學生學習過程中習題課的教學探討

●鄭關忠 (遂昌縣第三中學 浙江麗水 323300)

新課程理念下的數學教學將由“關注學生學習結果”轉向“關注學生活動”，重塑知識的形成過程.課程設計將由“給出知識”轉向“引導活動”，數學新教材倡導學生主動探索、自主學習、合作討論，體現數學再發現的過程.數學教學不再是教師向學生傳授知識的單一過程，而是鼓勵學生觀察、操作、發現，并通過合作交流，讓學生發展自主學習的能力、個性品質的發展，從而激發學生的學習興趣，提高學生學習數學的能力.

如何充分體現學生在數學教學中的主體作用，提高數學課堂教學質量，特別是如何上好數學習題課，是擺在每一位數學教師面前的重要課題.教師除了要認真學習新課標，鉆研教材，把握好每章節的重點、難點，明確教學目的外，還要精心設計教學過程.習題課教學和數學概念、公式、公理、定理、例題的教學及復習課教學構成了初中數學教學的三大支柱.高效的習題課教學在培養學生的思維品質、提高學生分析與解決問題的能力、了解教學效果等方面都有不可替代的作用.

在從強化知識的傳統教育模式向素質教育的現代教育模式轉化的改革中，應該將習題課教學改革作為整個數學教學的一個重要環節對待.

1 選題必須具有典型性、針對性、靈活性，以學生的知識基礎為出發點

習題課的選題要圍繞學生的知識點展開，所選題目主要有2個部分，即教師課堂分析的例題和檢測學生的練習題.其中例題的難度略高于練習題，應優先考慮課本中的例題與習題，并且對其進行適當的變式與拓展(畢竟課本習題都是經過專家多次篩選后的精品);要避免純粹地從中考題或資料中抄來，一味的內容求新、題型求全.

例如，對浙江版八年級上冊勾股定理一節的習題課進行一些探討.首先鞏固基礎，了解學生的知識結構存在“漏洞”.

(1)已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a.若 a=6 cm，b=8 cm，則 c=_______;若 a=3 cm，c=8 cm，則 b= _______;若 b=3，c=4，則 a= _______.

(2)已知：直角三角形的2條邊長分別為2 cm和3 cm，那么第3條邊長為_______;直角三角形的斜邊長為________.

(3)試判斷下列三角形是否為直角三角形.

①3條邊長分別為5，12，13;

②△ABC的3條邊長a，b，c滿足a2-b2=c2;

(4)如果 ΔABC 的3 條邊分別為a，b，c，且滿足a2+b2+c2+502=6a+8b+10c，判斷 ΔABC 的形狀.

這一題組既幫助學生復習鞏固了知識點，填補了學生在知識結構上存在的漏洞，又能使教師準確了解學生對知識點掌握的程度.

2 在解題過程中要以學生為主體，教師是課堂教學中的組織者、引導者和合作者

課堂上，教師應營造出和諧、民主的課堂氛圍.教師出示題目之后，一定要沉得住氣，給學生足夠的時間，發動全體學生審題、思考、嘗試、探索，教師只要適時、適度、適量地給予點撥，而不應該搞個人承包(指教師一講到底或指定某位學生，一問一答，一說一寫，直到結束)，這樣就忽視了學生的主體地位，忽視了大多數學生的參與，教師的主導作用也未能充分發揮.教師就出示的題目發動全體學生討論或分小組討論，自己也可加入其中，直至全體學生形成思維共振、情感共鳴，最后形成共識.

筆者在二次函數的圖像與性質的復習課中，選用了這樣一道題作為例題.

例1 已知二次函數y=x2+4x+3.

(1)畫出函數草圖;

(2)結合函數草圖，寫出盡可能多的結論，并說出一般結論.

筆者讓學生讀題目，畫好草圖，考慮2分后開始交流.學生通過相互交流、討論、補充，得出了以下結論：

(1)開口方向：向上(一般由a的值決定).

(2)對稱軸：x=-2(直線).

(5)與 x 軸的交點坐標：A(-3，0)，B(1，0)(設y=0，解就是交點橫坐標).

(6)與 y軸的交點坐標：C(0，3).

(8)增減性：略.

(9)點C關于對稱軸的對稱點是(-4，3).

(10)△ABP是等腰直角三角形.

(12)圖像可以由y=x2的圖像先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到.

(13)①當-3＜x＜ -1時，y＜0;②當x=-3或x=-1時，y=0;③當x＜ -3或x＞ -1時，y＞0.

(14)圖像繞著頂點旋轉后的解析式是y=(x+2)2-1.

(15)圖像繞著x軸旋轉后的解析式是y=-(x+2)2+1.

所有的學生馬上興趣盎然地投入思考、探索，通過學生間的交流、討論，使學生對二次函數性質、特征有了較深刻的理解，從而達到了在題目中復習性質、在性質中解決問題的效果，擺脫了以往純文字復習性質的常規.

3 講題要注重學生的學習過程，有意識地培養學生的發散思維和求異思維

教師在講題時，過程比結果更重要，過程中有方法、有能力.只有充分展示過程，才能潛移默化地培養能力.因此在習題課教學中必須經常進行“變式與拓展訓練”，對學生進行發散思維與求異思維訓練，激發學生的創新思維.數學變式教學是指通過不同角度、不同側面、不同背景，從多個方面變更所提供的數學對象或數學問題的呈現形式，使事物的非本質特征發生變化而本質特征保持不變的教學形式.在保持本質特征不變的前提下，數學變式教學主要通過變更數學概念的非本質特征、數學問題的條件或結論，轉換數學問題的形式或內容，創設各種實際應用的環境來實現，從而也保證了習題選擇的有效性和針對性.

例2 如圖1，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余2個頂點分別在AB，AC上.問加工成的正方形零件的邊長為多少?

變式1 如圖2，將原題中“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”(如圖2).問當矩形的長和寬分別為多少時，所截得的矩形面積最大，最大面積是多少，余料的利用率是多少?

圖1

圖2

變式2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB 長為1.5 m，面積為1.5 m2.工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙2位同學設計加工方案，甲設計方案如圖3所示，乙設計方案如圖4所示.你認為哪位同學設計的方案較好?試說明理由(加工損耗忽略不計，計算結果可保留分數).

(2006年南京市數學中考試題)

圖3

圖4

變式3 已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=80，BC=60，如圖 5 所示.把邊長分別為 x1，x2，x3，…，xn的 n個正方形依次放入△ABC中，則第1個正方形的邊長x1=_______;第n個正方形的邊長xn= _______(用含n的式子表示，n≥1).

圖5

變式4 如圖6，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

(1)如圖6，四邊形DEFG為Rt△ABC的內接正方形，求正方形的邊長;

(2)如圖7，三角形內有并排的2個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長;

(3)如圖8，三角形內有并排的3個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長;

(4)如圖9，三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長.

圖6

圖7

圖8

圖9

通過變式，促使學生能聯系地、多層次地、多角度地看問題，擴大學生的數學視野，培養學生的創新能力.

例3 求證：順次連結平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.

變式1 求證：順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是菱形.

變式2 求證：順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是矩形.

變式3 求證：順次連結正方形各邊中點所得的四邊形是正方形.

變式4 問題：順次連結什么四邊形中點可以得到平行四邊形?

變式5 問題：順次連結什么四邊形中點可以得到矩形?

變式6 問題：順次連結什么四邊形中點可以得到菱形?

……

通過以上變式訓練，可防止學生形式地、機械地背誦或套用公式和定理，使學生充分掌握四邊形這一章節所有的基礎知識和基本概念，強化溝通常見特殊四邊形的性質定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓展了學生的解題思路、活躍思維、激發興趣.

例4 證明：等腰梯形的判定定理：在同一底上的2個底角相等的梯形是等腰梯形.

筆者在講解此題時，引導學生從以下4個方面進行分析：

(1)平移一腰，轉化為平行四邊形和等腰三角形;

(2)過上底的2個端點作高線，轉化為2個全等的直角三角形和一個矩形;

(3)延長兩腰，轉化為2個等腰三角形.

這幾種證法分別用到了全等三角形的對應邊相等、等角對等邊、平行四邊形的性質、等式的性質等，體現了知識的縱向、橫向的結合.輔助線的添設也各有特色，展示了解決梯形問題的一般規律.這樣對強化學生的解題技能、優化學生的思維品質具有重要的意義.

4 注重習題的過程評價，讓學生通過易誤點進行錯因分析

在課堂教學中，教師要準確發現學生在知識理解、方法運用等方面的成績和不足，要給予必要的肯定和及時矯正，引導學生總結尋找突破口的方法，總結易混、易錯處，歸納同類習題的共性與異性、習題的聯系與區別，達到解題時會一類、通一片的目的.其中“設錯”是數學教學過程中的一個教學設計手段，其目的是通過“設錯來糾錯”進一步理解和掌握知識的難點和重點，不斷激發出強烈的求知欲望，從而達到理想的教學效果.

例5 若一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有1個根為0，則m = ________.

學生在求解時，有相當一部分學生會錯誤地解答成m=±2.當然，習題課教學中允許學生解錯，它可以開拓學生思維，培養能力;可以進行教學反饋，及時彌補教學不足.因此要正確對待學生學習中出現的錯誤，甚至運用一定的方法誘使學生出錯，“擠”出學生頭腦中錯誤的模糊東西，并最終達到正確.在例5中，教師接著可以讓學生試著把x=2代入原方程驗算，學生很快會發現x=2不符合題意，應舍去.他們的好奇心馬上就被調動起來了，主動去尋找剛才解答過程中可能存在錯誤的地方.教師要主動把自己的教學情感融入到學生的心理中，要站在學生的角度與學生同歡、同樂、同奇、同疑.對學生的“糾錯”，要肯定其創新精神，即使回答錯誤，教師也要因勢利導、隨機應變，把學生的錯誤資源當做反面教材，認真分析、尋找原因;或者把問題切換成低一層次稍容易的相關問題作啟迪，指出思考方向，使整個課堂教學始終處于和諧、協調、高效的態勢.

在習題課教學中，教師應要求學生對知識和習題進行整理，對規律進行小結與反思，對思想方法進行提煉，形成觀點;同時把自己出錯的原因寫出來，及時糾正一些學生不認真復習基礎知識而引起出錯，起到查漏補缺的作用.這對學生學習水平的提高有很大的促進作用.當然，數學習題教學所涉及的問題遠不止這些，譬如教師的語言表達，語調、形體語言，、板書的規范化，講練脫節等都是值得研討的問題.總之，教師應針對學生的實際情況和認知水平，精心選編習題，要善于調動學生的積極性，給學生更多的思考時間和空間，讓學生真正成為學習的主人.

［1］ 中華人民共和國教育部制訂.數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.

［2］ 陳開金.初中數學習題課教學初探［J］.中國在線：聚焦新課程，2009(8)：38.

［3］ 王群能.解題錯誤是一種教學資源［J］.教育實踐與研究.中學版，2009(12)：48-50.