二階非線性耦合動力學系統守恒量的擴展Prelle-S inger求法與對稱性研究

樓智美

(紹興文理學院物理系,紹興 312000)

二階非線性耦合動力學系統守恒量的擴展Prelle-S inger求法與對稱性研究

樓智美?

(紹興文理學院物理系,紹興 312000)

(2009年3月13日收到;2009年6月23日收到修改稿)

將擴展Prelle-Singer法(擴展P-S法)用于求¨x=φ1(x,y),¨y=φ2(x,y)類型的二階非線性耦合動力學系統的守恒量,得到了積分乘子滿足的微分方程與守恒量的一般形式,并討論所得守恒量的Noether對稱性與Lie對稱性.最后用擴展P-S法求得了四次非諧振子系統的兩個守恒量,并討論了系統的對稱性.

擴展Prelle-Singer法,二階非線性耦合動力學系統,守恒量,對稱性

PACC:0320,0230

1.引言

已知力學系統的Lagrange函數可以通過Lagrange方程求得系統的運動微分方程,且系統的運動微分方程往往是二階非線性耦合方程,如中心力場問題、非中心力場問題和耦合諧振子等問題.尋求力學系統的守恒量一直是力學、物理學、數學研究者關注的問題,長期以來,尋找力學系統的守恒量有多種方法,如Noether對稱性法[1—5]、Lie對稱性法[5—7]、Mei對稱性法[8—10]、Er makov方法[11—13]、Poisson括號法[14—17]、直接積分法[18—22].用Noether對稱性法、Lie對稱性法和Mei對稱性法求守恒量都要用到群的無限小變換,理論性強且比較抽象. Ermakov方法只能求能表示成Ermakov形式系統的守恒量.Poisson括號法只能求線性耦合系統的守恒量.直接積分法用到1-形式微分式比較多,且不相互獨立,導致用到的積分乘子也比較多(比擴展P-S法多2個積分乘子).近幾年,數學家致力于研究用Prelle-Singer法(P-S法)求微分方程的第一積分(守恒量)[23—29].1983年,Prelle和Singer[23]提出了一種根據組成解的基本函數求得一階微分方程解的有效方法(簡稱P-S法),其優點是只要一階微分方程存在基本函數組成的解,則P-S法一定能找到其解和第一積分.P-S法求第一積分的基本思路是先假設系統存在第一積分I(守恒量),然后用幾個積分乘子R,S(未知函數)去乘以恒為零的1-形式微分式,通過比較系數法求得積分乘子R,S,從而求得第一積分(守恒量).Guha等[24]將P-S法進行擴展(擴展P-S法)并應用于求解二階及二階以上的相互耦合的微分方程組的第一積分.而力學系統中出現的多為二階非線性耦合的微分方程,因此,擴展P-S法可以用于求力學系統的守恒量.擴展P-S法理論簡潔直觀,便于掌握,便于應用.

許多力學系統的運動微分方程可以寫成¨x= φ1(x,y),¨y=φ2(x,y)(不含廣義速度˙x,˙y).本文將擴展P-S法應用于求二階非線性耦合微分方程的守恒量,得到積分乘子滿足的微分方程與守恒量的一般形式,并討論所得守恒量的Noether對稱性與Lie對稱性.最后以四次非諧振子系統為例,用擴展P-S法求其守恒量,得到了能量積分以外的守恒量,并討論了系統的對稱性.

2.用擴展P-S法求守恒量的基本理論

在平面直角坐標系下,設力學系統的Lagrange函數為

其中m為力學系統的質量,V(x,y)為系統的勢能.

則其運動微分方程可表示為

顯然,φ1˙x=φ1˙y=0,φ2˙x=φ2˙y=0,這里的下標˙x,˙y表示φ1,φ2分別對˙x,˙y的偏導(本文下同).設此力學系統存在守恒量I=I(t,x,y,˙x,˙y),則

利用4個獨立且恒為0的1-形式微分式:dx-˙xdt, dy-˙ydt,d˙x-φ1dt,d˙y-φ2dt.用積分乘子R1= R1(t,x,y,˙x,˙y),R2=R2(t,x,y,˙x,˙y),S1=S1(t,x,y, ˙x,˙y),S2=S2(t,x,y,˙x,˙y)分別乘以上述1-形式微分式并求和,則

令(3)與(4)式相等,并比較式中dt,dx,dy,d˙x,d˙y的系數,得

由可積條件

得

將(6c),(6d)式分別對時間求導一次,并利用(6a),(6b)式可得關于R1,R2的二階耦合變系數微分方程組

事實上,方程(7)不封閉,無法求得其通解,只能根據研究問題的特征(是否為自治系統、Lagrange函數的形式等)先假設R1,R2的擬解,如自治系統一般可假設R1,R2不顯含時間t,形如

將R1,R2及R¨1,R¨2聯同(2)式代入(7)式,并比較等式兩邊速度項˙xm˙yn(m,n為非負整數)的系數,可得一組a1,b1,a2,b2關于x,y的偏微分方程組

先通過觀察(9)式并聯合(2)式,進一步假設a1,b1,a2,b2是常數或是關于x2,y2,xy等簡單項的擬解,將a1,b1,a2,b2的擬解代入(9)式就可解得幾組a1,b1,a2,b2的特殊解,將a1,b1,a2,b2代入(8)式就可解得幾組R1,R2的特殊解.然后分別將解得的R1,R2代入(6c),(6d)式便可解得S1,S2.則守恒量的一般表達式為

將求得的每組積分乘子R1,R2,S1,S2分別代入(10)式,并設法將S1(dx-˙xdt)+S2(dy-˙ydt)+R1(d˙xφ1dt)+R2(d˙y-φ2dt)配成全微分dI(t,x,y,˙x,˙y)的形式,就可直接得到守恒量.由于R1,R2,S1,S2的解可能有多組,因此相應的守恒量也可能有多個.而求守恒量的關鍵是求得R1,R2.本文的第4部分中以四次非諧振子為例說明了P-S法求守恒量的過程,并得到了能量積分以外的守恒量.

3.系統的Noether對稱性與Lie對稱性

引進群的無限小變換

其無限小生成元向量為

(12)式的一次擴展為

二次擴展為

由Lagrange系統的Noether逆定理[1]知:如果已知Lagrange系統的α個線性獨立的第一積分(守恒量)(10)式,那么可由守恒量(10)式找到相應的生成元使無限小變換(11)式為系統的Noether對稱變換(或Noether準對稱變換),即系統具有Noether對稱性(或Noether準對稱性).

對于給定的守恒量和Lagrange函數,由下面的(15),(16)式可確定生成元能使無限小變換(11)式為系統的Noether對稱變換,系統具有Noether對稱性.

其中~hsk(s=1,2;k=1,2)為Lagrange函數的Hess矩陣的逆矩陣.

如果由下式確定τα,有

其中Gα=Gα(t,x,y,˙x,˙y)為規范函數,且規范函數滿足Noether等式

根據Lie對稱性理論[1],如果由(15),(16)式或(15),(17)式確定的生成元滿足下面的Lie對稱性確定方程

則說明與守恒量(10)式相應的無限小變換(11)式是Lie對稱變換,系統具有Lie對稱性.

4.應用舉例

以四次非諧振子為例說明P-S法求守恒量的過程并討論系統的對稱性.設四次非諧振子的Lagrange函數為[18]

由Lagrange方程可得系統運動微分方程為

將(21a),(21b)式代入(7a),(7b)式,得

由于系統的Lagrange函數不顯含時間t,且φ1(x,y), φ2(x,y)只是關于x,y的多項式,故可假設R1,R2的擬解為

將(23)式代入(22a),(22b)式可解得二組特殊解(解法如第2節所述)

將(24)式分別代入(6c),(6d)式,得

將(24),(25)式分別代入(10)式,得兩守恒量

很明顯,I1代表系統的能量,I2代表系統的耦合能.四次非諧振子系統具有2個守恒量,因此此系統是一可積的系統.

將(20),(26a)式分別代入(15),(16)式,可解得

說明與守恒量I1相應的無限小變換是Noether對稱變換.

將(20),(26a)式分別代入(15),(17)與(18)式,可解得

說明與守恒量I1相應的無限小變換也是Noether準對稱變換.比較(27)與(28)式知,與守恒量I1相應的無限小變換是Noether對稱變換,一定也是Noether準對稱變換(規范函數為0).

將(26b)式代入(15)式可解得

將(20),(26b)和(29)式代入(16)式,得不到τ2的解析解,則說明不存在Noether對稱變換與守恒量I2相對應.

同時考慮(17),(18),(20)及(29式,可解得

說明與守恒量I2相應的無限小變換是Noether準對稱變換,而不是Noether對稱變換,系統具有Noether準對稱性.

下面討論系統的Lie對稱性.將(27),(30)式分別代入Lie對稱性的確定方程(19),并利用(21a),(21b)式,可以證明無限小生成元(27), (30)式均滿足確定方程(19),說明與守恒量I1,I2相對應的無限小變換為Lie對稱變換,系統具有Lie對稱性.

由(27)式知,系統的運動微分方程(21)式對于無限小變換

是不變的.眾所周知,此變換是時間平移變換.

由(30)式知,系統的運動微分方程(21)對于無限小變換

是不變的.此變換表示時間不變,只有空間變換,且空間變換表現為x方向擴張(或收縮)與y方向的速度分量˙y有關,而y方向的擴張(或收縮)與x方向的速度分量˙x有關,即是一種與其垂直速度分量有關的空間變換,也就反映了系統的耦合性,從而導致耦合能量守恒.

5.結論

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PACC:0320,0230

The extended Prelle-Singermethod for the conserved quantities of second-ordinary nonlinear coupled dynam ics system s and their symmetries

Lou Zhi-Mei?

(Department of Physics,Shaoxing University,Shaoxing312000,China) (Received 13 March 2009;revised manuscript received 23 June 2009)

The extended Prelle-Singer method is used to find the conserved quantities of second-ordinary nonlinear coupled dynamics systems such as¨x=φ1(x,y),¨y=φ2(x,y),and the differential equations of integral factors and the general expression of conserved quantities are obtained.The Noether symmetry and Lie symmetry of the systems are also discussed.Finally,two conserved quantities of quartic anharminic oscillator are obtained by the extended Prelle-Singer method,and the symmetries of this system are discussed.

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?E-mail:louzhimei@zscas.edu.cn

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