LS解法和Fisher方程行波系統的定性分析＊

李向正 張衛國 原三領

1)(上海理工大學理學院,上海 200093)

2)(河南科技大學理學院,洛陽 471003)

LS解法和Fisher方程行波系統的定性分析＊

李向正1)2)?張衛國1)原三領1)

1)(上海理工大學理學院,上海 200093)

2)(河南科技大學理學院,洛陽 471003)

(2009年4月16日收到;2009年6月26日收到修改稿)

提出了求解非線性發展方程的新方法——LS解法.LS解法是基于(G’/G)展開法和擴展的雙曲正切函數展開法.并引入了Poincaré定性理論的思想,然后以Fisher方程為例進行了試驗.通過定性分析首先獲得了Fisher方程行波系統積分曲線的性質,然后解得了Fisher方程作為耗散系統時單調減少的波前解和作為擴張系統時單調遞增的波前解.一些試驗結果與Ablowitz所得結果一致.也得到了Fisher方程作為擴張系統時的新結果.LS解法是在定性理論指導下,在已獲知解曲線性質的情況下進行精確求解的,求解目標明確.LS解法揭示了線性系統也可以用作輔助方程來求解非線性系統.

Fisher方程,行波解,定性分析,LS解法

PACC:0340K,0420J,0547

1.引言

非線性發展方程(NEE)的精確解(如行波解)具有重要的物理意義和數學意義,它涉及了數學中幾乎所有主流分支,吸引了一大批當代前沿物理學家和數學家對其進行研究[1—18].使用現代數學的理論及方法解決重要的物理問題是理論物理前沿研究的主流[19—23].由于NEE個性突出,求解NEE是困難而具有挑戰性的工作,目前沒有統一的求解方法.近年來,多種獲取NEE精確解的方法被陸續提出,如反散射方法[18]、Hirota方法[24]、Lamb’sAnsatz方法[25]、齊次平衡方法[1,2,26]、Jacobi橢圓函數展開方法[5]、雙曲正切函數展開法[27]及其擴展方法[26]、F展開法[28—31]、線性化解法[32]、(G′/G)-展開法[33—36]等.值得指出的是,擴展的雙曲正切函數展開法、F展開法和線性化解法屬于輔助常微分方程方法[16,37,38](簡稱sub-ODE方法[37]),其要點在于能夠將一個復雜的非線性偏微分方程的行波解表示成簡單、可解的常微分方程(ODE)解的多項式,這個ODE稱為sub-ODE.函數展開方法和輔助方程方法均將NEE的求解問題轉化為非線性代數方程組的求解問題.非線性代數方程組(或稱多元多項式方程組)的求解是非線性科學中最基本的問題之一.吳文俊消元法為非線性代數方程組的求解建立了完整的理論,提供了有效的算法[39,40].

求解NEE的方法都有它的適用范圍.Pavel等[41]指出反散射方法、Hirota方法和Lamb’s Ansatz方法對于帶有耗散項的系統不適用.劉式適等[5]指出,齊次平衡方法、雙曲正切函數展開法及其擴展方法等無法獲得非線性波動方程的周期解,為此提出的Jacobi橢圓函數展開方法解決了求周期解的問題.一種方法對某類問題失效的時候,正是該方法發展或新方法產生的契機.

19世紀初Abel和Galois已經證明了5次及5次以上的多項式一般不能用根式求解.1841年,在Abel的思想基礎上,Liouville證明了一般Riccati方程不能用積分法求解[42,43].這從理論上結束了人們對一般常微分方程求通解的努力,一方面促使人們研究常微分方程的可積性,使此后常微分方程的可積性理論得到了較系統的發展;另一方面,它更促使人們去尋找新的途徑和新方法,從給定微分方程本身可提供的信息來研究其解的性質.Poincaré開創的常微分方程定性理論就是在分析與幾何工具的幫助下,從微分方程本身提供的信息出發,幾何地反映出解曲線的性質[44—48].常微分方程定性理論中的非線性動力系統和分支理論對物理問題的研究起到了重要作用[49—53].中國在定性理論的研究方面居于世界前列[44,54—57].

NEE經行波約化后轉化為非線性常微分方程(NODE),因而求NEE的行波解實際上是求解NODE.在利用定性理論分析精確行波解的動力學行為,判斷精確行波解如何依賴于系統的參數條件,并選擇合適的方法求出重要的行波解方面, Pavel等[41]、李繼彬等[11]、張衛國等[58]和馮兆生[59]已做了一些開拓性的工作.Pavel等[41]利用定性理論分析了平方Fisher方程的靜態解,給出了一些近似解.李繼彬等[11]用相平面方法深入研究了一個非線性色散可積偏微分方程的孤波解和周期波解及其存在的條件,并給出了部分精確解.張衛國等[58]利用Lienard方程給出了幾個判定非線性演化方程孤波解的公式,借助該判別方法和解公式求解了幾個著名的非線性演化方程.馮兆生[59]利用常微分方程定性理論分析了近似Sine-Gordon方程,并利用首次積分法進行了求解.

研究數學物理方程的中心內容是求各類定解問題的解并研究解的性質,使我們對其所描述的自然現象或過程有更深入的認識[6].數學物理方程的解法的選取隨定解問題的不同而有所調整.既然Poincaré定性理論能夠根據微分方程提供的信息判斷積分曲線的性質,我們可以根據獲得的積分曲線的性質選擇解法或構造新的解法,并構造解的Ansatz形式.對固定奇點附近解的性態的研究,將有助于掌握方程解的全局性質.通過方程的固定奇點的解通常與其臨近的其他解具有不同的解析性質和拓撲性質,有其特殊意義[60].在不動點附近,線性項是主項,經常決定非線性方程在不動點附近的性態[61],如線性系統常用來確定不動點的穩定性.

受上述思路啟發,我們將對NEE的行波解進行定性分析,并提出NEE的LS解法.所謂LS解法就是經過對非線性系統作Poincaré定性分析后,根據獲得的積分曲線的性質,選擇對應的平面線性自治系統,再利用該平面線性自治系統向徑的斜率,根據齊次平衡原則來構造NEE的行波解.LS解法的關鍵在于一是選擇線性平面自治系統做輔助,二是利用平面線性自治系統向徑的斜率來構造解.因而我們抽取“線性”和“斜率”這兩個關鍵詞來命名LS解法.

下面以平方Fisher方程為例來進行定性分析并展示LS解法的思想.

2.Fisher方程背景簡介及研究進展

反應擴散方程涉及的大量問題來自物理學、化學和生物學中眾多的數學模型,具有豐富的實際背景,其中著名的反應擴散方程之一是Fisher方程[62—67]

這類方程建立了人口中有利基因的傳播以及調節單雙分子化學反應擴散的動力學模型,其中D,a,b是非負系數.Fisher方程被廣泛應用于人口增長模型、熱傳導、神經生理學、自身催化的化學反應、布朗運動過程和核反應理論.Fisher方程還可用來描述流體力學、等離子體物理和傳染病傳播等問題中的非線性現象[64].更多有關Fisher方程的信息參見文獻[41,65,66].

本文考慮正規化Fisher方程[67,68]

在化學媒介中函數u(x,t)指反應物濃度,因而u(x, t)≥0.作為描述人口中有利基因傳播的動力學模型[62],Fisher于1937年提出Fisher方程.直到1979年,Ablowitz和Zeppetella[67]首先注意到Fisher方程(1)具有Painleve性質,然后他們利用Laurent展開獲得了方程(1)的一個精確行波解.文獻[63]將有限差分方法和配置法相結合給出了Fisher方程的數值解.文獻[64]用待定系數法得到了Fisher方程的新的行波解及行波波速.文獻[41,65—67]均只考慮了Fisher方程波速c>0的耗散系統,而沒有考慮c<0的擴張系統[68].

3.Fisher方程行波約化和對應的行波系統

我們要尋找Fisher方程(1)的行波解

其中常數c為波速.將(2)式代入方程(1)得q滿足的常微分方程

方程(3)為Lienard方程.令y1=q,˙y1=y2,則方程(3)等價于系統

設V=(˙y1,˙y2),則散度當c=0時,divV=0,Fisher方程(1)為保守系統;當c>0時,divV<0,Fisher方程(1)為耗散系統;當c< 0時,divV>0,Fisher方程(1)為擴張系統.當物質反應產生后向外擴散時,反應物濃度將單調遞增,因而研究Fisher方程(1)作為擴張系統時單調遞增的波前解也具有重要的意義.

4.系統(4)的奇點及其類型判定

系統(4)有兩個有限奇點(0,0),(1,0).根據常系數線性系統奇點的參數判定法和Perron定理[44],(1,0)點不論c取何值始終為鞍點;當c>2時,(0,0)點是穩定結點;當c=2時,(0,0)點是穩定退化結點;當0

根據中心-焦點判定中的對稱原理[44],當c=0時,(0,0)點是中心.

考慮到Fisher方程(1)的物理意義,要求濃度q≥0,因而(0,0)點不能為焦點.波速c=0時Fisher方程表示靜態解的變化,因而我們也不考慮(0,0)點為中心的情況.

無窮遠奇點及特殊分界線有助于我們分析系統有限區域的動力學行為.系統(4)經Poincaré變換(y1,y2)=(1/z,u/z)后不存在(u＊,0)型的奇點,而經變換(y1,y2)=(v/z,1/z)后所得系統中D(0, 0)點為Lyapunov型奇點中的結點.z=0為Poincaré變換后所得系統的解.

5.系統(4)的特殊積分曲線及LS解法

顯然,系統(4)的奇點對應平衡解(y1,y2)= (0,0)和(y1,y2)=(1,0),而y1=0(y2軸)和y2=0 (y1軸)不是解.

從前面的定性分析可知,系統(4)當參數c≤-2時存在連結(0,0)點和(1,0)點的y2>0的有界軌線,當參數c≥2時存在連結(1,0)點和(0,0)點的y2<0的有界軌線.我們用LS解法來試驗求解這兩類有界軌線.

根據齊次平衡原則[1,2,26,28—36],設系統(4)有如下形式的解:

其中k=z2/z1,z1,z2滿足平面線性自治系統

(5),(6)式中μ>0為待定常數,線性系統(6)的解易于求出,其奇點(0,0)為鞍點類型,系統(6)中軌線向徑的斜率k為

其中A1,A2為任意常數.

將(5)式代入系統(4)中,利用(6)式可知(4a)式自動成立,(4b)式變成關于k的多項式方程,令k的各冪次項的系數等于0,得到關于a0,a1,a2,c和μ的代數方程組(n代表k的冪次)

解上述方程組得四組解

將(8a)—(8d)四組解分別代入(5)式,結合(7)式可得到系統(4)的精確行波解

其中

若取A =0,即得

其中

若取A2=0則得

(y1,y2)6對應的解2與文獻[67]中的結果一致.

當c=56/6時,系統(4)作為耗散系統存在有界精確解(0,0),(1,0)和(y1,y2)6,其中(y1,y2)6為從奇點(1,0)運動到奇點(0,0)的有界軌線.

當c=-5 6/6時,系統(4)作為擴張系統存在有界精確解(0,0),(1,0)和(y1,y2)4,其中(y1,y2)4為從奇點(0,0)運動到奇點(1,0)的有界軌線.

6.結論

本文提出了新的求解平面自治系統的LS解法,并將其融入Fisher方程行波解的定性分析之中,研究了Fisher方程行波解的豐富的動力學行為.LS解法利用線性平面自治系統向徑的斜率來構造非線性平面自治系統的解,這是此方法的新穎之處.在定性理論中,線性自治系統可以用于判斷奇點的類型,還可以用于確定不動點的穩定性.LS解法進一步揭示了一些線性自治系統也可以用作輔助方程來求解非線性自治系統.而線性平面自治系統的動力學性質及解的情況已是眾所周知的知識.LS解法中用于輔助的線性平面自治系統如何選取,要依賴于對非線性平面自治系統的定性分析,這方面的工作今后值得進一步研究.LS解法所得到的精確解仍是有限的,因而對Fisher方程的求解需引入更多的求解方法.

感謝王明亮教授和張金良教授對本文工作提出了建設性意見.

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PACC:0340K,0420J,0547

LS method and qualitative analysis of traveling wave solut ions of Fisher equation＊

Li Xiang-Zheng1)2)?ZhangWei-Guo1)Yuan San-Ling1)

1)(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)
2)(College of Science,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471003,China)

16 April 2009;revised manuscript

26 June 2009)

LS method,a new method for solving nonlinear evolution equations,is proposed.It is based on the(G′/G)–expansion method and the extended hyperbolic tangent function method,and the Poincaré’s qualitative theory is also led in.Then Fisher equation is tested as an example.The properties of integral curves for traveling wave system of Fisher equation are obtained through qualitative analysis,and then a monotonically decreasing wave-front solution of Fisher equation as a dissipative system and a monotonically increasing wave-front solution of Fisher equation as an expansion system are obtained too.Some results agree with that ofAblowitz et al.and some new results for Fisher equation are also obtained as an expansion system.The LS method is used to look for the exact solutions under the condition that the property of solution curves have been obtained through the qualitative analysis,and the target is clear.The LSmethod also reveals that a linear system can also be used as auxiliary equations to solve nonlinear systems.

Fisher equation,traveling wave solution,qualitative analysis,LS method

＊國家自然科學基金(批準號:10871129)、上海市重點學科建設計劃(批準號:S30501)和上海市研究生創新基金(批準號: JWCXSL090114)資助的課題.

?E-mail:lylxz@mail.haust.edu.cn

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10871129),the Shanghai Leading Academic Discipline Program,China(GrantNo.S30501),and the Innovation Fund for Graduate Student of Shanghai,China(GrantNo.JWCXSL090114).

?E-mail:lylxz@mail.haust.edu.cn