柔性機構動態可靠性分析的模糊響應面方法

于霖沖

(1.北京航空航天大學,北京 100091;2.廈門理工學院,福建 廈門 361024)

0 引言

機構中如果包含了一個或者多個易產生較大變形的細長構件,這種細長構件在運動過程中會產生變形與運動的耦合,動態參數會出現“波動”,通常將這種機構叫做柔性機構。柔性機構運動副之間的摩擦和碰撞在柔性機構運動過程中存在很大的不確定性。如果動態參數“波動”在安全臨界值附近,將使柔性機構系統可靠性的判定更加復雜,增加了機構系統的模糊性。隨著輕質、高速的機械系統不斷出現,構件在速度和柔度上不斷加大,構件的柔性變形也加大。在高精度和高可靠性的要求下,構件變形已不能忽略[1]。因此,模糊隨機柔性機構系統的動態性能可靠性研究具有十分重要的現實意義。

美國學者Zateh在20世紀70年代提出了模糊理論[2],在結構靜態模糊可靠性分析方面取得了許多成就[3-8]。其中,白廣忱教授和王光遠院士對以可靠度為目標函數的大系統多目標優化問題提出了模糊分配方法[3];Verma和Knezevic提出了概念設計階段機構系統可靠度的模糊分配方法[4];Li Bing等[5]、董玉革等[6]、白廣忱和黃洪鐘等[7-9]的工作使模糊可靠性研究得到更加廣泛的應用,但在機構動態可靠性應用上還有待進一步深入探索。本文在上述研究成果的基礎上,提出了一種柔性機構動態性能可靠性分析的新方法。

1 模糊響應面方法的基本理論

響應面法(Response Surface Method,簡稱RSM)是由Bucher在20世紀90年代提出的,是在未知功能函數時進行可靠性分析的一種近似方法,在結構靜態可靠性分析上取得了很好的效果[10]。

設xi(i=1,2,…,n)為可靠性分析中的n個任意分布的獨立隨機變量,由這些隨機變量表示的極限狀態方程為:

響應面方法的基本思想就是重構一個近似的極限狀態方程g′(x)來近似替代g(x):

常規重構響應面g′(x)的方法是利用不含交叉項的二次多項式表示響應面函數,待定系數為2n+1個:

式(3)可以通過系列確定性的實驗確定,解線性方程組得到2n+1個待定系數,從而確定由二次多項式表示的響應面函數。得到響應面函數后,可以用一次二階矩方法求出可靠度指標和設計驗算點。通常情況下,初始迭代點一般取均值點,如不滿足可靠度指標的精度要求,經線性插值得新的展開點,直到精度滿足要求。具體求解計算步驟見文獻[10]。

2 動態可靠性分析的模糊響應面方法

傳統的RSM方法并沒有考慮模糊性,也沒有考慮安全失效狀態隨時間的動態變化。單純考慮隨機變量的傳統RSM方法失效狀態表達為:

如果考慮狀態的模糊性,將安全狀態和失效狀態分別作為狀態空間的模糊集合:模糊安全域D s和模糊失效域Df,對應的極限狀態函數為:

如果考慮安全失效狀態的模糊性,將安全狀態和失效狀態分別作為狀態空間的模糊安全域D s和模糊失效域D,考慮安全和失效狀態隨時間的動態變化,這時極限狀態函數為時變的模糊極限狀態函數(t):

特別地:當取 μf=0,μs=1 時,或者取 μf=1,μs=0時分別表示不考慮狀態模糊的情況。

在確定μf或 μs后,假設各個狀態Y(tj)之間相互獨立,可以求得失效概率為:

同理,動態可靠度為:

式(9)中,t∈T,f(yj,t)為Y(t)的聯合概率密度函數。這里,顯然有:

考慮狀態模糊性,通過系列確定性的實驗將極限狀態函數轉化為區間函數[11-15]:

這樣,就將一個模糊響應面由兩個確定的響應面表達,通過一次二階矩方法分別求出對應的驗算點和可靠度指標βL和βU,則:

根據模糊數學的分解定理,利用λ水平截集方法,可以求出可靠度指標β:

3 柔性機構模糊動態可靠性計算實例

將柔性機構系統作為一個動態模糊隨機系統,其模糊性體現在機構的模糊隨機動態響應和動態參數的模糊失效狀態上面,通過多柔體系統動力學分析,求出模糊隨機變量的動態響應,利用響應面重構極限狀態方程。

3.1 柔性機構模型

圖1為空間站柔性展開機構平面模型[3-5]。機構系統由B0—B15共16個構件組成。通過B8和B11兩臺電機驅動螺旋副B7和B12,使得B0和B3之間的距離以及B3和B6之間的距離縮短,完成機構的展開運動,圖1所示為機構完全展開的狀態。機構系統中的大尺寸輕質構件 B 、B 、B 、B 、B 、B 和B15在展開過程中會產生較大的變形,將它們作為等截面均質柔性梁,展開機構中的其它構件視為剛體,展開機構為一個包含7個柔性構件的柔性機構。

圖1 展開機構Fig.1 Expand mechanism

根據多柔體系統動力學原理,利用Lagrange乘子法建立廣義的柔性機構動力學方程為[1]:

根據式(14)進行仿真,以柔性構件B2的角加速度為研究對象,確定性仿真結果如圖2所示,機構動態響應由于耦合的原因非線性程度較高。

圖2 動態響應Fig.2 Dynamical response

確定柔性機構系統的隨機變量為:驅動力矩M d、摩擦力矩M f(單位n?mm)、驅動時間t(單位s)、阻尼系數f以及裝配誤差(為便于計算,以坐標x p和yp表示,單位mm)。表1為隨機變量設計值和方差、100組抽樣數據的均值和方差。

3.2 柔性機構模糊響應面分析

給定模糊集合Ds的隸屬度μs,本文采用最常用的正態分布隸屬度函數,設X(t)為機構在t時刻的動態響應,則μ為:

式中,a(t)為模糊參數,根據專家經驗確定;b(t)為t時刻模糊分布的標準差。

根據表1數據進行最大角加速度的動態仿真,確定構件B2的最大角加速度的設計規定值為aθ2≤4.7 rad/s2。再根據式(11),在上述分析的基礎上可以計算由兩個確定的響應面表達的模糊響應面。確定模糊分布參數b(t)為0.01,通過一次二階矩方法分別求出對應的可靠度指標βL和βU分別為4.689 8和4.710 8,迭代次數為5次。由式(13)計算得到一定模糊水平截集下的可靠度,計算結果為0.936 2。

4 結論

考慮狀態模糊的情況確定柔性機構的動態可靠度更加符合工程實際,模糊響應面方法為可靠性分析提供了一種新方法。

通過柔性機構實例仿真分析,證明該方法具有迭代次數少,計算速度快,精度高的優點,適合于復雜系統的仿真,尤其在隨機變量數量較多的情況下,可以極大縮減計算時間,節約計算成本。

該方法具有很強的拓展性,可以按照本文方法求解其他運動參數的可靠度。

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