單葉調和函數及其反函數為調和擬共形的充要條件

胡春英,黃心中

(華僑大學數學科學學院,福建泉州362021)

單葉調和函數及其反函數為調和擬共形的充要條件

胡春英,黃心中

(華僑大學數學科學學院,福建泉州362021)

研究平面上具有形式f(z)=A[αz+β+log(1-exp(-αz-β))-log(1-exp(-αz-β))]+B的保向單葉調和映照,其中A,B,α,β是常數且滿足條件A≠0,α≠0.給出了定義在橢圓和上半平面上的單葉調和函數及其反函數都是調和擬共形映照的充要條件,并推廣到一般的單連通區域上.

單葉調和函數;擬共形映照;復特征;調和擬共形映照

1 預備知識

一個復值函數f(z)=u+i v在平面區域D上調和是指u,v在區域D上實調和.如果D是一個單連通區域,則f可寫為f(z)=h(z)+g(z),其中h,g為解析函數.Lew y[1]給出了f局部單葉且保向的充要條件為Jf=|h′|2-|g′|2>0,z∈D.文[2]證明了如下定理.

定理A 假設f(z)=h(z)+g(z)是一個單連通區域D上的保向單葉調和映照,則其反函數z= f-1(w)在G=f(D)內調和當且僅當下列3種情形之一成立:(Ⅰ)f(z)在D內共形;(Ⅱ)f(z)是仿射變換,即f(z)=αz+βˉz+B,|α|>|β|>0;(Ⅲ)f(z)具有形式為

式(1)中:A,B,α,β是常數且滿足條件Re(αz+β)>0,z∈D.

單葉調和函數何時為單葉調和擬共形映照是一個研究熱點.Pavlovic′[3-4]研究了單位圓和上半平面上的單葉調和函數為擬共形映照的條件,文[5]中也給出了單位圓到自身上的調和同胚為調和擬共形同胚的條件.本文研究單葉調和映照及其反函數都是調和擬共形映照的條件.定理A的結果表明,只需對具有形式(1)的情形加以研究.

2 主要結果和證明

3 一般區域上的情形

定理3 設D為有界單連通開區域,其邊界為?D∶φ(x,y)=0,且φ∈C1.f是定義在D上的保向單葉調和映照,且具有式(1)的形式,則f的反函數是調和擬共形映照的充要條件,存在一個實常數c> 0,使得對任何滿足方程

的z＊,有Re(αz＊+β)≥c.

證明 因D為有界單連通開區域,則￣D為有界單連通閉區域,所以Re(αz+β)必在邊界?D上取到最小值.由拉格朗日乘數法,設

又因為滿足方程組(9)的點z＊∈?D,所以有Re(αz＊+β)≥c.

當D為無界單連通開區域時,類似于定理3的證明可得到如下定理.

定理4 設D為無界單連通開區域,其邊界為?D∶φ(x,y)=0,且φ∈C1.f是定義在D上的保向單葉調和映照,且具有式(1)的形式,則f的反函數是調和擬共形映照的充要條件,存在一個實常數c> 0,使得α,β滿足以下兩個條件.

(1)對任何滿足方程

又因為滿足方程組(9)的點z＊∈?D,所以有Re(αz＊+β)≥c.在上述4個定理中,若令c=0,則可得到函數f及其反函數都是調和映照的充要條件.

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[2] 張兆功,劉禮泉.單葉調和映照的反函數[J].數學進展,1996,25(3):270-276.

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[4] KALAJD,Pavlovic′M.Boundary co rrespondence under quasiconfo rmal harmonic diffeomo rphisms of a half-p lane [J].Ann Acad Sci Fenn Math,2005,30(1):159-165.

[5] 黃心中.單位圓盤上的調和擬共形同胚[J].數學年刊:A輯,2008,29(4):519-524.

Necessary and Sufficien t Condition that Un ivalen t Harmon ic Functionsand Their Inverse Functions are Harmon ic Quasiconformal Mappings

HU Chun-ying,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

Plannar sense-p reserving univalent harmonic functions w ith the form f(z)=A[αz+β+log(1-exp(-αzβ))-log(1-exp(-αz-β))]+B,are considered,w here A,B,α,βare constantsw ith the condition A≠0,α≠0.Necessary and sufficient condition fo r such harmonic functions defined ellip tic domain or on the upper half p lane and their inverse functions to be harmonic quasiconformalmappingsareobtained.Ourmethodsalso can be app lied to the general simp ly connect domains.

univalent harmonic functions;quasiconformalmappings;comp lex dilatation;harmonic quasiconfo rmal mappings

O 174.51

A

(責任編輯:陳志賢 英文審校:張金順,黃心中)

1000-5013(2010)05-0586-04

2009-05-21

胡春英(1979-),男,講師,主要從事函數論的研究.E-mail:huchunying@sina.com.

福建省自然科學基金資助項目(2008J0195);華僑大學科研基金資助項目(09HZR23)