淺論數學建模思想在高等數學教學中的運用

汪立新

（周口師范學院 數學系，河南 周口 466001）

淺論數學建模思想在高等數學教學中的運用

汪立新

（周口師范學院 數學系，河南 周口 466001）

在高等數學教學中運用數學建模思想，對培養學生的數學應用能力、實踐能力和創新能力是一條有效的途徑。把數學建模思想融入高等數學教學可以從分析處理教材、組織教學內容、教學方法和學法指導、知識應用過程等方面著手。

數學建模；高等數學；運用

高等數學是高校數學及理工專業的一門重要的基礎課和工具課，教學中一個很突出的任務就是培養學生的應用能力。數學模型是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，實際上就是將數學理論知識應用于實際的過程。在高數教學過程中恰當地運用數學建模的思想，介紹并運用數學建模的基本方法，對培養學生的數學應用能力、實踐能力和創新能力將是一條有效的途徑。

一、在分析處理教材時采用數學建模的觀點

用數學建模的觀點分析高等數學教材，不難發現其中蘊涵著豐富的數學建模素材，從知識點的引入、理論體系的建立、知識的應用等各個方面，均體現了數學建模的過程和思想方法，數學建模的教學與現行的高等數學教學秩序并不矛盾。關鍵是教師要轉變觀念，把數學建模的觀點恰當地融入教學之中，從全新的角度組織教學體系，為課堂教學注入新的生機和活力。

在處理教材中應注意到以下幾個方面：注重以實例引入知識點，并最終回到數學應用，體現數學建模的過程和數學應用的思想；注重基本概念和基本方法的教學，培養學生用數學原理和方法分析和解決實際問題的能力；遵循基礎理論知識以必需夠用為度的原則，不過分追求理論上的嚴密性，適度注意保持數學自身的系統性與邏輯性；結合具體教學內容，適當安排用數學軟件包Mathematica進行相應數學運算的內容。

二、在組織教學內容過程中貫穿數學建模思想

注重概念的形成過程，通過用學生熟知的、貼近生活的實例引入概念，讓學生從多方面、多角度體會概念是從客觀事物的數量關系中抽象出來的數學模型，還原概念的本質。例如，在講授分段函數時，可以從實際中一些分段函數引入，諸如：郵資函數、電話計費函數、出租車計費函數、個人所得稅納稅額度函數等，讓學生充分理解這些實際背景，有利于學生對分段函數這一概念的理解和掌握，更便于掌握其相應的性質及左右極限、左右連續的概念。再如，導數的概念，其實質就是一個相對變化率的極限問題，教學中除了引用經典的例子：變速直線運動的瞬時速度、平面曲線的切線斜率外，還引入了電流強度、密度、化學反應速度、成本變化率、需求量對價格的彈性等常見的實際問題。通過對照這些實際原型并從中篩選有用的信息和數據，建立數學模型，進而解決問題。不僅使學生加深了對導數概念本質的理解，而且認識到數學不是孤立的，它與其他領域存在著緊密的聯系。

挖掘數學課程中蘊涵的豐富的數學建模素材，應適當穿插介紹數學建模思想方法，對某些數學問題改用構建模型來解決，要通過建模展示數學思想的形成過程，淡化嚴格的形式化和推理過程，注重實際應用，這也是高等數學教學改革中的一個方向。如，在講解重要極限時，尤其是重要極限學生往往會產生疑惑：這種類型的函數極限作用究竟在哪里？學它干嗎？事實上，該極限就是連續復利函數的模型。設本金為A，年利率為r，如果以復利計息，t年末的本利和為Ar，則這是一年計息1期，t年末的本利和公式。如果一年計息不是1期，而是計息n期，則每期利息為于是 t年末的本利和為如果每年計息周期無限縮短，從而計息次數n→∞，這種情況就是連續復利問題，從而得到t年末的本利和這樣，通過與實際應用問題的聯系，把枯燥、抽象的數學概念具體化、問題化、實用化，便于學生的理解和掌握，也增強了學生學習高等數學的興趣和熱情。

教學中還可以適當增加一些數學建模的經典范例，范圍可從幾何、物理領域擴充到諸如工程、人口、經濟、生物、醫藥、日常生活特別是專業領域。通過這些實例的研究，使學生真切感受數學知識在各個領域中的應用，深刻認識數學的價值，并學會用數學化思維解決實際問題，以增強學生數學應用能力和創新能力。

三、在教學方法和學法指導上體現數學建模的思想

課堂教學中應充分發揮學生的主體作用和教師的主導功能。教師一定要克服過去的“一言堂”，而要做到講練結合，運用提問、討論多種方式進行教學，注重引導學生掌握正確的學習方法、分析問題和解決問題的方法，充分展現數學發現的思維過程。要變以教師為中心為以學生為中心，充分調動學生的主觀能動性和思維的積極性，培養創新意識和創新能力以及自我更新知識的能力。

如在學習空間平面曲線的一般方程時，如果嚴格按照教材中的方法和步驟講解，學生會感到抽象、不易理解且枯燥乏味，在這里教師可以通過引導學生自己構造數學模型的辦法，如提出兩個問題：1．請說出平面曲線圓、橢圓、雙曲線、拋物線的來由（高中學習的內容）；2．平面、球、圓錐、圓柱的方程分別如何（上一節課的內容）？問題一經提出，學生思維便會相當活躍，紛紛發言。（1）圓可由球與平面相交得到或由圓錐與平面相交得到；（2）橢圓可由圓柱與平面相交得到或由圓錐與平面相交得到；（3）雙曲線可由圓錐與平面相交得到；（4）拋物線可由圓錐與平面相交得到。從以上知識可看出，圓錐與平面相交可得到四種平面曲線，不同平面曲線的得到和平面與圓錐的相對位置有關（圖略）。接著學生就可以自己構造對應曲線的方程組，如：

另外，教師應自主開發和利用數學軟件和教學軟件進行教學，這樣不但能使教學過程生動活潑，激發學生的學習主動性，也能加快教學進程，解決課時偏少的矛盾。

四、在知識的應用過程中突出數學建模思想

要根據教學內容的特點，精心組織、科學設計，從數學應用的角度處理數學、闡釋數學、呈現數學，必須加強數學應用環節的實踐，注重學生的親身實踐，注重用數學解決學生身邊的問題，用學生容易接受的方式展開教學，重視在應用數學中傳授數學思想和方法，把培養學生解決實際問題的能力作為教學內容的主線。

如在學習一元函數介值定理時引入下例：某人第一天上午8點由山下出發，下午15點抵達山頂；第二天上午8點由山頂出發按原路返回，并于下午15點回到山下原出發點。已知連續函數且.求證：存在點使得

解決這個問題，教師可以按照“問題情景—建立模型—解釋與應用”的模式進行分析，該例子對應著以下數學模型：

通過對這個問題的證明，不但使學生看到了如何利用抽象的介值定理來解決實際問題的方法，開闊了學生的思路，而且啟迪了學生如何觀察生活，如何用數學語言描述實際生活中的現象并用數學工具對它進行證明，培養了學生的數學抽象能力。

由于目前高等數學教材中涉及應用方面的習題較少，課后作業基本上是套用定義、定理和公式解決問題。為此，可補充一些建模素材作為課后練習題，通過完成這種作業，使學生進一步認識數學、體驗數學，感受到數學應用之所在，從而提高對所學知識的理解和掌握，培養學生探究與解決問題的能力。

最后需要指出的是，高等數學是數學建模的重要工具，扎實的高等數學功底是搞好數學建模的基礎，而數學建模思想的培養有利于培養學生的創新能力，二者相輔相成，相互促進。因此，在實施數學建模教學的同時，絕不能淡化高等數學知識的教學，否則適得其反。

[1] 金輝．數學建模與高等數學教學改革[J]. 江蘇經貿職業技術學院學報，2006，（4）．

[2] 許先云，楊永清．突出數學建模思想 培養學生創新能力[J]. 大學數學，2007，（4）．

[3] 姜啟源. 數學模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

Application of Mathematical Modeling Thought in Advanced Mathematics Teaching

WANG Li-xin

It will be an effective way for cultivating students’ ability of mathematical application, practice and innovation to apply mathematical modeling thought in advanced mathematics teaching. The application can realized by analyzing teaching materials, organizing teaching contents, giving guidance for teaching and learning methods, and applying knowledge.

mathematical modeling, advanced mathematics, application

G42

A

1008-7427（2010）05-0121-02

2010-03-07