例談求解不等式中的放縮技巧

●江厚利 (杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

不等式問題是競賽中的熱點問題，用放縮法解不等式問題對考生來說也是一個難點，難就難在放縮時需要綜合運用一些技巧.譬如，添項舍項、換元轉化、以直代曲、借助重要不等式等.同時，還要把握好放縮的方向與度，即要放縮得恰到好處.本文結合實例，談談不等式證明中的放縮技巧.

1 利用函數的單調性放縮

2 利用重要不等式放縮

上式等號成立的充要條件是

3 利用添項、舍項放縮

例3 已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n，n∈N+，證明：對任意整數 m ＞4，有

分析利用已知條件中的an與Sn的關系，易求得

由于待證不等式的左邊比較復雜，因此先要設法將左邊的項放縮，使之能夠求和.

(1)當m＞4且m為偶數時，

(2)當m＞4且m為奇數時，

綜合(1)，(2)可知，結論成立.

評注當-1和1在待證和式的項中交錯出現時，僅考慮通項放縮往往不能奏效.若本題將通項中的-1和1舍去，則雖然可以化為等比數列求和，但由于通項有的放大，有的縮小，仍不能確定和式是放大還是縮小.此時，可以把奇偶相鄰項捆綁求和后再放縮.注意在添項、舍項放縮時，不能放縮過頭.

4 利用曲線的切線放縮

例4 設實數a，b，c滿足a+b+c=3，求證：

當且僅當a=b=c=1時，等號成立.

評注本題蘊含了一個非常樸素且重要的數學思想方法——以“直”代“曲”：將函數的曲線圖像轉化為相應的切線，以簡化表達式.這也是一種放縮!對于當且僅當各變元相等時不等式取得等號的一類不等式，是一種常用且有效的證明方法.

5 利用積分思想放縮

(2009年全國高中數學聯賽加試試題)

故f(x)在［0，1］上單調遞增，在［1，+∞)上單調遞減.結合函數圖像可得，對任意k∈N+，有

評注分割及“曲直”替換是積分的基本思想方法.本題求解的關鍵是逆用積分的思想，通過直線轉化為曲線，將不等式轉化為某個函數的上和或下和，并結合積分中的上和不小于積分值、下和不大于積分值的原理即可以達到證題目標.