群的幾種等價(jià)定義

賈正華

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖23800）

群的幾種等價(jià)定義

賈正華

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖23800）

本文給出了群的幾種定義的等價(jià)性.

群；單位元；左單位元；右單位元；逆元；左逆元；右逆元；消去律

1 群是數(shù)學(xué)中重要的概念，關(guān)于群的定義有以下幾種

定義1設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合，且滿足：

（1）乘法封閉。即?a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法滿足結(jié)合律。即?a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c.

（3）?a，b∈G方程：ax=b與ya=b在G中有解。

則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群。

定義2設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合，且滿足：

（1）乘法封閉。即?a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法滿足結(jié)合律。即?a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）G中存在左單位元.即存在e∈G使得?a∈G都有ea=a.

（4）G中每一個(gè)元都存在左逆元。即?a∈G都有a/∈G使得a/a=e.

則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群.

定義3設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合，且滿足：

（1）乘法封閉。即?a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法滿足結(jié)合律。即?a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）G中存在右單位元。即存在e∈G使得?a∈G都有ae=a.

（4）G中每一個(gè)元都存在右逆元。即?a∈G都有a/G使得aa/=e..

則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群。

定義4設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空集合,且滿足:

（1）乘法封閉。即?a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法滿足結(jié)合律。即?a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）G中存在單位元。即存在e∈G使得?a∈G都有ea=ae=a

（4）G中每一個(gè)元都存在逆元。即?a∈G都有a/∈G使得aa/=a/a=e.

則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群。

定義5設(shè)G為一個(gè)定義了一種稱為乘法的代數(shù)運(yùn)算的非空有限集合，且滿足:

（1）乘法封閉.即?a，b∈G都有ab∈G.

（2）乘法滿足結(jié)合律。即?a，b，c∈G都有a（bc）=（ab）c

（3）乘法滿足消去律。即若ax=ay就有x=y；若xa=ya就有x=y.

則稱G關(guān)于所給乘法構(gòu)成一個(gè)群.

2 下面來證明幾種定義的等價(jià)性

（a）先證定義1與定義4等價(jià)。

證:由定義1?定義4。

由定義4知定義1中（1），（2）成立。下面來證定義1中（3）也成立。

事定上，?a，b，∈G由定義4中（4）知存在a/∈G使得aa/=a/a=e.取x=a/b

由定義4中（1）x∈G且ax=a（a/b）=（aa/）b=eb=b.ax=b在G中有解x=a/b

同理可證ya=b在G中有解y=ba/.

故由定義推出定義1。

下面再證定義1推出定義4.

由定義1知定義4中（1），（2）成立.下面來證定義4中的（3），（4）兩條成立.

事實(shí)上，設(shè)b∈G由定義1中（3）知方程xb=b在G中有解，設(shè)其解為x=e，即eb=b.

下證e為G的單位元，即證?a∈G都有ea=ae=a.

因由定義1中（3）方程bx=a在G中有解，設(shè)其解為c，即bc=a.所以ea=e（bc）=（eb）c=bc=a.

又由定義1中（3）知方程yb=b在G中有解，設(shè)其解為e/，即be/=b.由前面同理可證得?a∈G都有ae/=a，由a的任意性知ee/=e/且有ee/=e.故e=e/.

即得?a∈G都有ea=ae=a.

故G中存在單位元。（易知G中單位元是唯一的）

由定義1中（3）知方程ax=e與ya=e在G中有解，設(shè)其解為x=a/，y=a//即aa/=e，a//a=e，下證a/=a//

事實(shí)上：a/=ea/=（a//a）a/=a//（aa/）=a//e=a//.所以aa/=a/a=e.即定義4中（4）也成立。（易知a在G中逆元是唯一的）

所以由定義1推出定義4.

總上所述得定義1與定義4等價(jià)。

（b）證明定義2與定義1等價(jià)。

證：由定義4顯然推出定義2。由定義2顯然推出定義1.即定義2?定義1，又由定義1?定義4，知定義4定義?2定義1?定義4

故定義1與定義4等價(jià)。

同理可證定義3與定義1等價(jià)。

（c）最后來證有限群的定義5

證：先證由定義4推出定義5。

由定義4的（1），（2）知定義5中的（1），（2）成立。

由定義4知?a，b∈G都有a/，b/使得aa/=a/a=e，bb/=b/b=e

由ax=ay，推出a/（ax）=a/（ay），推出（a/a）x=（a/a）y，得ex=ey，推出x=y.同理xa=ya推出x=y.即G中消去律成立。故由定義4推出定義5。

再證由定義5推出定義1

因G為有限集，設(shè)G={a1，a2…，an}下證?a，b，∈G，ax=b在G中有解。

事實(shí)上，由定義5中（1）知aa1，aa2，…aan∈G，又若aai=aja，由定義5中（3）知ai=aj，故aa1，aa2…aan互不相同。所以{aa1，aa2…aan}為G的子集且其有n個(gè)元素，而G也有n個(gè)元素，所以G={aa1，aa2，…aan}，因b∈G，所以存在ak，使得aak=b.

所以方程ax=b在G中有解x=ak.同理可證方程ya=b在G中有解

所以由定義5推出定義1

所以定義1與定義4等價(jià)。故定義5可作為有限群的定義。

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京；高等教育出版社；1978.

[2]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京；高等教育出版社；1998.

[3]馮克勤，李尚志.近世代數(shù)引論[M].合肥：中國科技大學(xué)出版社，1988.

責(zé)任編輯：陳鳳

O187.2

A

1672－2868（2010）03－0123－03

2010－01－18

賈正華（1963－），男，安徽含山縣人。巢湖學(xué)院教學(xué)系副教授，研究方向：代數(shù)學(xué)。