一道IMO試題的證明與推廣

● (潛山中學 安徽潛山 246300)

第49屆IMO比賽于2008年7月中旬在西班牙首都馬德里舉行，其中第1天的第二大題中的第(1)小題是一道不等式證明題，現摘錄如下：

分析這是一道形式簡潔、結構優美、令人無限遐想的代數不等式證明題，引起了筆者極大的興趣與思考，并對該題作了深入探究得到問題推廣的一般性結論．

1 問題的證明

證明設x-1=a,y-1=b,z-1=c(abc≠0),則

x=a+1,y=b+1,z=c+1.

由題意得

xyz=(a+1)(b+1)(c+1)=1,

于是

abc+ab+bc+ac+a+b+c=0.

(1)

式(1)兩邊同除以abc,并整理得

在式(2)兩邊平方并整理得

因此

即

2 問題的推廣

推廣1設實數x,y,z都不等于1,滿足xyz=1,λ,μ∈R，則

證明設x-1=a,y-1=b,z-1=c,則abc≠0，從而x=a+1,y=b+1,z=c+1,仿前可得式(1)，(2)，(3).于是

即

推廣2設實數a,b,c互不相等且abc≠0,λ,μ∈R，則

若在不等式(5)中，令λ=2,μ=-1便可得2004年泰國的一道奧林匹克競賽題：

(6)

在式(6)中,根據需要可取λ,μ,n為恰當的值,便能由此得到一系列的不等式.

推廣4設實數x,y,z都不等于k,且xyz=k3(k≠0)，則

證明設x-k=a，y-k=b,z-k=c(abc≠0),則

xyz=(a+k)(b+k)(c+k)=abc+k(ab+bc+ac)+k2(a+b+c)+k3=k3，

因此

abc+k(ab+bc+ac)+k2(a+b+c)=0.

于是

則

從而

故