二階Mur吸收邊界條件下雷達(dá)散射截面的誤差修正

王向華，鄭宏興，麻來(lái)宣

（1.天津工程師范學(xué)院 天線與微波技術(shù)研究所，天津 300222；2.空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原 713800）

二階Mur吸收邊界條件下雷達(dá)散射截面的誤差修正

王向華1，鄭宏興1，麻來(lái)宣2

（1.天津工程師范學(xué)院 天線與微波技術(shù)研究所，天津 300222；2.空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原 713800）

為了提高時(shí)域有限差分法的計(jì)算精度，研究了二階Mur吸收邊界條件下，改變總場(chǎng)－散射場(chǎng)連接邊界、數(shù)據(jù)輸出邊界以及吸收邊界間的距離時(shí)，計(jì)算誤差的變化規(guī)律。以二維金屬圓柱的雷達(dá)散射截面(RCS)為例，分析了不同距離參數(shù)對(duì)雙站RCS的影響。給出了減小誤差的參數(shù)擬合曲線，同時(shí)提出采用兩種輸出邊界得到RCS的平均來(lái)減小計(jì)算誤差。

時(shí)域有限差分；Mur吸收邊界條件；雷達(dá)散射截面；誤差

時(shí)域有限差分法(FDTD)是在時(shí)域內(nèi)直接求解波動(dòng)方程的一種方法。其特點(diǎn)是編程簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度低，而且能夠一次求解寬頻帶內(nèi)的結(jié)果。因而在電磁散射計(jì)算中廣泛應(yīng)用。FDTD方法需要用一個(gè)吸收邊界來(lái)截?cái)嘤?jì)算區(qū)域，用有限區(qū)域的計(jì)算來(lái)模擬整個(gè)空間波的傳播過(guò)程。目前廣泛采用的吸收邊界有Mur吸收邊界[1]和完全匹配層吸收邊界[2]。Mur吸收邊界的特點(diǎn)是占用的計(jì)算機(jī)資源很少，但是當(dāng)入射角增大時(shí)，反射誤差也增大。應(yīng)用二階Mur吸收邊界計(jì)算電磁散射問(wèn)題時(shí)，一般把邊界設(shè)置得離散射體相對(duì)遠(yuǎn)一點(diǎn)，以便克服這種反射。然而，這樣又增大了計(jì)算區(qū)域，浪費(fèi)了計(jì)算機(jī)資源。為了克服這個(gè)矛盾，本文以二維金屬圓柱TM波散射為例，研究了不同邊界參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響，并找出了修正誤差的經(jīng)驗(yàn)公式。從而對(duì)應(yīng)用二階Mur吸收邊界條件計(jì)算電磁散射問(wèn)題，在減小計(jì)算量的同時(shí)減小反射誤差有一定的參考價(jià)值。

1 不同迭代步數(shù)的誤差

平面TM波入射時(shí)，金屬圓柱雙站RCS的Mie級(jí)數(shù)解為：

式中：α為金屬圓柱的半徑；k為波數(shù)；λ為入射波波長(zhǎng)。

首先研究時(shí)諧場(chǎng)穩(wěn)定后不同的迭代步數(shù)對(duì)誤差的影響。取金屬圓柱半徑α=λ=0.01 m，Δx=Δy=λ/ 40=δ，2cΔt=δ，連接邊界為（－100，100），輸出邊界為（－130，130），吸收邊界為（－150，150），迭代步數(shù)從500到9 000步，間隔為100步。為了與理論RCS進(jìn)行比較，定義平均相對(duì)誤差體現(xiàn)與理論值的整體符合情況，最大相對(duì)誤差表示與理論RCS的最大差別。

平均相對(duì)誤差為：

這里，θ從0°～360°，間隔0.5°。

最大相對(duì)誤差為：

迭代步數(shù)與平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差的關(guān)系如圖1所示。

從圖1中可以看出：平均與最大相對(duì)誤差在2 000步左右達(dá)到穩(wěn)定；最大相對(duì)誤差在0.04到0.06間振蕩；平均與最大相對(duì)誤差振蕩周期相同。為了了解振蕩周期，取迭代步數(shù)從2 000到2 200步，間隔為1步，得到震蕩周期為80步，即波在真空中傳播一個(gè)波長(zhǎng)的時(shí)間，說(shuō)明周期震蕩應(yīng)為吸收邊界反射波的影響。進(jìn)一步增加迭代步數(shù)，發(fā)現(xiàn)誤差仍然是周期穩(wěn)定變化的。

2 平面波不同入射角度

因?yàn)槿肷淦矫娌ㄊ菃为?dú)進(jìn)行一維FDTD迭代而后投影到連接邊界得到的[3]，所以不同的入射角度會(huì)有不同的誤差。為了研究不同入射角度誤差，選取連接邊界為（－100，100），輸出邊界為（－130，130），吸收邊界為（－150，150），迭代次數(shù)2 000。誤差如圖2所示。

可見，無(wú)論是平均還是最大相對(duì)誤差，0°入射誤差較小，因?yàn)?°入射時(shí)平面波引入沒有投影誤差；對(duì)于中間區(qū)域平均誤差較小而最大相對(duì)誤差較大；最大相對(duì)誤差的最大值接近0.1，說(shuō)明選取的正方形網(wǎng)格時(shí)任意入射角誤差變化不大。

3 改變連接邊界時(shí)誤差的變化

一般認(rèn)為連接邊界應(yīng)距離散射體5個(gè)格以上。為了研究不同連接邊界的誤差，這里選取連接邊界為41到100，輸出邊界為（－130，130），吸收邊界為（－150，150），迭代2 000次，誤差如圖3所示。

從圖3可以看出：平均與最大相對(duì)誤差周期性振蕩；連接邊界可以距離散射體較近，因誤差并沒有隨連接邊界遠(yuǎn)離而有明顯振蕩減小；最大相對(duì)誤差與平均相對(duì)誤差并不是同時(shí)達(dá)到最大或最小。

4 改變輸出邊界時(shí)誤差的變化

輸出邊界為51到149，連接邊界為（－50，50），吸收邊界為（－150，150），迭代2 000步，如圖4所示。

從圖4可以看出：輸出邊界對(duì)平均與最大相對(duì)誤差影響較大；隨著距離連接邊界的增大平均相對(duì)誤差周期性震蕩減小，而最大相對(duì)誤差周期振蕩；振蕩周期為20，平均與最大相對(duì)誤差同步振蕩。

為了弄清最大與最小誤差出現(xiàn)的位置與什么參數(shù)有關(guān)系，改變相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了研究。首先，看是否與到圓柱表面的距離有關(guān)，為此只改變圓柱體的半徑與發(fā)現(xiàn)誤差最大最小峰值出現(xiàn)的位置不變。這樣說(shuō)明誤差變化與圓柱的半徑大小沒有關(guān)系，也就是說(shuō)誤差大小與輸出邊界到圓柱表面的距離無(wú)關(guān)。其次，研究誤差是否與輸出邊界到吸收邊界的距離有關(guān)，為此改變吸收邊界（-150，150）為（-140，140）。結(jié)果發(fā)現(xiàn)誤差的最大最小值出現(xiàn)的位置沒有變化，說(shuō)明誤差的最大最小值出現(xiàn)的位置與輸出邊界到吸收邊界的距離無(wú)關(guān)。綜合兩方面可知，誤差的最大與最小值出現(xiàn)的位置應(yīng)該與輸出邊界到圓柱中心的距離有關(guān)。因?yàn)闊o(wú)論改變圓柱半徑還是改變吸收邊界，輸出邊界距離圓柱中心的不同距離處的誤差大小基本不變。

4.1 誤差曲線的最小二乘擬合

由圖4可以看出，誤差最大值出現(xiàn)在60、80、100、120、140，因?yàn)椴ㄩL(zhǎng)等于40，所以最大誤差出現(xiàn)在距離中心為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍（1/4波長(zhǎng)偶數(shù)倍）的地方。而最小誤差出現(xiàn)在50、70、90、110、130、150，所以最小誤差出現(xiàn)在距離中心為1/4波長(zhǎng)奇數(shù)倍的地方。為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，改變?chǔ)=Δy=λ/60=δ，連接邊界（－90，90）、吸收邊界（－150，150），改變輸出邊界得到與上述相同的結(jié)論。所以對(duì)于任何δ，可以找到經(jīng)驗(yàn)公式擬合平均與最大相對(duì)誤差。

對(duì)于平均相對(duì)誤差隨輸出邊界到圓柱中心的距離增大而振蕩但振幅在衰減。假設(shè)其函數(shù)形式為振幅衰減的正弦形式，振幅為輸出邊界到圓柱中心距離的二次函數(shù)：

式中：E為平均相對(duì)誤差；a、b、c、m為常數(shù)；40為波長(zhǎng)即周期；r為輸出邊界到圓柱中心的距離；10為1/4波長(zhǎng)。最小二乘擬合得到：a=3.78629×10-6，b=-0.00105556，c=0.091 178 9，m=0.010 673 3。從圖4中可以看出擬合效果較理想。

最大相對(duì)誤差隨輸出邊界到圓柱中心的距離增大周期振蕩，振幅幾乎不變。假設(shè)其振蕩為正弦函數(shù)形式：

式中：E為最大相對(duì)誤差；A為振幅；40為波長(zhǎng)即周期；r為輸出邊界到圓柱中心的距離；10為1/4波長(zhǎng)；c為常數(shù)。用波長(zhǎng)表示可以寫成

最小二乘擬合得到：A=0.196 991，c=0.030 968 3，擬合效果如圖4所示，從圖4中可以看出擬合效果較為理想。

4.2 誤差修正

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，如果誤差不取絕對(duì)值（只是與理論值做差），誤差峰正好正、負(fù)交替出現(xiàn)，即如果某個(gè)峰比理論偏大得到，那么下一個(gè)峰就是比理論值偏小得到。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以利用兩個(gè)距離為半個(gè)波長(zhǎng)的輸出邊界求出兩個(gè)RCS，然后求兩個(gè)RCS的平均，這樣能大大減少誤差而基本不增加計(jì)算量。這樣簡(jiǎn)單平均的效果如圖5所示。

圖中選擇了輸出邊界為（－60，60）及（－80，80）兩條輸出邊界分別求出RCS然后將二者平均。從圖5中可以看出，求平均后可以使誤差減少很多，因此可以采取這種辦法減少誤差而基本不增加計(jì)算量。

5 改變吸收邊界

一般認(rèn)為為了減少誤差，在應(yīng)用Mur二階吸收邊界條件時(shí)，吸收邊界應(yīng)距離散射體遠(yuǎn)一些。然而目前還沒有人給出具體的經(jīng)驗(yàn)公式，因此下面研究誤差與吸收邊界的關(guān)系。

改變吸收邊界從61到160，連接邊界為（－50，50），輸出邊界為（－60，60），迭代2 000步，得到誤差與吸收邊界間的關(guān)系曲線，如圖6所示。

從圖6中可以看出，平均相對(duì)誤差與最大相對(duì)誤差都隨吸收邊界的增大而減小，而且基本為拋物線的一段。因此假設(shè)有二次多項(xiàng)式形式的擬合曲線ar2+br +c，其中a、b、c為常數(shù)，r為吸收邊界到中心的距離。對(duì)于平均相對(duì)誤差擬合得到a=4.258 9×106、b=－0.001 204 3、c=0.139 15，對(duì)于最大相對(duì)誤差擬合得到a=9.795 8×10－6、b=－0.003 115 6、c=0.512 6。

在計(jì)算機(jī)條件允許的情況下選擇大的吸收邊界會(huì)使誤差有顯著降低。注意，這里選擇的輸出邊界是（－60，60）的正方形邊界，通過(guò)前面的討論可知這個(gè)輸出邊界恰好對(duì)應(yīng)誤差最大的地方。選擇輸出邊界為（－70，70）及（－90，90）兩個(gè)誤差較小的輸出邊界進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，增大吸收邊界會(huì)有效降低最大相對(duì)誤差，但平均相對(duì)誤差隨吸收邊界的增大沒有降低而是無(wú)規(guī)則振蕩。因此，無(wú)論選擇什么輸出邊界，通過(guò)增大吸收邊界可以減小誤差，當(dāng)選擇誤差較大的輸出邊界時(shí)增大吸收邊界會(huì)使誤差顯著降低。

6 結(jié)論

本研究表明，時(shí)諧場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)定后，不同迭代步數(shù)對(duì)RCS的誤差影響較小。入射角不同時(shí)誤差變化不大，0度入射時(shí)誤差最小。固定輸出與吸收邊界而改變連接邊界時(shí)，最大相對(duì)誤差周期變化且變化不大，最大相對(duì)誤差約在4%～6%之間。固定連接與吸收邊界而改變輸出邊界時(shí)，誤差呈周期性變化而且變化幅度較大，最大相對(duì)誤差在4%～30%間，固定連接與輸出邊界而改變吸收邊界時(shí)，發(fā)現(xiàn)誤差基本呈二次方減小。總之，輸出邊界對(duì)誤差影響較大，其次是吸收邊界。

［1］ YEE K S.Numerical solution of initial boundary value problems involvingMaxwell′s equations in isotropic media[J].IEEE Trans.Antennas Propag，1966，14（5）：302–307.

［2］ TAFLOVE A，HAGNESS S C.Computational Electrodynamics：The Finite Difference Time Domain Method[M].MA：Artech House，2005.

［3］ 王長(zhǎng)清.現(xiàn)代計(jì)算電磁學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2005.

Error modtification of the radar cross section under second-order Mur′s absorbing boundary condition

WANG Xiang-hua1，ZHENG Hong-xing1，MA Lai-xuan2
（1.Institute of Antenna and Microwave Techniques,Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；2.Missile Institute，Air Force Engineering University，Sanyuan，Shaanxi 713800，China）

To increase computational accuracy of the finite-difference time-domain method,the mutative law of computational errors is studied in this paper.Under second-order Mur′s absorbing boundary condition,the error is changed with the distance between connective boundary in total-scattering field,data output boundary,and absorbing boundary changed.The radar cross section（RCS）of a two-dimensional metal cylinder has been computed.Effects of bi-static RCS from different distance parameters have been analyzed.Moreover,to modify the computation errors efficiently,a fitting curve is drawing up,and the RCS can be averaged by using data from two different output boundaries.

Finite-difference time-domain；Mur′absorbing boundary condition；radar cross section；error

book=1,ebook=29

O451；TN911

A

1673－1018（2010）01－0005－04

2009-12-08

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（207007）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60871026）；天津工程師范學(xué)院科研計(jì)劃項(xiàng)目（KJ-JH2007020）.

王向華（1978—），男，講師，理學(xué)碩士，研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué)、計(jì)算物理.