基于系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的時(shí)間序列建模方法

徐洪濤,王躍鋼,崔洪亮,蒲 源

(1.第二炮兵工程學(xué)院,陜西西安 710025;2.第二炮兵士官學(xué)校,山東青州 262500)

0 引言

工程實(shí)踐中常常要對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí),然而在實(shí)際中許多時(shí)候無(wú)法獲得系統(tǒng)的輸入信息,一些大型結(jié)構(gòu)更是難以采用人工激勵(lì)的方式去進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬試驗(yàn),也很難從它們的實(shí)際工作狀態(tài)中獲得完整的激勵(lì)信號(hào)。這些結(jié)構(gòu)在工作中的載荷雖難以測(cè)量,可是響應(yīng)信號(hào)卻容易測(cè)得。基于系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào),直接對(duì)系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的方法有很多:如傳統(tǒng)系統(tǒng)辨識(shí)的Prony法、ITD法等[1],以及通過(guò)時(shí)序建模的ARMA(Auto-regressive Moving-average)模型法[2]。對(duì)于建立ARMA模型的時(shí)間序列,需采用平穩(wěn)、正態(tài)、0均值的隨機(jī)過(guò)程。但實(shí)際上許多時(shí)間序列并不滿足0均值和平穩(wěn)性。雖經(jīng)0化處理和剔除趨勢(shì)項(xiàng)等方法可以得到0均值、近乎平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。但處理后的時(shí)間序列用于建模并識(shí)別參數(shù)則會(huì)使識(shí)別結(jié)果與實(shí)際值有很大的偏差。在工程實(shí)際中很難得到系統(tǒng)準(zhǔn)確的白噪聲響應(yīng)信號(hào),因而給系統(tǒng)ARMA模型辨識(shí)帶來(lái)一定的不便。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文提出一種利用系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行ARMA時(shí)序建模的新方法,設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)對(duì)提出的算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,證明本文方法的可行性。

1 ARMA時(shí)間序列

時(shí)間序列是一組按時(shí)間順序排列的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù),在這些數(shù)據(jù)之間有著內(nèi)在必然的聯(lián)系及規(guī)律性,通過(guò)建模分析、研究這些數(shù)據(jù)便可以辨識(shí)出系統(tǒng)的特性參數(shù)。ARMA時(shí)間序列法是利用參數(shù)模型對(duì)這些有序隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究、處理的一種方法。其數(shù)學(xué)描述如下[3]:

若離散隨機(jī)過(guò)程 x(n)服從線性差分方程:

式中,e(n)是一離散白噪聲,則稱隨機(jī)過(guò)程x(n)為一ARMA過(guò)程。而式(1)所示的差分方程稱為ARMA模型。系數(shù)a1,…,ap和b1,…,bq分別稱為自回歸(AR:autoregressive)參數(shù)和滑動(dòng)平均(MA:moving average)參數(shù),而p和q分別叫做AR階數(shù)和MA階數(shù),以符號(hào)ARMA(p,q)表示。該方法的建模本質(zhì)是將待識(shí)別的系統(tǒng)描述成一個(gè)以白噪聲e(n)為激勵(lì),x(n)為輸出的離散系統(tǒng),通過(guò)輸出x(n)的信息(相關(guān)函數(shù)陣)來(lái)估計(jì)模型的AR參數(shù)和MA參數(shù)。然而在實(shí)際工程應(yīng)用中,獲取系統(tǒng)的白噪聲輸入響應(yīng)比較困難,從而無(wú)法得到輸出x(n)準(zhǔn)確的相關(guān)函數(shù)信息,因而利用常規(guī)Yule-walker方程無(wú)法解決模型參數(shù)的辨識(shí)問(wèn)題。

2 方法原理

對(duì)任意ARMA模型來(lái)說(shuō),白噪聲輸入響應(yīng)信號(hào)與沖擊輸入響應(yīng)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)R(τ)之間有一定的聯(lián)系(成比例),而且在計(jì)算ARMA模型的參數(shù)時(shí),僅利用了響應(yīng)信號(hào)相關(guān)函數(shù)R(τ)的有關(guān)信息,因此完全可以用沖擊響應(yīng)信號(hào)的有關(guān)信息來(lái)替代白噪聲輸出來(lái)進(jìn)行模型參數(shù)的計(jì)算,從而完整建立系統(tǒng)的ARMA模型。工程中也很容易得到?jīng)_擊響應(yīng)數(shù)據(jù),中小型結(jié)構(gòu)可以通過(guò)錘擊法獲得沖擊響應(yīng)信號(hào),大型結(jié)構(gòu)可以通過(guò)爆破方式激勵(lì)或隨機(jī)減量技術(shù)從結(jié)構(gòu)的響應(yīng)中提取出自由衰減信號(hào)。本文基于這一原理利用系統(tǒng)沖擊響應(yīng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),避免了求取白噪聲響應(yīng)的不便。

3 方法推導(dǎo)

3.1 模型AR參數(shù)辨識(shí)

系統(tǒng)激勵(lì)記為白噪聲e(n)和沖擊信號(hào)δ(n),記x(n)為白噪聲輸出,h(n)為系統(tǒng)沖擊響應(yīng)輸出,對(duì)應(yīng)輸出的相關(guān)函數(shù)分別記為Rx(τ)和Rh(τ)。

由ARMA模型的Wold分解定理[3]可知,因果ARMA過(guò)程x(n)具有唯一平穩(wěn)解

其相關(guān)函數(shù)可以表示為:

由于實(shí)際沖擊響應(yīng)信號(hào)總是有限長(zhǎng)度,設(shè)為N,故可以得到?jīng)_擊響應(yīng)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為:

故式(3)可以表示為:

從式(5)可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)函數(shù) Rx(τ)和Rh(τ)之間成正比關(guān)系,分析發(fā)現(xiàn)正是由于這一關(guān)系給參數(shù)的估計(jì)帶來(lái)了便利,從而避免了求取系統(tǒng)的白噪聲輸出,直接使用沖擊響應(yīng)輸出即可。

接下來(lái)給出常規(guī)模型AR參數(shù)的修正 Yule-Walker方程如下:

從方程形式可以發(fā)現(xiàn)將方程兩邊同時(shí)除以Nσ2即可得到式(7):

式(7)中用沖擊響應(yīng)相關(guān)函數(shù) Rh(τ)代替Rx(τ)同樣可以準(zhǔn)確求得模型的AR參數(shù),從而避免了求取系統(tǒng)白噪聲輸出的不便。

3.2 模型MA參數(shù)辨識(shí)

目前關(guān)于MA參數(shù)求解的方法大致可以分為三種:一是譜分解法,二是利用高階AR模型來(lái)近似MA模型,三是最大似然估計(jì)法,其中最為有效的是第二種方法。

由Wold分解定理可知,對(duì)信號(hào) x(n)可以建立一個(gè)無(wú)窮階的AR模型,即:

那么可以用它表示一個(gè)q階的MA模型,即

于是有A∞(z)B(z)=1,將此式兩邊取Z反變換,左邊應(yīng)該是a(k),k=1,…,∞和b(k),k=1,…,q的卷積 ,即

在實(shí)際工作中,只可能建立一個(gè)有限階次的AR模型,如p,p?q,其AR模型的系數(shù)為(1),(2),…(p),利用該組參數(shù)近似MA模型,將其代入到式(10)中必定會(huì)產(chǎn)生誤差,即

綜上所述,運(yùn)用AR參數(shù)求解方法,MA參數(shù)求解步驟歸納如下:

1)由N點(diǎn)數(shù)據(jù)x(n)建立一個(gè)p階的AR模型,要求p?q,可以采用上文介紹的方法來(lái)求解p階的AR參數(shù)(k),k=1,…,p。

2)利用^ap(k),k=1,…,p建立一個(gè)等效的q階的AR模型,再一次利用求解AR參數(shù)的方法,即可得到MA參數(shù)b(k),k=1,…,q。

3.3 模型ARMA參數(shù)辨識(shí)

根據(jù)上文的推導(dǎo),可以將常規(guī)的ARMA建模方法作一改進(jìn),得出如下計(jì)算步驟[4]:

1)采用修正 Yule-Walker方程來(lái)求解模型的AR部分參數(shù),在求解過(guò)程中,用沖擊響應(yīng)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)Rh(τ)取代 Rx(τ),求得 AR 參數(shù)a1,a2,…,ap;

3)采用上文中提到的求解MA參數(shù)的方法求出b1,b2,…,bq,從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)ARMA(p,q)參數(shù)的估計(jì)。

4 仿真算例

根據(jù)上文討論,對(duì)文中研究的辨識(shí)算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)。建模方案采用ARMA(2n,2n-1)方案,該方案是S.M.WU和S.M.Pandit提出的一種比較適合工程應(yīng)用的一種建模方案,建立的是ARMA(2n,2n-1)模型[5]。從n=1開始擬合模型,并按照n=n+1的原則進(jìn)行遞推,直至n=50模擬結(jié)束。為了檢驗(yàn)每次擬合模型的準(zhǔn)確性,考慮到用相似性系數(shù)這一標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量。

相似系數(shù):相似系數(shù)是描述估計(jì)信號(hào)與原始信號(hào)相似性的參數(shù),其定義如下:

當(dāng) y i=csj(c為常數(shù))時(shí),ζij=1;當(dāng)y i與sj相互獨(dú)立時(shí),ζij=0。

通過(guò)50次模型擬合,辨識(shí)出了50種階次逐步增加的ARMA模型。對(duì)每一模型,我們?cè)诒孀R(shí)出其全部參數(shù)后,利用估計(jì)參數(shù)和系統(tǒng)階次來(lái)估計(jì)ARMA(2n,2n-1)模型,然后求出其估計(jì)沖擊響應(yīng)輸出,聯(lián)合我們先前得到的系統(tǒng)實(shí)際沖擊響應(yīng)輸出進(jìn)行相似性計(jì)算,求出相似性系數(shù)。得到50個(gè)不同的相似性系數(shù),選擇其中最大的,其相應(yīng)的模型應(yīng)該與實(shí)際系統(tǒng)更加接近,更能體現(xiàn)系統(tǒng)的特性。

算法仿真實(shí)驗(yàn):

現(xiàn)給出一因果、穩(wěn)定的ARMA(30,29)模型,其參數(shù)如下:

圖1 系統(tǒng)理論沖擊響應(yīng)特性曲線Fig.1 Theoretical impulse response of the system

圖2 相似系數(shù)曲線Fig.2 Curve of the similarity coefficient

采用上述算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),首先給出系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)特性曲線,如圖1。對(duì)沖擊響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行50次遞推仿真,得出相似系數(shù)與n的關(guān)系曲線,如圖2。從圖中可以發(fā)現(xiàn)大約n

=13時(shí),相似系數(shù)達(dá)到了最大值,幾乎接近于1,因此可以建立ARMA(26,25)模型來(lái)描述原始系統(tǒng),

通過(guò)上文中的方法來(lái)求解各部分參數(shù):

通過(guò)估計(jì)參數(shù)來(lái)估計(jì)ARMA(26,25)模型,然后再次計(jì)算估計(jì)模型的沖擊響應(yīng)特性,得到估計(jì)曲線,如圖3。

圖3 系統(tǒng)估計(jì)沖擊響應(yīng)曲線圖Fig.3 Estimated Impulse response of the system

比較系統(tǒng)理論和系統(tǒng)估計(jì)的沖擊響應(yīng)特性曲線可以發(fā)現(xiàn),估計(jì)系統(tǒng)特性不僅在總體上與真實(shí)系統(tǒng)很接近,而且在某些局部特性(采樣點(diǎn)50左右)也能夠較完整的復(fù)現(xiàn)真實(shí)系統(tǒng)的特性。眾所周知,一個(gè)系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)特性決定了系統(tǒng)的本質(zhì)特性,也就是說(shuō)兩個(gè)系統(tǒng)如果具有相同的沖擊響應(yīng)特性,那么可以說(shuō)是兩系統(tǒng)等效的。因此,仿真試驗(yàn)表明文中論述的建模方法能夠準(zhǔn)確的對(duì)真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行建模,效果較好,達(dá)到了沖擊響應(yīng)特性的完整復(fù)現(xiàn)。

5 結(jié)論

常規(guī)ARMA時(shí)間序列建模方法需要獲取系統(tǒng)的白噪聲響應(yīng)信號(hào),而在工程實(shí)際中卻很難準(zhǔn)確得到系統(tǒng)的白噪聲響應(yīng),本文針對(duì)該問(wèn)題提出了一種基于系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的時(shí)間序列建模新方法。該方法利用系統(tǒng)白噪聲輸入響應(yīng)信號(hào)與沖擊輸入響應(yīng)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)R(τ)比例關(guān)系,對(duì)常規(guī)方法進(jìn)行改進(jìn)從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的ARMA建模。計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)表明:本文方法利用系統(tǒng)沖擊響應(yīng)輸出信號(hào)既可有效地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的ARMA建模,同時(shí)又避免了常規(guī)建模方法中獲取系統(tǒng)白噪聲響應(yīng)的不便。由于在工程實(shí)際中可以方便的獲取系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)信號(hào),從而提高了該建模方法的工程實(shí)用性。

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