據，故此，數學是深刻理解其哲學以及闡發其哲學深刻內涵的一個重要進路。

［1］ 萊布尼茨.自然哲學著作選［M］.祖慶年，譯.北京：中國社會科學出版社，1985.

［2］ E·卡西勒.啟蒙哲學［M］.濟南：山東人民出版社，1988：27.

［3］ J.M.Child ed.The Early Manuscripts of Leibniz［J］.Open Court，1920.

［4］ 羅朗斯·布吉奧.單子與混沌-萊布尼茨哲學中充滿活力的因素［J］.水金，譯.第歐根尼，1994.

［5］ 蒙虎.關于萊布尼茨微積分的哲學背景［J］.首都師范大學學報：自然科學版，2004（1）.

［6］ 萊布尼茨致白晉的信［M］//孫小禮.萊布尼茨與中國.首都師范大學出版社，2006：188-189.

［7］ 萊布尼茨.單子論［M］//西方哲學原著選讀.北京：商務印書館，1981.

［8］ 朱熹，呂祖謙.朱子近思錄［M］.上海古籍出版社，2000：135.

［9］ C.D.Broad.Leibniz［M］.Cambridge University Press，1975：87.

［10］ 安文濤，等編譯.萊布尼茨與中國［M］.福州：福建人民出版社，1983.

［11］ 萊布尼茨.人類理智新論（序）［M］//西方哲學原著選讀.北京：商務印書館，1981.

［12］ S·漢姆普西耳.理性時代［M］.北京：光明出版社，1989：150.

［13］ Ross George Mac-Donald.Leibniz［M］.Oxford，1984.

［14］ 加勒特·湯姆森.萊布尼茨［M］.北京：中華書局，2002.

［15］ W·海森堡.物理學與哲學-現代科學中的革命［M］.范岱年，譯.北京：科學出版社，1974.

［16］ 懷特海.科學與近代世界［M］.何欽，譯.北京：商務印書館，1962.

On Mathematical Base of Leibniz's Theory of Monads

Zhu Xinchun，Shi Yumin

Leibniz as a Pythagorean activist made great contributions in the mathematical field which influenced his metaphysics.The system of Monadology is mainly made up of three basic components，namely，the theory of monads，the principle of continuity and pre-established harmony which all have mathematical foundations.The theory of Monads would be well understood if we analyzed it through mathematics，especially Leibniz's mathematical achievements.

Leibniz；monad；mathematics；the principle of continuity；pre-established harmony

B516.22

A

朱新春（1972-），男，博士研究生，講師，研究方向為科技哲學。