推廣的（G'/G）展開法求解非線性方程

韓冰冰

（遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029）

推廣的（G'/G）展開法求解非線性方程

韓冰冰

（遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029）

本文用推廣的（G'/G）展開法求解高維非線性方程，得出其多種形式精確解，分別以含參數(shù)的雙曲函數(shù)、三角函數(shù)及有理函數(shù)表示.

推廣的（G'/G）展開法；齊次平衡原則；（2+1）維破裂孤立子方程；精確解

1 引言

近些年來，構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解是孤立子理論的重要研究課題之一。目前,對于非線性發(fā)展方程，已提出了構(gòu)造精確解的許多方法。如齊次平衡法[1]，Hirota雙線性方法[2]，反散射法[3]，tanh方法[4]等等。在本文中，我們用推廣的（G’/G）展開法求解（2+1）維破裂孤立子方程

不僅得到了文獻[5]中已經(jīng)得到的某些結(jié)果,而且得到了文獻[6]中用新近發(fā)明的（G’/G）方法沒有求得的新解.表明推廣的（G’/G）展開法有更好的適用性.

2 （G’/G）方法與推廣的（G’/G）展開法

根據(jù)文獻[7]提出的（G’/G）方法,給定非線性發(fā)展方程

推廣的（G’/G）展開法拓展了解的形式，設解可以表示成

將（7）式代入（4），可得到關于ai(i=0,1,…N),bi(i=1,…N), δ，λ的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組代入(6)得到方程（2）的多個精確解.

3 (2+1)維破裂孤立子方程的新解

對方程組(1)作行波變換u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+y+δt,可化為如下ODE

代入(8)式第一式,令積分常數(shù)為零,得

平衡最高階導數(shù)項u"與最高次項u2,可確定N=2.

因而方程(10)的解的形式為

由(11)式和(6)式可以得到

將(11),(12),(13)式代入(10)式,可得關于a0,a1,a2,b1,b2,δ,λ的代數(shù)方程組

以上代數(shù)方程組有解

將以上結(jié)果代入(11)式,可得方程的三種類型的顯式解.

情形一 當λ<0,bδ>0時,對應解組[1],[2],[3],有雙曲函數(shù)解:

其中ξ=x+y-16bλt.

其中ξ=x+y-4bλt.

其中ξ=x+y-4bλt.

情形二 λ>0,bδ>0時,對應解組[1],[2],[3],有三角函數(shù)通解:

其中ξ=x+y+16bλt.

其中ξ=x+y+4bλt.

其中ξ=x+y+4bλt.

情形三 λ=0時,有有理函數(shù)通解:

若令C1=0,C2≠0,則(14),(15),(16)式可約化為

4 小結(jié)

本文用推廣的（G’/G）展開法,求出了高維方程多種形式解,獲得了含參數(shù)的雙曲函數(shù)解,三角函數(shù)解和有理數(shù)解,得出了一些新解.可見,這種拓展的方法是一種求某些非線性發(fā)展方程的有效方法之一.

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1673-260X（2010）05-0001-02