避免和優化分類討論的幾種技巧

●華騰飛 (黃灣中學 安徽靈璧 234213)

分類討論是一種重要的數學思想方法，也是一種重要的解題策略.可是由于分類討論過程一般較為冗長，敘述繁瑣，并且還容易出現錯誤.因而在歷年的各地高考試題中，它不僅經常出現在基礎性很強的選擇題、填空題中，而且更多的是滲透在綜合性的解答題中，是高考中難度比較大的一類考題.下面結合實例談談避免和優化分類討論的幾種技巧，這不僅可以使解題過程大為簡化，而且還可以提高解題速度和解答的正確率.

1 巧用性質

例1 設定義在［-4，4］上的偶函數f(x)在區間［0，4］上單調遞增，若 f(2-a)＜f(a)，求實數 a的取值范圍.

分析由f(x)的定義域為［-4，4］，得a，2-a∈［-4，4］.但 2-a，a 在［-4，0］，［0，4］的哪一個區間內需要進行討論.如果巧用“若f(x)是偶函數，則f(-x)=f(x)=f(|x|)”這一性質，那么可避免大規模的討論，從而簡化求解過程.

解由f(x)是偶函數，得

由 f(a-2)＜f(a)，得

又當 x∈［0，4］時，f(x)遞增，因此

例2 已知方程x2+x+k=0的2個根為α，β，且|α -β|=3，求實數 k.

分析實系數一元二次方程的2個根可能均為實根，也可能為一對共軛虛根，無論哪種情形，總有|α -β|2=|(α -β)2|.利用這一性質可以避開討論，從而使運算過程大大簡化.

解據題意，由一元二次方程根與系數的關系知

由已知|α -β|=3，得

分析若分a＞0，a＜0，再結合對稱軸與給定的區間3種位置關系，則要分6種情形進行討論，非常繁瑣.如果注意到“二次函數在閉區間上的最值只能在區間的端點或拋物線頂點處取得”，那么可以使討論過程大大優化.

2 活用法則

例4 設{an}是由正數組成的等比數列，Sn是其前n項和，求證：

若用a1及公比q表示Sn，則必須分q=1和q≠1進行討論.若緊緊抓住等比數列前n項和的隱含定義Sn+1=a1+qSn，則可避免討論，優化解題過程.

簡證 因為

故原命題得證.

例5 設 0＜x＜1，a＞0且 a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

分析比較大小的常用方法是作差比較或作商比較.本題若直接采用作差比較，則需要考慮底數a＞1，0＜a＜1這2種情況進行，很繁瑣;若用作商比較再結合換底公式，則可避開討論.下面的解法則更令人拍手叫絕.

又由 a＞0，a≠1，得 loga(1-x)與 loga(1-x2)同號.因為

3 整體換元

據條件(1)知，t為實數，且1 ＜t≤6，則

綜上所述，z=1 ±3i，或 z=3 ±i.

4 整體變形

這不僅要對m=0和m≠0進行分類討論，而且還要求出tanα的2個值，十分復雜.若將待證式進行整體變形，則大大簡化解題過程.

5 巧設方程

例8 直線l過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點，并且與拋物線相交于點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：4x1x2=p2.

分析若直接設直線l的點斜式方程，則必須單獨討論直線l與x軸垂直的情況.若巧設直線l的方程為x=my+n，則可避免討論，直達彼岸.

分析由題設條件不能確定焦點在哪條軸上，因此可避免討論，設橢圓方程為Ax2+By2=1(A＞0，B ＞0).

設點 P，Q 的坐標分別為 P(x1，x1+1)，Q(x2，x2+1)，則

將式(1)，式(2)代入式(3)，得

將式(1)，式(2)代入式(5)，得

5A2+5B2+26AB-16A-16B=0. (6)將式(4)代入式(6)，解得

評注橢圓方程Ax2+By2=1同時表示了焦點在x軸、y軸上的2種形式，用待定系數法求方程時較為簡便.另外，當雙曲線的焦點所在的軸不易確定時，其標準方程也可用Ax2+By2=1來表示.若設直線方程，則不應設為y=k(x+x0)，而應設為ky=x+x0，因為這樣可以避免討論k存在和不存在這2種情況.

例10 求中心在原點，對稱軸是坐標軸，一條漸近線是3x+2y=0，且經過點P(8，6)的雙曲線方程.

分析由于題設未明確給出焦點的位置，若設2個雙曲線方程(實軸在x軸或y軸上)，利用待定系數求解過繁;若先由點P及漸近線的位置確定焦點位置，則可簡化解題過程，但不如直接利用共軛雙曲線系方程求解更優.

故所求的橢圓方程為

6 分離參數

例11 已知不等式cos2θ+2msinθ-2m-2＜0對任意實數θ恒成立，求實數m的取值范圍.

則由|sinθ|≤1知，應對m分3種情況進行討論，相當繁瑣.若采用分離參數的方法，把已知不等式等價轉化，則可簡單、快速地獲解.

解原不等式等價于

7 消去參數

例12 設 0＜x＜1，a＞0且 a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

分析若按常規方法考慮去絕對值符號，則應分a＞1與0＜a＜1這2種情況進行討論，很繁瑣;若注意到2個對數同底，用作商比較法，則可用換底公式消去參數a，避開討論.

8 數形結合

例13 設 a，b是2個實數，A={(x，y)|x=n，y=na+b，n 是整數}，B={(x，y)|x=m，y=3m2+15，m 是整數}，C={(x，y)|x2+y2≤144}，是直角平面xOy內的點集合，是否存在 a和 b使得：(1)A∩B≠φ;(2)(a，b)∈C 同時成立?

分析由條件(1)可取na+b=3n2+15，即

把該式看成關于未知數a，b的二元一次方程，它在直角坐標平面aOb內表示一條直線，于是由

構成的關系式組是否有實數解，取決于直線xa+b-(3x2+15)=0與圓x2+y2=144的位置關系.

解如圖1所示，動點(a，b)在直線l上，直線l：nx+y-(3x2+15)=0與圓 x2+y2=144應有公共點，但原點到直線l的距離

且因為n是整數，上式等號不成立.故同時滿足條件(1)，(2)的 a，b不存在.

圖1

9 正難則反

例14 已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的圖像與x軸有2個交點，其中至少有一個在x軸的負半軸上，求實數m的取值范圍.

分析根據題意，直接用分類討論求解，有3種可能的情形，而原問題的反面只有1種情形“2個交點都不在x軸的負半軸上”，若抓住反面求解，則會非常簡捷.

解設2個交點 A(x1，0)，B(x2，0)都不在 x軸的負半軸上，則

10 反客為主

例15 設k為實數，試求出關于x的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0的實根范圍.

解把原方程整理為k的二次方程k2+2(1-x2)k+(x4-3)=0且k為實數，得

評注若把x看作主元，令x2=t進行換元，再對k進行分類討論，則很難獲解.

11 補集分析

例16 如果二次函數y=mx2+(m-3)x+1的圖像與x軸的交點至少有一個在原點的右側，求m的取值范圍.

解先考慮二次函數圖像與x軸的2個交點都在原點的左側的情況，即一元二次方程mx2+(m-3)x+1=0有2個負根，可得

故當m≥9時，2個交點在原點的左側.

上述解集的補集為m＜9，但Δ≥0與m≠0是必須同時滿足的條件，故二次函數的圖像與x軸的交點至少有一個在原點右側的條件為：m≤1且m≠0.

評注上述方法是從反面進行思考，而前提條件是Δ≥0及m≠0，在采用這種方法時極易被忽視，希望能夠引起大家足夠的重視.

12 巧用對稱

故f(x)為偶函數.

當 x＞0時，2x＞1，即1-2x＜0，故有f(x) ＜0;據偶函數的性質知，當x＜0時，亦有f(x)＜0;故當 x≠0時，恒有 f(x)＜0，即

評注利用偶函數的對稱性和奇函數的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論.

總之，對于一個具體的問題，是否需要討論，以什么作為標準去討論，要根據題目所給條件及要求去確定.若能采用等價轉換、整體構造、換元等有效措施，結合定義、性質和直觀圖形，優化和避免分類討論，則將會使人們的思維進入一個嶄新的境界.