基于降維子空間的多重信號分類快速算法

謝 鑫,李國林,程國標

(1.海軍航空工程學院,山東煙臺 264001;2.91960部隊,廣東汕頭 515073)

0 引言

近炸引信技術的發展方向之一在于探測的精細化,擁有空間精確定位能力則是其中的一個具體目標。目前引信普遍采用的傳統天線體制在提高空間定位能力上已經遇到了瓶頸,比較而言,陣列天線在這一方面則具有先天的優勢。然而陣列天線的體積和復雜的數據處理要求一度限制著它在彈載乃至機載平臺的應用。隨著共形天線技術的發展,在導彈無線電引信上應用陣列天線正成為可能,這也加速了引信對于快速有效的目標空間定位算法的需求。

空間定位的核心在于到達角(DOA)估計,多重信號分類(MUSIC)DOA估計算法作為主流的超分辨算法之一,自出現以來就一直受到關注,由于其運算量較大,關于降低其運算量的研究也一直在進行。MUSIC算法的運算量主要集中在特征值分解和空間譜的搜索兩部分,目前已有的研究也主要集中在這兩方面。文獻[1—5]分別利用接收數據近似、陣元降維、多級維納濾波等方法研究了信號子空間或噪聲子空間的的快速估計算法,避開了特征值分解問題或簡化了運算;文獻[6—8]則分別利用FFT、陣元降維和有限域搜索等方法研究了空間譜的快速搜索問題。這些方法不同程度地降低了MUSIC的運算量,但同時多數存在估計精度降低的問題。本文從優化MUSIC搜索過程的角度研究降低MUSIC的運算量的方法,提出了一種基于降維子空間的快速搜索算法。

1 陣列信號模型

考慮一個由N個陣元組成的扇形陣列,扇形張角為φ0,扇形半徑為R,各陣元沿扇形均勻排列,陣元的歸一化方向圖函數均為G(θ),方向圖指向扇形陣列外部如圖1所示。

圖1 基于有向陣元的均勻扇形陣列Fig.1 Uniform arc array Composed of directional elements

假設接收到M個非相關窄帶信號,且N ＞M,設入射波信號和噪聲不相關,則陣列輸出信號矢量為:

為陣列流形矩陣,其中φi為第i個信號的入射方向,a(φi)為對應的方向向量,且有

為M個入射信號矢量。

為噪聲矩陣,其中ni(t)為第i個陣元中的零均值高斯加性白噪聲,方差為σ2。

2 降維子空間搜索算法

基于上一節中描述的陣列模型,可得陣列輸出信號的協方差矩陣。

根據式(8),依θ進行步進搜索,并找到譜峰所對應的θ值即為所需的DOA。

從式(8)可以看出,每次步進搜索中,主要為矩陣乘法運算。A(θ)為N×M維矩陣,E N為N×(N-M)維矩陣,在實際編程計算中,一般是通過AHE N(AHE N)H來計算式(8)的,則每步搜索需進行M×(N-M)×(N+M)次復數乘法運算和M×(N2-M2-N)次復數加法運算。

由于E N張成的噪聲子空間與信號子空間正交,顯然向量eM+1,…,eN都與信號子空間正交。即:

降維子空間搜索就是利用了這一特性,僅從噪聲子空間中取出R的一個特征向量進行譜搜索。其空間譜表達式為A的列向量張成的信號子空間正交。即:

MUSIC算法正是利用這一點來進行DOA估計的,其空間譜表達式為[9]:

此時,在每次步進搜索中僅需要M ×(N+M)次復數乘法運算和M2次復數加法運算。顯然,此時的運算量僅約為標準MUSIC算法的1/(N-M)。由于陣元數量N是要大于入射信號數量M的,且一般情況下(N-M)＞1,在彈載引信陣列天線應用中更是如此。因此,運算量降低至原MUSIC搜索算法的1/(N-M)還是相當可觀的。

下面給出降維子空間MUSIC算法的具體步驟:

1)計算接收數據的協方差矩陣R;2)進行噪聲子空間估計;3)利用式(10)進行空間譜搜索計算;4)利用式(8)對上一步的估計結果進行檢驗和校正。

3 性能分析和仿真

在降低運算量的同時同樣需要關注算法的性能,下面對算法的性能進行分析。令

則有:U 1?U 2(當且僅當M=N-1時等號成立)

即可能存在某角度θ滿足θ∈U且θ?U 。這也就說明利用這種降維子空間進行DOA搜索可能出現偽峰。出現偽峰的原因正是因為噪聲子空間維數的減少使得其正交子空間擴大,從而使得搜索的方向向量落入其正交子空間的概率增大。

利用第2節中的陣列模型,在陣元數為15、快拍數為256、信噪比為10 dB、信號到達角為-20°的情況下,對子空間算法進行仿真計算,其結果如圖2所示。

圖2 降維子空間算法得到的空間譜Fig.2 Spatial spectrum estimation using dimension reduced subspace algorithm

從圖2中可以看出,降維子空間搜索算法能夠準確地確定入射信號的到達角,但正如前面所分析的結果,出現了偽峰,這給DOA估計帶來了不確定性。通過多次仿真還發現,偽峰出現的位置和數量也具有隨機性。在信噪比分別為10 dB和20 d B的情況下,經過200次Monte-Carlo仿真統計實驗,得到出現偽峰個數的統計如表1所示。

表1 出現偽峰個數統計表Statistic of the amount of false peak Tab.1

從表1可以看出,在10d B信噪比的情況下,出現1個偽峰的概率較高,而出現2個以上偽峰的概率是很低的;而且當信噪比提高到20 dB時,出現偽峰的個數和次數都明顯降低。

基于這些統計分析數據,對DOA估計的檢驗和校正就變得簡單了,只需在使用降維子空間算法進行搜索后,對得到的結果再利用式(8)進行檢驗。根據出現的偽峰個數,這種檢驗運算一般不會超過M+2次,一般應用中,這個運算次數相對于步進搜索的運算次數是很小,從而不會增加整體運算量。

從上面的分析中可以看出:雖然采用降維子空間進行DOA估計所帶來的運算量降低是以引入估計結果的不確定性為代價的,但通過利用標準MUSIC算法進行校正,可以很方便地消除這種不確定性,而且進行這種校正后,還可以保證估計結果在精度上沒有任何損失。

4 算法運算量分析

在第3節中已對降維子空間搜索算法和標準MUSIC算法的運算量進行了簡單對比。為了具體地說明問題,下面將對不同陣元數目、不同目標數目的情況下兩種算法搜索過程的運算量進行比較分析。

根據表 1,假設偽峰數為 1個,以每步 0.5°在-90°～+90°空域進行搜索,分別對陣列數為 15和30的情況下,不同目標數目時采用降維子空間算法在DOA搜索過程中運算量減少的百分比進行了分析,結果如圖3和圖4所示。

圖3 陣列數為15時的運算量比較Fig.3 Comparison of computational complexity in the case of 15 elements

圖4 陣列數為30時的運算量比較Fig.4 Comparison of computational complexity in the case of 30 elements

從圖3和圖4可以看出:盡管降維子空間搜索算法需要對初步估計結果進行校正,總的來看該算法所能夠節省的運算量仍然是相當可觀的,而且算法最終的精度沒有任何損失。

5 結論

綜上所述,本文所提出的基于降維子空間搜索算法先利用降維的噪聲子空間進行DOA粗略估計,使得MUSIC搜索的運算量大大減小,然后利用最大噪聲子空間對估計結果進行修正,保證了MUSIC算法的精度不受損失;性能分析和數值仿真驗證了該算法的有效,從而使MUSIC算法更具實用性。

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