從空間和兩異面直線成等角的直線條數(shù)談起

● (東沙中學(xué) 浙江岱山 316211)

1 問題的提出

題目已知二面角α-l-β的大小為50°，P為空間任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與平面α和β所成的角都是25°的直線條數(shù)為

( )

A．2 B．3 C．4 D．5

(2009年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

這是一道求解與兩平面成等角的直線條數(shù)的試題，考查了平移變換、轉(zhuǎn)化化歸和空間想象能力.不過，類似的試題早已出現(xiàn)過，例如2004年湖北省數(shù)學(xué)高考試題：

已知平面α與平面β所成的二面角為80°，P為α，β外一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與平面α和平面β所成的角都是30°的直線的條數(shù)為

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

與此類似的題目還有1993年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題：

已知空間2條異面直線a，b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，過空間一點(diǎn)P與a,b所成的角都為30°的直線有且僅有( )條

A．1 B．2 C．3 D．4

這2道題目有聯(lián)系嗎？為此，筆者以1993年全國(guó)高考題為素材作了一些探究，獲得一些結(jié)論.

2 與兩異面直線成等角的直線條數(shù)問題

先看1993年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題的解法：

過空間點(diǎn)P作直線a′∥a，b′∥b，設(shè)過a′,b′的平面為α，則在α內(nèi)不存在過點(diǎn)P與a′,b′成50°角的直線.若所求直線存在，則必在α外，其射線必為a′,b′所成角的角平分線.

(1)對(duì)于a′,b′成50°角，記過這個(gè)角的平分線且與α垂直的平面為β.在平面β內(nèi)，旋轉(zhuǎn)直線PC繞點(diǎn)P向α的垂線的位置運(yùn)動(dòng)，該直線與a′,b′所成的等角從25°逐漸增加到90°(如圖1)，期間必有一位置等于30°，這樣的直線在β內(nèi)有2條，它們關(guān)于平面α對(duì)稱.

(2)對(duì)于a′,b′成130°角，直線PC與a′,b′成等角從65°增加到90°，期間不能與a′,b′成30°的角.

綜上所述，這樣的直線有且僅有2條.

圖1

圖2

在解決這個(gè)問題時(shí)，用到了2個(gè)常見的結(jié)論：

結(jié)論1從一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜射線，使斜射線和這個(gè)角2邊的夾角相等，則斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線.

結(jié)論2直線AB與平面α所成角為θ1，AB在平面α內(nèi)的射線AB′與平面α的直線AC所成角為θ2，設(shè)∠BAC=θ3，則cosθ3=cosθ1cosθ2.

顯然，不難把上題結(jié)論推廣至一般，即

問題1空間2條異面直線a,b所成的角為θ，過空間一點(diǎn)P與a,b所成的角都為φ的直線l有幾條？

有了這2個(gè)結(jié)論作基礎(chǔ)就不難想到，由異面直線所成角的定義，可把異面直線a，b平移到過點(diǎn)P變成a′,b′,設(shè)a′,b′確定平面β，則過點(diǎn)P的直線與a′,b′成等角.由結(jié)論1，可知l在平面上的射影必落在a′,b′所成角或其補(bǔ)角的平分線上.又由結(jié)論2可知，l與a′,b′所成角大于等于l的射影與a′,b′所成角.故有結(jié)論：

當(dāng)a，b所成角θ為銳角時(shí)，

當(dāng)空間2條異面直線a，b垂直時(shí)，同樣可得上述結(jié)論.至此，我們通過用純幾何的方法解決了到2條異面直線成等角的直線條數(shù)問題.

變式1和兩平面成等角的平面?zhèn)€數(shù).

問題2已知二面角α-l-β的大小為θ，過α,β外一定點(diǎn)的平面γ與平面α和平面β所成角都是φ的個(gè)數(shù)為幾個(gè)？

分析顯然此問題與問題1等價(jià)，即把3個(gè)平面的法向量看作3條直線的方向向量，故結(jié)論與上題一致.

變式2和兩平面成等角的直線條數(shù).

問題3已知二面角α-l-β的大小為θ，過α,β外一點(diǎn)的P，與平面α和平面β所成的角都是φ的直線l有幾條？

變式3和兩異面直線成等角的平面?zhèn)€數(shù)問題.

問題4設(shè)空間2條異面直線a，b所成的為θ，問過空間一點(diǎn)P與所成的角都為φ的平面有幾個(gè)？

至此，通過對(duì)“到兩異面直線成等角的直線條數(shù)”問題的探究，解決了與此問題相近的一類問題.華羅庚先生曾說過，解題要善于“退”，退到簡(jiǎn)單情形，同時(shí)，“我們解決的一個(gè)問題，都將成為一個(gè)范例，用于其他問題”.在實(shí)施新課改的今天，更要利用典型例題，運(yùn)用變式教學(xué)，通過比較、求同、類比、遷移、歸納、轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷如何從一個(gè)問題變?yōu)橐活悊栴}，在數(shù)學(xué)本質(zhì)上做文章.