狹義相對論下電子自旋軌道耦合對X射線光譜的影響＊

余志強 謝 泉 肖清泉

(貴州大學理學院,新型光電子材料與技術(shù)研究所,貴陽 550025)

狹義相對論下電子自旋軌道耦合對X射線光譜的影響＊

余志強 謝 泉?肖清泉

(貴州大學理學院,新型光電子材料與技術(shù)研究所,貴陽 550025)

(2009年4月26日收到;2009年4月29日收到修改稿)

基于狹義相對論的基本觀點,研究了特征X射線的產(chǎn)生機理,分析了電子自旋軌道耦合對特征X射線波長的影響,導出了一個計算特征X射線波長的公式,同時對計算推導的波長值做了系統(tǒng)的誤差分析,得到了相對誤差的規(guī)律.結(jié)果表明,計算推導的波長值與實驗的波長值非常接近,在實際應用中對分析特征X射線光譜具有一定的參考意義.

狹義相對論,特征X射線,自旋軌道耦合,誤差分析

PACC:3220R

1.引言

X射線是1895年被倫琴發(fā)現(xiàn)的,是一種波長很短的電磁波,波長范圍為0.001—10 nm,具有非常強的穿透力.1912年德國物理學家勞厄發(fā)現(xiàn)X射線通過晶體時產(chǎn)生衍射現(xiàn)象,證明了X射線的波動性.X射線光譜已被廣泛地應用于晶體的結(jié)構(gòu)分析和材料的元素分析等領域,對于促進科學技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大而深遠的影響.

在分析特征X射線光譜時,通常取的電子質(zhì)量都是原子核外電子的靜質(zhì)量,一般都沒有考慮在狹義相對論下電子自旋軌道耦合對特征X射線光譜的影響.

本文基于愛因斯坦狹義相對論[1]的基本理論原理,在經(jīng)典量子理論的基礎上,研究了特征X射線[2]的輻射機理,分析了在狹義相對論下電子自旋軌道耦合對特征X射線波長的影響,得到了一個計算特征X射線波長的公式,并且對常見元素的特征波長做了理論的推導計算,通過計算所得到的波長值與實驗的波長值非常接近,在實際應用中對分析特征X射線光譜具有一定的參考意義.

2.X射線光譜分析的基本原理

X射線光譜通常由連續(xù)譜和特征譜組成.對于X射線光譜,其連續(xù)譜是由高能電子與構(gòu)成陽極靶的原子碰撞時,電子失去動能所輻射出的光子產(chǎn)生的.由于每個電子可能產(chǎn)生多次碰撞,而每次碰撞電子所損失的能量又可能不同,因此輻射出的不同頻率的光子形成了連續(xù)X射線譜.

而在X射線光譜中,其特征X射線表征的是各元素的本征特性,特征X射線與陽極靶的組成元素緊密相關,它和可見光譜一樣,是由原子內(nèi)部電子做能級躍遷輻射[3]光子的結(jié)果.但是由于X射線光子能量比可見光光子的能量大得多,所以不可能是原子中外層電子的能級躍遷的結(jié)果,但可以用內(nèi)殼層電子的能級躍遷來加以解釋.然而在正常情況下,由于原子的內(nèi)殼層都已填滿了電子,根據(jù)泡利不相容原理[4]可知,電子不可能再躍入.在這里高能加速電子的碰撞起了關鍵的作用,高能加速電子的碰撞可以將內(nèi)殼層的電子擊出原子,而在原來位置留下一個空穴.根據(jù)能量最低原理,處在較高能級的不穩(wěn)定電子會躍入低能級空穴而形成穩(wěn)定狀態(tài),而在電子的躍遷過程中就會輻射出具有一定頻率的高能量的X射線.由于離原子核越遠之處電子所產(chǎn)生的躍遷概率越小,所以高次輻射的強度也就越來越弱,因此在特征X射線光譜分析中,通常主要采用的是Kα輻射,它近似一束單色的特征X射線.

考慮到電子自旋軌道耦合[5]對電子運動狀態(tài)的影響,電子的自旋軌道耦合使原來簡并的能級分裂開來,當n和l(l>0)都確定后,j可以取兩個值即具有相同的量子數(shù)n和l的能級有兩個,它們之間的差別很小.通常把電子由L層的2p1/2態(tài)和2p3/2態(tài)躍遷填充K層1s1/2態(tài)空穴時所形成的特征X射線稱為Kα輻射,同理還有Kβ輻射、Kγ輻射.

如果將電子由L層的2p1/2態(tài)和2p3/2態(tài)躍遷填充K層1s1/2態(tài)空穴所產(chǎn)生的特征波長分別表示為λ1/2和λ3/2,由于λ1/2和λ3/2的值很接近,并且在特征Kα輻射中λ3/2出現(xiàn)的概率是λ1/2的兩倍,于是特征X射線的Kα輻射波長公式可表示為如下形式:

根據(jù)愛因斯坦光子能量公式[6]E=2π?f,只要能夠知道特征X射線的波長就可以間接地確定靶的組成元素,實現(xiàn)對靶的測定和分析.以及通過已知的X射線的Kα輻射波長λ和晶體掠射角θ,就可以對晶體的晶面間距d進行測定,從而分析晶體的周期特性[7].

3.狹義相對論下的電子自旋軌道耦合

狹義相對論涉及的是無加速運動的慣性系,它是根據(jù)愛因斯坦的相對性原理的假設和光速不變原理的假設而創(chuàng)立起來的一套完整的理論.

根據(jù)狹義相對論的基本觀點,在洛倫茲變換[8]的基礎上,可以得到在相對論中運動電子的質(zhì)量與速率的關系

其中μ為電子的相對論質(zhì)量,μ0為電子的靜質(zhì)量,v為電子的速率,c為光速.

由于核外電子的速率主要由軌道速率所決定,于是核外電子的相對論質(zhì)量μn可以由Bohr-Sommerfeld量子化條件和庫侖電勢表示為如下的形式:

式中,σn,l,j為屏蔽常數(shù)(n為主量子數(shù),l為軌道量子數(shù),j為總動量量子數(shù)),z為原子序數(shù),es為SI制電子電量.從(3)式可以知道,電子的相對論質(zhì)量μn是與主量子數(shù)n相關的函數(shù).

在相對論電子自旋軌道耦合中,電子自旋對原子能級和譜線都有影響,電子的總角動量由其自旋角動量和軌道角動量共同耦合形成,電子自旋角動量和軌道角動量之間相互作用的能量與電子的動能以及電子在核的力場中的勢能相比很小,它可以被看做是微擾能量.

4.狹義相對論下電子自旋軌道耦合對X射線光譜的影響分析

特征X射線表征的是各元素的本征特性,它是各原子的內(nèi)層電子躍遷輻射的結(jié)果.通過原子內(nèi)部較外層的電子躍遷填充就會輻射出能量光子,本文基于愛因斯坦狹義相對論的基本原理,在經(jīng)典量子理論的基礎上,研究特征X射線的輻射機理,分析在狹義相對論中電子自旋軌道耦合微擾對特征X射線的Kα輻射波長的影響.

考慮狹義相對論下電子自旋微擾的影響(即考慮電子自旋軌道耦合的影響),在電子庫侖屏蔽的作用下,對原子序數(shù)為z的原子,其K層電子填滿時具有兩個電子,考慮同層電子間的庫侖屏蔽作用,其屏蔽常數(shù)[9]σ1,0,1/2約為1,對其中一個電子,另一個電子近似受到核電荷數(shù)為z-1的庫侖場作用.當K層出現(xiàn)空穴,L層電子向K層躍遷填充時,L層內(nèi)2p1/2態(tài)的電子受到K層電子的庫侖屏蔽作用,其屏蔽常數(shù)σ2,1,1/2約為1,其L層內(nèi)2p3/2態(tài)屏蔽常數(shù)σ2,1,3/2約為1,于是L層2p態(tài)的電子近似受到核電荷數(shù)為z-1的庫侖場作用.

當不考慮電子自旋角動量和軌道角動量相互作用的耦合能量時,核外電子體系的哈密頓算符可表示為

考慮核外電子的屏蔽,則電子庫侖電勢為

其中r為電子到核的距離.

Bohr-Sommerfeld量子化條件為

其中,p為廣義動量,q為廣義坐標.

將(5)式代入(6)式,可得

考慮電子自旋角動量和軌道角動量相互作用的耦合能量.根據(jù)經(jīng)典量子理論,原子核外電子是分層排布的,電子的總角動量由其自旋角動量和軌道角動量共同耦合形成,電子的總角動量[10]算符可表示為

于是,在考慮電子自旋角動量和軌道角動量相互作用時,核外電子體系的含′微擾項的哈密頓算符可表示為

其中,

其中m為磁量子數(shù).

根據(jù)簡并條件下的微擾理論

其中

由于J^2=(L^+S^)2=L^2+S^2+2L^·S^,S^2=

將(18)式代入(17)式,有

如果令

將(5)式代入(20)式可得

于是

將(22)式代入(16)式,可得

在微擾條件下的一級修正能量可表示為

將(21)式代入(24)式,有

由此可見,自旋軌道耦合使原來簡并的能級分裂開來,當n和l(l>0)都確定后,j可以取兩個值即具有相同的量子數(shù)n和l的能級有兩個;而當n=1和l=0時,j只有一個值即 1s1/2態(tài)的電子沒有自旋軌道耦合,因而能級沒有移動.

考慮狹義相對論質(zhì)量μn的影響,于是量子數(shù)為態(tài)的電子能量分別為

將(3)和(7)式分別代入(26)—(28)式,可以得到在狹義相對論中,2p3/2態(tài),2p3/2態(tài)和1s1/2態(tài)的電子能量.

2p3/2態(tài)的電子能量為

2p1/2態(tài)的電子能量為

1s1/2態(tài)的電子能量為

其中,?=1.05×10-34J·s,μ0=9.11×10-31kg,es= 1.52×10-14C,c=3.00×108m/s,σ1,0,1/2=σ2,1,1/2=σ2,1,3/2.

電子由L層躍遷填充K層所形成的特征X射線的Kα輻射過程如圖1所示.

圖1 形成特征X射線的Kα輻射過程簡圖

電子由L層的2p1/2態(tài)和2p3/2態(tài)躍遷填充K層1s1/2態(tài)空穴所形成的X射線波長λ1/2和λ3/2分別表示為

將(32)式代入(1)式,得到計算特征X射線的Kα輻射波長公式

5.結(jié)果及分析

根據(jù)(33)式特征X 射線波長的計算公式,可以理論計算出Mg,Ca,Fe等元素的Kα輻射波長,將計算的各波長分別與文獻[11]的實驗波長相比較,如表1所示.

表1 特征X射線的Kα輻射波長的計算值與實驗值比較

分析表1中的數(shù)據(jù),可以看出,理論計算推導的各元素Kα輻射波長值與它們各自所對應的實驗波長值非常接近,并且隨著原子序數(shù)的增加,兩者間的相對誤差成規(guī)律性的變化.在原子序數(shù)11—40的范圍內(nèi),相對誤差大致在0.5%左右;在原子序數(shù)41—60的范圍內(nèi),相對誤差大致在2.5%左右;在原子序數(shù)61—76的范圍內(nèi),相對誤差大致在6%左右;在原子序數(shù)77—90的范圍內(nèi),相對誤差大致在9%左右.

圖2 特征X射線的Kα輻射波長的計算值與實驗值比較

通過圖2所示的特征X射線的Kα輻射波長的計算值與實驗值比較及變化規(guī)律可以知道,Kα輻射波長的計算值與實驗值兩者之間非常接近,并且隨著原子序數(shù)的增加,它們之間的Kα輻射波長的變化規(guī)律基本上一致.

通過(33)式所推導的計算特征X射線波長的計算公式,可以對物質(zhì)元素進行測定以及對晶體的周期性結(jié)構(gòu)進行理論研究.利用布拉格方程[12]2dsinθ=nλ,如果知道晶體的晶面間距d,掠射角θ,就可以計算特征X射線的波長λ,通過(33)式就可以確定組成靶的各種元素.通過已知的晶體掠射角θ和特征X射線的Kα輻射波長λ,利用布拉格方程就可以計算出晶體的晶面間距d,從而分析晶體的周期性結(jié)構(gòu).

6.結(jié) 論

基于狹義相對論的基本原理,在經(jīng)典量子理論的基礎上,研究了特征X射線的輻射機理,分析了在狹義相對論下電子自旋軌道耦合對特征X射線波長的影響,得到了一個計算特征X射線波長的公式,并且其計算推導的各元素Kα輻射波長值與實驗的波長值相比也是非常接近的,這在實際應用中對分析特征X射線光譜具有一定的參考意義.

[1]Einstein A 1905Annalen der Physik17 891

[2]Quarles C,SemaanM 1982Phys.Rev.A 26 3147

[3]Li J,Dong C Z,Xie L Y 2006Acta Phys.Sin.55 655(in Chinese)[李 杰、董晨鐘、頡錄有2006物理學報55 655]

[4]PauliW 1925Z Physik31 765

[5]Gouds mit SA,Uhlenbeck G E 1925Natur wissenchaften13 953

[6]Einstein A 1905Annalen der Physik17 132

[7]Yu ZQ,Xie Q,Xiao Q Q,Zhao K J 2009Acta Phys.Sin.58 6889(in Chinese)[余志強、謝 泉、肖清泉、趙珂杰2009物理學報58 6889]

[8]Lorentz H A 1904Proc.Roy.Soc.Amst.6 809

[9]PaisA 1986Inward Bound of Matter and Forces in the Physical World(New York:Oxford University Press)p229

[10]ThomasL H 1926Nature117 514

[11]Bearden J A 1967Rev.M od.Phys.39 78

[12]BraggW L 1913Proc.Cam.Phil.Soc.17 43

PACC:3220R

Effects of the spin-orbit coupling on X-ray spectrum in special relativity＊

Yu Zhi-Qiang Xie Quan?Xiao Qing-Quan

(Institute of Advanced OptoelectronicM aterials and Technology,College of Science,Guizhou University, Guiyang 550025,China)

26 April 2009;revised manuscript

29 April 2009)

Based on special relativity,the formation mechanism of characteristic X-ray was studied,and the influence of the spin-orbit coupling on the characteristic X-ray wavelength was analyzed.A calculation formula of the X-ray wavelength based on special relativity is obtained.Error analysis is carried out systematically for the calculation values ofwavelength, and the rules of relative error are obtained.It is shown that the results of the calculation are very close to the experimental results,which have some reference meaning for spectrum analysis of characteristic X-ray in application.

special relativity,characteristic X-ray,spin-orbit coupling,error analysis

＊國家自然科學基金(批準號:60566001,60766002)、科技部國際合作專項基金(批準號:2008DFA52210)、貴州省信息產(chǎn)業(yè)廳基金(批準號:0831)和貴陽市科學技術(shù)計劃(批準號:[2008]15-3)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:qxie@gzu.edu.cn

＊Project supported by theNationalNatural Science Foundation ofChina(GrantNos.60566001,60766002)the Special Foundation for International Cooperation of the Ministry of Science and Technology of China(Grnat No.2008DFA52210),the Foundation of the Infor mation Industry of Guizhou Province,China(GrantNo.0831),and the Science-Technology Program of Guiyang,China(GrantNo.[2008]15-3).

?Corresponding author.E-mail:qxie@gzu.edu.cn