幾種積分方程的求解

劉俊先

（邢臺(tái)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河北 邢臺(tái) 054001）

幾種積分方程的求解

劉俊先

（邢臺(tái)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河北 邢臺(tái) 054001）

依據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系間的關(guān)系及處理問題的特殊方法，通過實(shí)例分析了含有定積分、變限積分、曲線積分及曲面積分的函數(shù)方程的求解策略。

積分；方程；函數(shù)；解題策略

高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象主要是函數(shù)，研究的主要方法是微分法和積分法.求解含有不同積分形式的函數(shù)方程，往往是綜合性較強(qiáng)的題目，有助于學(xué)生深化理解知識(shí)體系間的關(guān)系及處理問題的特殊方法.

1.方程含有定積分

分析 需明確∶定積分是常數(shù);閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可積.對(duì)等式兩邊取定積分算出即可.

2.方程含有變限積分

例 2 設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)＞0,且曲線 y= f(x)與直線y=0,x =1及x=t(t＞1)所圍曲邊梯形,繞x軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積是該曲邊梯形面積的π t倍,求該曲線方程.

分析 由旋轉(zhuǎn)體體積、平面圖形面積得含變限積分方程,求導(dǎo)后化為微分方程求解.解 依題意知消去π后兩邊對(duì)t求導(dǎo)得

2f(t )f′(t )=2f(t )+tf′(t ),令 t=x,f(t)=f(x)=y,得微分方程整理得由通解公式得通解用代入得故曲線方程為

3.方程含有曲線積分

例 3[1]設(shè)函數(shù)Q(x,y)在xOy平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對(duì)任意t恒有求

分析 此題有關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件、沿折線路徑積分及對(duì)變限積分求導(dǎo).

4.方程含有曲面積分

分析 由高斯公式、三重積分性質(zhì),化為微分方程求解.

解 由題設(shè)和高斯公式得

其中V為S圍成的有界閉區(qū)域,當(dāng)有向曲面S的法向量指向外側(cè)時(shí),取“+”號(hào),當(dāng)有向曲面S的法向量指向內(nèi)側(cè)時(shí),取“－”號(hào).由S的任意性知即按一階線性微分方程通解公式,有由于必有即從而于是

[1] 劉三陽，張卓奎，陳慧嬋. 各類考研數(shù)學(xué)全真試題與解答[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2001.

[2] 李永樂，李正元，袁蔭棠. 考研數(shù)學(xué)歷年試題解析[M]. 北京：國家行政學(xué)院出版社，2009.

Several Kind of Integral Equation Solution

Rests on the higher mathematics knowledge system the relations and the processing question special method, analyzed through the example included the definite integral, the variation range integral, the curvilinear integral and the surface integral functional equation solution strategy.

LIU Jun-xian

integral; equation; function; problem-solving strategies

O017

A

1008-7427（2010）05-0160-01

2010-02-03

作者系邢臺(tái)學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授。