一種將線性粘彈微分型本構方程應用到ABAQUS的方法

潘曉明,余俊,楊釗,孔娟

(1.同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海200092; 2.中南大學土木建筑學院,湖南長沙410075)

一種將線性粘彈微分型本構方程應用到ABAQUS的方法

潘曉明1,余俊2,楊釗1,孔娟1

(1.同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海200092; 2.中南大學土木建筑學院,湖南長沙410075)

以3參量Merchant模型、Poyning-Thomson模型,以及4參量Burger模型為例,推導3種常用微分型本構方程的松弛剪切模量Prony級數形式,并確定其在ABAQUS中的輸入參數,供ABAQUS調用分析.以算例分析巖土流變性態,將3種模型的應變蠕變、松弛數值解與一維情形下的解析解進行對比,結果吻合較好.對土體采用Merchant粘彈性流變模型的過江盾構隧道進行粘彈性數值分析,得到管片位移均趨于穩定值,說明所提出的方法是正確和可靠的,可以應用于巖土工程數值計算.

微分型本構;Lap lace變換;Prony級數;蠕變;松弛;ABAQUS

對于巖土所呈現的各種不同的流變特性,一般采用3種方法進行描述.(1)通過室內或現場試驗和實測[1-3],建立經驗流變或蠕變公式;(2)建立積分型本構方程求解流變問題[4-6];(3)根據流變介質模型,建立微分型本構方程,對巖土體流變進行分析.第3種方法直觀、形象,且便于有限元編程計算,因而得到廣泛的應用[7-9].ABAQUS是目前國際上最為先進的大型通用有限元計算分析軟件之一.它所提供的粘彈本構模型是基于松弛剪切模量Prony級數形式的積分型本構方程[10],這給傳統巖土體線性粘彈微分型本構方程的應用帶來了不便.本文研究一種將線性粘彈性微分型本構方程轉化成松弛剪切模量的Prony級數形式的方法,以供ABAQUS調用分析.

1 線性粘彈微分型本構方程轉換成Prony級數形式

巖土流變模型是以反映蠕變、應力松弛等為前提,利用彈性元件(胡克體)、粘性元件(牛頓體),通過串并聯關系形成的各種流變模型.文中討論的3參量Merchant模型、Poyning-Thom son模型,以及4參量Burger模型,分別如圖1所示.

圖1 流變模型Fig.1 Rheologicalmodel

1.1 微分型本構方程的Laplace變換[11-12]

線性粘彈性微分型本構關系可以表示為1.3 Merchant模型

M erchant模型的一維本構方程為

通過同樣的方法,可得到Merchant模型在ABAQUS中的輸入參數為

1.4 Poyn ing-Thom son模型

Poyning-Thom son模型的一維本構方程為

通過同樣的方法,可得到Poyning-Thom son模型在ABAQUS中的輸入參數為

圖2 三維計算模型Fig.2 Three-dimensional computationalmodel

2 算例驗證

驗證算例為一個三維C3D8單元試件,如圖2所示.件長、寬、高均為1 m,試件底部固定,頂部受均布壓力p進行蠕變試驗數值模擬,以及施加恒定位移進行松弛試驗數值模擬.材料基本參數:EH為2.0 M Pa,泊松比μ為0.25,EM為2.0 M Pa,ηM為21.6 M Pa·月,EK為2.0 M Pa,ηK為21.6 M Pa·月.

通過式(13)～(17),將微分型本構Burger模型、M erchant模型及Poyning-Thom son模型參數轉換為可供ABAQUS調用的輸入參數.

(1)Burger模型的一維蠕變和一維松弛解析解為

由此可以得到Burger模型在ABAQUS中的輸入參數:E0=EM=2.0 M Pa,μ0=μM=0.25,g1= 0.768,g2=0.231,τ1=3.59,τ2=27.0.

(2)Merchant模型的一維蠕變和一維松弛解析解為

由此可以得到M erchant模型在ABAQUS中的輸入參數:E0=EH=2.0 M Pa,μ0=μH=0.25,g1= 0.545 454 5,τ1=4.91.

(3)Poyning-Thom son模型的一維蠕變和一維松弛解析解為

由此可得到Poyning-Thom son模型在ABAQUS中的輸入參數,即E0=EH+EM=4.0 M Pa,μ0= μH=0.25,g1=0.454 545 45,τ1=10.8.

在ABAQUS中,應力以受壓為負,受拉為正.在施加荷載的中,均布荷載p為0.1 M Pa,進行蠕變數值試驗;恒定位移u3為0.3 m,進行松弛數值試驗.

對于流變計算,在ABAQUS中一般設置兩個分析步.第1個分析步為Static靜力分析步,時間設置很小,如1×10-20s;第2個分析步為V isco準靜態分析步,采用固定時間增量步為0.5月,計算總時間為150月.

在均布荷載作用下,Burger模型、Merchant模型及Poyning-Thom son模型的應變蠕變數值解與一維情形下蠕變解析解,如圖3所示.從圖3可知,Burger模型能夠較好地模擬蠕變的第2階段,其軸向應變ε隨時間(t)的增加而增加;M erchant模型和Poyning-Thom son模型能夠較好地模擬蠕變的第1階段,軸向應變隨時間的增加而趨于穩定值.

在常應變作用下,3種模型應力σ松弛數值解與一維松弛解析解,如圖4所示.從圖4可知,Buger模型存在應力松弛,隨著時間的增加最終趨于零;Merchant模型和Poyning-Thom son模型具有松弛特性,隨時間的增加最終趨于穩定值.

從圖3,4可以看出,3種模型的蠕變及松弛的解析解與數值解吻合較好,蠕變最大相對誤差不超過1.34%,松弛最大誤差不超過1.28%.

圖4 模型軸向應力解析解與數值解比較 Fig.4 Comparison between analytical and numerical axial stresses

圖3 模型軸向應變解析解與數值解比較Fig.3 Comparison between analytical and numerical axial strains

3 工程實例

某過江隧道襯砌外徑外直徑為8.7 m,管片內直徑為7.9 m,管片厚為400 mm;有限元模型尺寸長60 m,寬79.38 m,拱頂埋深17.6 m,其網格圖如圖5所示.坐標系采用水平向右為X方向,垂直向上為Y方向.底部邊界全約束邊界條件,左、右側邊界則采用X軸方向對稱約束,上部邊界采用自由邊界.

圖5 有限元計算網格Fig.5 Finite elementmesh

土體單元選用雙線性四邊形完全積分單元,單元數5 275個,節點數5 525個.管片采用實體單元,選用能考慮彎曲并可克服剪切自鎖的四邊形雙線性非協調等參單元.管片單元數168個,節點數252個.土體采用M erchant本構模型,試驗參數和經轉化為ABAQUS的粘彈輸入參數,如表1所示.

隧洞中心處的外水壓力為0.367 4 M Pa,拱頂至拱底的側向水壓力呈梯形分布.對砂性土采用水土分算,外水壓力直接作用在管片襯砌外層周圍.計算時設置4個分析步:(1)設置Geostatic重力分析步.計算后將土體位移場清零,只保留應力場;(2)設置為Static靜力分析步.開挖隧道范圍內土體并施加管片,計算時間為1× 10-20s;(3)設置為Visco準靜態分析步.施加管片重力及外水壓,計算時間為36月,時間增量為0.5月.

在第3個分析步開始時,管片在施加重力荷載及施加外水壓作用下,瞬時產生的彈性變形如圖6所示.從圖6可知,由于管片接頭位置不對稱,造成水平位移不對稱.在土體采用粘彈材料,計算時間為36月時,管片的位移云圖如圖7所示.從圖7可知,管片水平相對位移由24.1 mm變化為17.8 mm;管片豎向相對位移由25.4 mm變化為19.5 mm.這主要是由于土體發生蠕變作用,使得管片有向內收斂.管片拱頂、拱底豎向位移,以及右側拱腰水平位移隨時間的變化曲線,如圖8所示.從圖8可看出,隨著時間的增加,管片在不同位置處的位移均達到穩定的收斂值,這與一維情形下M erchant模型的蠕變特性相吻合.拱頂由瞬時彈性豎向位移-0.08 mm,經14月穩定至-16.2 mm;拱底豎向位移由25.3 mm變化至0.4 mm;右側拱腰水平位移由13.5 mm變化至10.7 mm.

表1 土體計算參數表Tab.1 Computational parametersof soil

圖6 Visco準靜態分析步開始時的管片瞬時彈性位移Fig.6 Instantaneous elastic disp lacement of segment at the beginning of step 3

圖7 Visco準靜態分析步結束時的管片粘彈位移Fig.7 Visco-elastic disp lacement of segment at the end of step 3

4 結論

圖8 管片位移隨時間的變化曲線Fig.8 Curves of disp lacement to time at different location of segment

研究將線性粘彈微分型本構方程應用于ABAQUS分析平臺的方法.推導Burger模型,Merchant模型及Poyning-Thom son線性粘彈微分型本構方程的松弛剪切模量p rony級數形式,并確定其在ABAQUS中的輸入參數.

通過三維蠕變和松弛的數值模擬結果與一維情形下的解析解進行對比,表明兩者的計算結果吻合較好.最后,對土體采用Merchant粘彈性流變模型的過江盾構隧道進行了粘彈性數值分析,得到了管片位移均趨于穩定值,進一步說明所提出的方法是正確的和可靠的,可以應用于巖土工程數值計算.

對于將其他線性粘彈微分型本構方程的應用到ABAQUS中,所提出方法具有一定的參考價值.

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A Method Using L inear Viscoelastic D ifferen tial Constitutive Equation in to ABAQUS

PAN Xiao-m ing1,YU Jun2, YANG Zhao1,KONG Juan1
(1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092,China; 2.School of Civil Engineering and A rchitecture,Central South University,Changsha 410075,China)

Taking three-parameter Merchantmodel,Poyning-Thomsonmodel and four-parameter Burgermodel as examp le,the relaxation shear modulus w ith p rony series fo rm s is derived by three kinds of commonly used differential-type constitutive equation,their parameters is determined to input in ABAQUS.In order to analyze the rheological characteristics,the creep and relaxation numerical solutionsof threemodelsagreewell to analytical solutions.Using Merchant viscoelastic rheologicalmodel,the viscoelasto numerical calculation of cross-river shield tunnel is carried out,the stabile values of segment displacement are obtained,w hich indicate the p roposed method is co rrect and reliable,and can be app lied to geotechnical engineering numerical calculation.

differential constitutive;Laplace transform;p rony series;creep;relax;ABAQUS

TU 452

A

(責任編輯:錢筠 英文審校:方德平)

1000-5013(2010)05-0570-06

2009-10-11

潘曉明(1979-),男,博士研究生,主要從事隧道及地下結構方面的研究.E-mail:p xm155138@163.com.

國家自然科學基金資助項目(40872179);中國博士后科研基金資助項目(20080440652)