構造一次函數解證不等式問題

●華騰飛 (黃灣中學 安徽靈璧 234213)

構造一次函數解證不等式是一種強有力的工具.下面舉例說明之，希望對大家能夠有所啟迪.

1 求參數范圍

例1 已知函數y=(x-1)log23a-6log3ax+x+1，其中當 x∈［0，1］時，函數恒為正，求 a的取值范圍.

分析選x為主元，構造一次函數

一次函數恒為正的充要條件為

分析依題意得a=b=1-c，于是

評注上述2個例子若不變換主元，則需進行分類討論，運算過程非常冗長，不利于構造參數不等式求范圍.

2 解不等式

例3 設不等式x2+px+1＞3x+p對一切滿足|log2p|＜2的值均成立，解此不等式.

分析轉換視角，將不等式中的p視為主元，則原不等式可變形為

問題轉化為關于p的一次函數為正數時系數的討論.顯然x≠1，因此 f(p)是 p的單調函數，使得f(p) ＞0( p ∈ (1

，4 ) )成立的充要條件為4

3 證明不等式

例4 設d為正數a，b，c，d中的最大數，求證：

證明構造一次函數

從而無論一次函數f(x)是增函數還是減函數，當x∈(-1，1)時，恒有 f(0) ＞0，即

于是問題獲證.

證明原不等式等價于

由三角形兩邊之和大于第三邊及a+b+c=1，可知

構造一次函數

例9 已知 a，b，c是△ABC的3條邊長，若△ABC的周長為2，求證：a2+b2+c2+2abc＜2.

證明由已知條件a+b+c=2易知，原不等式等價于

又由三角形兩邊之和大于第三邊及a+b+c=2，

可知

為此可構造一次函數

于是對0＜x＜1，都有f(x)＜0，即

例10 試證：如果對于所有的x∈［-1，1］，不等式|ax2+bx+c|≤1成立，那么對這些x的值，不等式|cx2-bx+a|≤2也成立.

證明由絕對值不等式，得

令g(x)=-bx+a+c，則只需證明g(x)≤1，對于x∈［-1，1］成立.由 g(x)在［-1，1］上的圖像可知

又由已知當x=0時，|c|≤1，得例11 已知a，b，c是實數，函數

當 -1≤x≤1 時，|f(x)|≤1，求證：當 x∈［-1，1］時，|g(x)|≤2成立.

所以對于函數 g(x)=ax+b，x∈［-1，1］，有

例12 正數 a，b，c，A，B，C 滿足條件 a+A=b+B=c+C=k，證明：aB+bC+cA ＜ k2.

(1)先證左邊的不等式，可構造一次函數

(2)再證右邊的不等式，可構造一次函數

由以上數例可以看出一個共同特點：對于難度較大的不等式問題，通過將已知條件經過適當的邏輯組合構造出一次函數，利用一次函數的性質可使問題簡捷獲解.當然，前提條件是必須進行巧妙地變形，同時還需要靈活地構造一次函數，利用其在有界區間上的函數值的有界性進行判斷和證明.因為函數與方程、不等式關系非常密切，巧妙構造輔助函數解題在不等式中具有獨特的作用.