求偏導(dǎo)數(shù)的一種方法

劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

求偏導(dǎo)數(shù)的一種方法

劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，由于變元多，往往計算量大.在求一點的偏導(dǎo)數(shù)時，把部分變元的值先代入，再計算偏導(dǎo)數(shù)，可以減少運算量.

多元函數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)；高階偏導(dǎo)數(shù)；混合偏導(dǎo)數(shù)

計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，由于變元多，往往計算量比較大.在求某一點的偏導(dǎo)數(shù)時，一般的計算方法是，先求出偏導(dǎo)函數(shù)，再代入這一點的值而得到這一點的偏導(dǎo)數(shù).我們發(fā)現(xiàn)，把部分變元的值先代入函數(shù)中，減少變元的數(shù)量，再計算偏導(dǎo)數(shù)，可以減少運算量.

1 計算方法

例1 設(shè)f(x,y)=x2+(x-2)(y-1)arcsin，求和

一般的方法是，先求出偏導(dǎo)函數(shù)

再代入偏導(dǎo)數(shù)在點(2,1)的值

可以明顯地看出第一式中的第二、第三項和第二式中的兩項在點(2,1)的值都是0.

這種求偏導(dǎo)數(shù)的方法，過程的確很復(fù)雜.

現(xiàn)在給出一種比較簡單的算法：

結(jié)果與通常的算法一樣，但運算量大大減少了.

這種運算方法是：

2 計算方法的理論依據(jù)

上述算法能夠減少運算量的作用是明顯的，但可行性的理論依據(jù)是什么呢？這不難，從偏導(dǎo)數(shù)的定義就可以充分說明.以二元函數(shù)為例.

設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，若一元函數(shù)f(x,y0)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)存在，則稱它為z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)[1].

這個定義是以一元與多元函數(shù)的聯(lián)系為主線進(jìn)行的.先代入y=y0的值，成為一元函數(shù)再求導(dǎo)數(shù).

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0.而x在x0處有增量△x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量f (x0+△x,y0)-f(x0,y0)，如果存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)[2].這個定義與上定義是等價的，其出發(fā)點是從極限入手，更突出地強(qiáng)調(diào)“y固定在y0”這兩個定義都說明求對x的偏導(dǎo)數(shù)，可以先把y=y0代入.同理求對y的偏導(dǎo)數(shù)，可以先把x=x0代入.

3 在高階偏導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

對于高階偏導(dǎo)數(shù)，特別是混合高階偏導(dǎo)數(shù)，由于變元多，求導(dǎo)階數(shù)高，如果函數(shù)復(fù)雜，運算量會更大.應(yīng)用上述方法，可以部分地減少運算量.

（一定相等），可以選擇求導(dǎo)數(shù)的次序，以減少運算量.

如果換一種順序，可以

〔1〕范培華，李正元，李永樂.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國家行政學(xué)院出版社，2006.

〔2〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（下冊）.高等教育出版社，1996.

O172.2

A

1673-260X（2010）05-0007-02