用隱式的偽譜時域方法分析寬帶天線

鄭宏興，彭 沖

（天津工程師范學院 天線與微波技術研究所，天津 300222）

用隱式的偽譜時域方法分析寬帶天線

鄭宏興，彭 沖

（天津工程師范學院 天線與微波技術研究所，天津 300222）

為了對復雜結構的天線進行有效分析，采用了變換方向隱式（ADI）的偽譜時域（PSTD）方法，通過分析時間分裂步原理，將三維麥克斯韋方程組降階為三組一維表達式，用于ADI-PSTD的計算。在保證精度的前提下，該方法計算效率顯著提高。文章還給出了一種向外開口的U形雙臂印刷天線結構，仿真和實驗表明了這種天線具有良好的寬頻帶特性。

變換方向隱式方法；偽譜時域方法；寬頻帶天線

隨著無線通信的蓬勃發展，需要便攜式終端產品體積小、成本低和多頻帶傳輸，因此，微型化和寬頻帶成為硬件系統設計所考慮的重點問題。在這些產品中，天線的使用非常廣泛，它主要提供信號的發射和接收。偶極子天線是一種最基本的天線形式，具有結構簡單和全向輻射特性，但是它的頻帶非常窄，應用受到限制[1]。目前，已經發展了許多展寬偶極子頻帶的技術，形成了如錐天線[2]、雙偶極子天線等結構形式[3]，阻抗帶寬得到改善，但是仍然不能滿足寬帶系統的要求。寬帶天線作為脈沖信號的發射和接收裝置，要求輔助分析軟件具有時域分析能力。為了進行有效分析，通常采用時域有限差分（FDTD）方法[4]，該方法的優點是通過一次時域計算即可得到天線參量的寬頻帶信息。然而，在運用時間步進算法求解麥克斯韋方程時，計算量成了限制該方法應用的瓶頸。Namiki提出變換方向隱式（ADI）的FDTD方法[5]能夠克服Courant-Friedrich-Levy條件對時間步長的限制[6]。但是隨著時間步長的增大，ADI-FDTD方法的數值色散也會增大。因此，數值色散成為影響時間步長選取的主要約束。Liu等人提出一種空域傅立葉變換的時域方法（PSTD），從而使一個網格尺寸可以達到半個波長[7]，該方法對計算大尺寸目標非常有效。但是對于大目標上的細微結構，該方法需要考慮網格的不均勻帶來的計算困難。

本文把ADI與PSTD方法相結合，首先把三維麥克斯韋方程寫成一個矢量微分方程，根據Namiki的分裂步原理，把求解麥克斯韋方程分解成兩個獨立的子問題，在實現Liu的PSTD方法時，三維方程進一步簡化為兩組一維方程，使求解過程簡單而有效，從而應用于具體工程問題。在研究文獻[8]的基礎上，把方形平面單極子天線進行改進，提出了一種印刷雙臂結構。采用ADI-PSTD方法優化臂的尺寸和形狀，使天線滿足寬頻帶的要求。通過數值仿真和實驗測量，對天線的電壓駐波比、方向圖進行了分析。結果表明，該天線不僅有良好的回波損耗特性，還具有高增益、小尺寸和超寬帶等優點，可滿足多種應用環境對天線的要求。

1 ADI-PSTD算法的基本原理

為了便于計算和分析，把三維麥克斯韋方程寫成一個矢量微分方程，得到：

式中“A和B是系數矩陣；V是電磁場矢量。應用標準的Crank-Nicolson差分近似[9]，式（1）表示為：

這里省略了高階分量。進一步，可以化簡為：

1.1 交替方向隱式法

方程（3）表明，麥克斯韋方程組（1）可以分成2步求解。按照Lee和Fornberg方法[10]，有

這里u是矢量V的各個分量。因此

觀察對空間變量的差分部分，發現，式（6）完全等效于ADI-FDTD原理[5]，并且它維持了ADI-FDTD方法中的一個重要特性，就是式（3）所具有的二階精度。

1.2 分裂步原理

方程（4）還可以分解成兩步，即

這是所謂的一階分裂步方法[11]，其優點是方程（1）可以分解成兩個獨立的子問題：

觀察式（7），發現，只有當AB=BA時，一階分裂時間步原理求解每半個時間步的子問題，可以達到二階精度。

由于麥克斯韋方程的對稱性，從式（7）可以發現，在一個時間步內多次重復，可以達到高階精度。如在一個時間增量Δt內，分解為（Δt/4，Δt/2，Δt/4），即所謂的二階分裂時間步方法。此時，式（7）可以進一步寫成三對無耦合的方程組，即

這里的磁場H用真空中的波阻抗歸一化了，v是波在媒質中的傳播速度。

方程組（8）表明，采用高階分裂步原理后，在每一步計算中，可以將三維電磁場問題簡化為求解三組一維問題[11]。

1.3 無條件穩定的偽譜時域方法

在每一個時間步的計算中，由于分裂步方法將三維方程（1）分解成三對一維方程，這里的PSTD方法只需要考慮一個方向的空間導數。例如只考慮z方向，同樣的算法可以用于另外兩個方向，從而達到求解一個實際三維問題的目的。因此，把交替方向隱式法應用于一個一維方程的半個時間步，得到的PSTD表達式為：

這里D和I為N×N階矩陣，N是z方向的采樣數，I是單位陣。D由采樣點的分布決定，這里采用Chebyshev的PSTD算法。對于交替方向隱式方法，盡管每一計算步包含兩個算子A和B，但是，只有一個矩陣算子在當前時間步起作用，而另一個算子在前一個時間步計算。例如，前半個時間步，ADI原理的求解式子為：

顯然，先計算Bun，再計算式（8）中其余的一維方程。

2 寬帶天線單元設計

由文獻[8]的仿真發現，平面偶極子的輻射電流主要集中在輻射體邊沿，在饋電間隙處電流分布最強，而中間部分的電流密度分布比較弱。如果將中間部分去掉，僅保留三個邊緣，偶極子的一個臂類似于向外開口的U形。為了進一步展寬頻帶，將U形過渡到向外開口的彎月形狀，是在一個較大的圓形輻射體上挖掉一個小圓而得到的。

天線的輻射單元是兩個彎月形臂，它的一個臂如圖1所示，完全對稱的單元印刷在介質板上，通過平行雙線饋電。

圖1中的結構參數如表1所示，這些參數用ADI-PSTD方法多次計算，選擇適合本次設計的最優結果。為了與50 Ω同軸線聯接，由巴侖、微帶線和平行雙線構成寬帶阻抗變換結構。由于本文篇幅所限，寬帶微帶線饋電單元和集總參數巴侖的設計將在另一篇文章中討論。

實際加工制作的天線選用TACONIC RF-30，相對介電常數為3.0，厚度為0.76 mm的基板。

表1 輻射單元的結構參數 （mm）

3 數值結果

下面將ADI-PSTD方法和理想匹配層吸收邊界[12]用于圖1所示天線的有關參數計算。為了考察本方法的計算效果，同時用ADI-FDTD方法對上述對象進行計算。ADI-PSTD計算時，空間離散間隔的最小網格尺寸取ADI-FDTD網格的2倍，且網格采用均勻剖分。微分高斯脈沖激勵，中心頻率為7.2 GHz。

實驗采用同一種匹配電路，用AV3618矢量網絡分析儀對天線進行了測量，在3.1 GHz到10.6 GHz的范圍內，圖2給出天線的電壓駐波比（VSWR）小于2.0。從圖中可以看出，仿真和實測結果一致，且測量值比計算結果有更寬的頻帶范圍。

圖3分別給出了用ADI-PSTD計算和在微波暗室內測量的天線方向圖。圖中顯示在頻率為3.56 GHz、6.21 GHz、9.10 GHz時，天線的輻射具有較好全向特性。限于篇幅，其他頻點的方向圖沒有一一給出。

這里需要強調的是，如果達到同樣的計算效果，采用傳統的ADI-FDTD計算，時間步長Δt=1.7 ps。而采用ADI-PSTD計算，由于計算網格的密度減少1/8，使總計算時間減少了68%，內存減少了71%。

4 結論

ADI-PSTD方法可以模擬較為復雜的電磁結構，相對于其它數值方法，有著明顯的優越性。本文從時間分裂步原理出發，將三維麥克斯韋方程分解成三對一維方程，給出了隱式的偽譜時域迭代公式，并使用Fortran語言編程。本研究還設計了一種新型寬頻帶印刷天線，該天線以對稱的兩個向外開口的U形臂作為天線的諧振單元，采用集總參數巴侖和微帶線饋電，同時采用多級阻抗變換使天線獲得寬頻帶特性。用ADI-PSTD方法仿真和實驗結果一致，所給出不同頻點的方向圖說明天線有較穩定的全向輻射特性。

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［3］ YANG H Y，ALEXOPOULOUS N G.Generation of nearly hemispherical and high gain azimuthally symmetric patterns with printed circuit antennas[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1987，35（8）：972–977.

［4］ 葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分方法[M].西安：西安電子科技大學出版社，2002.

［5］ NAMIKI T.A new FDTD algorithm based on alternating direction implicit method［J］.IEEE Transaction on Microwave Theoryand Techniques，1999，47（10）：2003－2007.

［6］ TAFLOVE A，HAGNESS S C.Computational Electrodynamics [M].Norwood，MA：Artech House，2000.

［7］ LIU Q H.The PSTD algorithm：A time-domain method requiring only two cells per wavelength[J].Microwave and Optical TechnologyLetters，1997，15（3）：158–165.

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Investigation of wide band antenna using alternating-direction-implicit pseudospectral time-domain method

ZHENG Hong-xing，PENG Chong
（Institute of Antenna and Microwave Techniques，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In order to investigate antenna with complex structure efficiently,the combination of alternating-direction-implicit(ADI)and pseudospectral time-domain(PSTD)method is used.By analyzing the time-step splitting principle,the ADI-PSTD method is therefore simplified.On the basis of conservation of accuracy,the computational efficiency is increased evidently for proposed method.In addition,a double-arm printing antenna is developed with structure of the U-type opening outward.The antenna is investigated by experiment and simulation.Results show that the antenna is with very good performance in the wide-band.

alternating-direction-implicit method；pseudospectral time-domain method；wide-band antenna

book=1,ebook=25

TN822.8；O451

A

1673－1018（2010）01－0001－04

2010-02-09

國家自然科學基金資助項目（60871026）；天津工程師范學院青年教師基金資助項目（05010）.

鄭宏興（1962—），男，教授，博士，碩士生導師，研究方向為電磁場與微波技術.