巧用圓的性質(zhì)解題

● (大冶市第一中學(xué) 湖北大冶 435100)

圓的性質(zhì)1直徑所對(duì)的圓周角是直角.

如圖1所示，AB是圓的直徑，P是圓周上一點(diǎn)，則∠APB=90°．

若P1是圓外部一點(diǎn)，則∠AP1B<90°，即∠AP1B是銳角；若P2是圓內(nèi)部一點(diǎn)，則∠AP2B>90°，即∠AP2B是鈍角．

利用圓的該性質(zhì)可以進(jìn)一步得到以下結(jié)論1．

圖1

圖2

圖3

圖4

結(jié)論1以橢圓中心為圓心，以|F1F2|為直徑作圓O,則圓O與橢圓的位置關(guān)系如圖2～4所示．

將橢圓方程和圓O的方程聯(lián)立,即

解得

(1)當(dāng)b>c時(shí)，b2>c2，則y2>b2．由圖2可知，y2>b2不成立，即方程組無解．此時(shí)橢圓包含圓O，橢圓與圓O沒有公共點(diǎn)，橢圓上的任意一點(diǎn)P(長(zhǎng)軸的2個(gè)端點(diǎn)除外)與F1F2連線的夾角都是銳角．

(2)當(dāng)b=c時(shí)，b2=c2，則y2=b2．由圖3可知，橢圓與圓O有2個(gè)公共點(diǎn)，即短軸的2個(gè)端點(diǎn)．設(shè)公共點(diǎn)為P，則此時(shí)點(diǎn)P與F1,F2連線的夾角是直角,橢圓上的其余各點(diǎn)(長(zhǎng)軸的2個(gè)端點(diǎn)除外)與F1,F2連線的夾角都是銳角．

(3)當(dāng)b

圓的性質(zhì)2 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．

本文利用圓的這些性質(zhì)巧妙解題，舉例加以應(yīng)用，供參考.

圖5

解以橢圓中心為圓心，以|F1F2|為直徑作圓O,則圓O的方程為：x2+y2=c2．由上面的結(jié)論可知，要使∠F1PF2為鈍角，一定有圓O和橢圓相交，即b2

解以橢圓的中心為圓心，以|F1F2|為直徑作圓，記作圓O,則圓O的方程為：x2+y2=c2．聯(lián)立方程組

解得

因?yàn)閳AO和橢圓有公共點(diǎn),得

即b2≤c2，從而

a2-c2≤c2，

所以

故

以上解法是先構(gòu)造一個(gè)圓O，把∠F1PF2放到圓O中去考慮，有效地將圓的知識(shí)與解析幾何聯(lián)系起來；再利用圓O和橢圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步求出答案．

圖6

圖7

解如圖6所示，以A′A為邊作等邊△A′QA，再作△A′QA的外接圓．由已知條件，橢圓上存在一點(diǎn)P，使得∠A′PA=120°,則根據(jù)圓的性質(zhì)，知點(diǎn)P,A′,Q,A共圓，即點(diǎn)A是橢圓與△A′QA的外接圓的交點(diǎn).將橢圓方程和△A′QA的外接圓的方程聯(lián)立,得

即

解得

如圖6可知，交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)必須滿足

即

(3c2-2a2)(3c2+6a2)≥0，

得

3c2-2a2≥0,

所以

解得

例4F1,F2是橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2=120°，求橢圓離心率的取值范圍．

解如圖7，以F1F2為邊作等邊△F1QF2，再作△F1QF2的外接圓．由已知條件，橢圓上存在一點(diǎn)P，使得∠F1PF2=120°,根據(jù)圓的性質(zhì)，知點(diǎn)P,F1,Q,F2共圓，即點(diǎn)P是橢圓與△F1QF2的外接圓的交點(diǎn).將橢圓方程和△F1QF2的外接圓的方程聯(lián)立,得

即

解得

如圖7可知，交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)要滿足

化簡(jiǎn)得

解得

評(píng)注從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，在橢圓上存在4個(gè)(或3個(gè))不同的點(diǎn)，使得∠F1PF2=120°．這樣就可以得到一個(gè)新的問題：

例5F1,F2是橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在4個(gè)這樣的點(diǎn)P，使得∠F1PF2=120°，求橢圓離心率的取值范圍．

例6F1,F2是橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在3個(gè)這樣的點(diǎn)P，使得∠F1PF2=120°，求橢圓的離心率．

以上問題有一個(gè)相同的條件：已知角是120°．因此可以利用圓的性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正三角形，再作出三角形的外接圓，然后進(jìn)一步確定點(diǎn)是三角形外接圓和橢圓的公共點(diǎn)；最后通過外接圓和橢圓的位置關(guān)系解出答案．