一個新的恒Lyapunov指數譜混沌吸引子與電路實現＊

李春彪 王翰康 陳 謖

1)(江蘇經貿職業技術學院工程技術學院,南京 210007)

2)(江蘇省食品安全工程技術研究開發中心電源與系統部,南京 210007) 3)(南京理工大學電子工程與光電技術學院,南京 210094)

一個新的恒Lyapunov指數譜混沌吸引子與電路實現＊

李春彪1)2)3)?王翰康2)陳 謖3)

1)(江蘇經貿職業技術學院工程技術學院,南京 210007)

2)(江蘇省食品安全工程技術研究開發中心電源與系統部,南京 210007) 3)(南京理工大學電子工程與光電技術學院,南京 210094)

(2008年12月26日收到;2009年6月9日收到修改稿)

通過對改進恒Lyapunov指數譜混沌系統進行進一步演變,并引入新的絕對值項,發現了一種新的混沌吸引子.首先,通過相圖、Poincaré映射、Lyapunov指數以及功率譜,證明該混沌吸引子的存在性.接著,分析研究了這種新型混沌吸引子的基本動力學行為.Lyapunov指數譜、分岔圖和狀態變量幅值演變的數值仿真說明,該系統存在全局線性調幅參數,在該參數的調整下,系統輸出三維信號的幅度皆能得到線性調整,而系統保持相同的混沌吸引子與Lyapunov指數譜.最后,通過構建電路實現了該混沌系統,觀察到相應的混沌吸引子,也驗證了全局線性調幅參數的調幅作用,數值仿真與電路實現有很好的一致性.

混沌吸引子,Lyapunov指數譜,電路實現

PACC:0545

1.引言

近年來,隨著人類對混沌吸引子現象的不斷探索,對其動力學行為和基本特性的逐步了解,混沌在工程領域中的應用已取得了一定進展,并在混沌加密、保密通信、混沌雷達等領域成為研究熱點[1—4].混沌研究的內容很多,其中重要的研究課題包括混沌信號的產生與處理、混沌系統的動力學行為分析、混沌同步、混沌電路設計及其應用[5—7]等.混沌電路實現與混沌系統設計因其具有工程應用背景和實證價值而具有更加顯著的地位,因此,現在許多學者在提出一個新的混沌系統的同時,也給出正確可行的電路實現方案,給出電路實驗的實際結果[8—11].

常見的Lorenz系統[12,13]、R?ssler系統[14]、Chen系統[15]、Lü系統[16—18],及其他新的混沌系統[8—11,19],它們的混沌特性受到系統任意一個參數的很大影響,參數的變更與誤差會改變系統的動力學行為,使得系統相軌收斂于不動點,抑或是處于周期、擬周期甚至混沌振蕩狀態等,即便對于魯棒混沌系統也只是在一個相對較大的參數區間范圍保持混沌的魯棒性[20].Li等[21,22]在Colpitts系統的基礎上,提出一類恒Lyapunov指數譜混沌系統,通過起分段線性作用的絕對值項來實現非線性化.分析發現,這類系統存在作用特殊的調幅參數[21,22]與倒相參數[22].在調幅參數的作用下,系統的部分[21]或者全部狀態變量[22]幅值線性可調,系統保持相似的混沌吸引子與相同的Lyapunov指數譜;在倒相參數的作用下,則可以實現對某個狀態變量的倒相放大或者衰減[22].這就省去了工程應用中對混沌信號進行同相(或者反相)放大(或者縮小)時的硬件需求,也避免了許多由于增加硬件設備而增加的工程難度、成本與故障.Li等提出的恒指數譜混沌系統的混沌魯棒特性、輸出信號的幅值同相可調與反相可調特性在很大程度上滿足了工程應用的要求.

文獻[23]通過添加線性項與常數項,對改進的恒指數譜混沌系統[22]進行了進一步推廣.推廣恒指數譜混沌系統通過系統方程中的線性項之不同組合,可以輸出許多有較大變異性的吸引子[23].本文對Li等提出的恒Lyapunov指數譜混沌系統[21—23]繼續進行深入研究,在改進系統[22]的基礎上,通過添加常數項與線性項,調整與添加實現非線性作用的絕對值項,進而得到一個新的恒Lyapunov指數譜混沌吸引子.該混沌吸引子具有與恒指數譜混沌系統[21—23]不同的平衡點個數與拓撲結構,具有較大的Lyapunov指數和較平坦的頻譜,吸引子的形狀也更加奇特.進一步構建了此混沌系統的實際實現電路,在物理實驗上驗證了該混沌吸引子的存在性,也驗證了此恒指數譜系統中存在的調幅參數對系統狀態變量的調幅作用.在實現過程中利用三端可調輸出電壓穩壓器對電源供電進行統一管理,并通過改變電容量的數量級提高混沌信號的頻率.此混沌信號發生器系統的吸引子幅度可調,為該電路的實際應用同樣奠定了良好的應用基礎.

2.混沌模型

文獻[22]提出一種改進恒Lyapunov指數譜混沌系統,

當a=3,b=0.4,c=1.62,d=3時,系統呈現混沌狀態,并指出全局線性調幅參數d可以線性調整系統狀態變量幅值,而系統保持恒定的Lyapunov指數譜.出現這一現象的根本原因是由于該系統所呈現的線性化特征.分析研究發現[22],上述系統方程僅僅含有一個絕對值非線性項,而絕對值項的作用又可以轉化為兩個一次線性項的作用.因此,系統狀態變量幅值的變化就與常數項控制器d的尺度變換相對應;同時,線性化系統所得Jacobi矩陣中沒有出現常數d,故特征方程中也不會出現d,對應的特征值將與d的取值無關,所以d不影響系統在相空間上各點處的動力學特性,系統的Lyapunov指數譜相對于d保持不變.根據這一分析可以推斷,在改進系統上添加新的線性項與常數項,改變系統方程中的絕對值項或者添加新的絕對值項,一定可以類似得到具有恒定Lyapunov指數譜的新的混沌吸引子.為此,仿照推廣混沌系統[23],在改進混沌系統[22]方程的右邊補齊線性項與常數項,同時對系統方程第一維的絕對值項進行調整,并在第二維增加

圖1 奇怪吸引子在相平面上的投影 (a)x-y平面,(b)x-z平面,(c)y-z平面

新的絕對值項,得到如下系統:

當上述系統參數a=0.4,b=0.4,c= 1.62,d=1,g=-0.05,h=-0.25,m=0.4, n=-0.05時,系統(2)呈現混沌狀態,其混沌吸引子如圖1所示,這是一種非常奇特的吸引子; Poincaré映射如圖2所示;圖3所示分別為該混沌系統輸出的混沌信號和相應的功率譜.同樣利用Jacobi方法,計算得到系統的Lyapunov指數分別為LE1=0.1511,LE2=-0.0048,LE3=-0.6463,相比于只是含有一個絕對值項的混沌系統而言,此含有兩個絕對值項的混沌系統的最大Lyapunov指數明顯較大,超過0.15.計算得到Lyapunov維數為dL=2.2264,也證明該系統的維數為分數維數.系統相軌跡圖、Poincaré映射、頻譜圖以及系統Lyapunov指數和分數維等一致說明,當系統取上述參數時,該系統為混沌系統;且相比于改進混沌系統[22]和推廣混沌系統[23],該系統具有更復雜的吸引子,具有更大的Lyapunov指數和更平坦的頻譜特性.

圖2 在z=-0.5截面上的Poincaré映射

圖3 系統產生混沌信號與功率譜 (a)產生的混沌信號y(t),(b)信號y(t)的功率譜 (f代表頻率,F代表信號的幅值)

3.混沌系統動力學行為分析

3.1.基本動力學特性分析

由于系統(2)的第一維與第三維狀態方程中都包含絕對值項,故當a,b,c,d,g,h,m,n取合適的值時,系統存在4個平衡點分別為

當a=0.4,b=0.4,c=1.62,d=1,g= -0.05,h=-0.25,m=0.4,n=-0.05時,系統(2)就存在四個平衡點分別為

這一點有別于改進系統(1),因為改進系統只有兩個平衡點.增加的絕對值項使得新系統具有了新的拓撲結構.將系統(2)在平衡點處線性化,Jacobi矩陣為

由Jacobi矩陣所對應的特征方程可求得各個平衡點的特征根.對于平衡點S1,特征根為

對于平衡點S2,特征根為

對于平衡點S3,特征根為

對于平衡點S4,特征根為

可見,對于平衡點S1與S4,其所對應的特征根λ3為正實根,而λ1和λ2是一對具有負實部的共軛復根,故平衡點S1與S4是不穩定的,皆為三維空間中的鞍點.對于平衡點S2與S3,其所對應的特征根λ3為負實根,而λ1和λ2是一對具有正實部的共軛復根,平衡點S2與S3也是不穩定的,是鞍焦點.

3.2.Lyapunov指數譜與調幅性能分析

分析Jacobi矩陣(3),其中的符號函數屏蔽了x,z坐標的具體取值,而只是保留了x,z坐標的極性信息.所以無論對于哪個平衡點(x,z有四種正負組合),d都不在其特征方程中.因此,d與平衡點處的特征值取值無關.同樣的道理,d也與相空間其他點處的特征值取值無關,故d與系統的Lyapunov指數的取值無關,系統相對于這一參數將保持不變的Lyapunov指數譜.不妨將系統的初始值設定為(0, 0,0),固定參數a=0.4,b=0.4,c=1.62,g= -0.05,h=-0.25,m=0.4,n=-0.05,系統相對于常數項控制器d的Lyapunov指數譜如圖4 (a)所示.由圖4(a)可見,當常數項控制器增益d在正實數區間范圍內調整時,混沌系統(2)保持混沌狀態,且具有近似不變的Lyapunov指數譜,約是LE1=0.1511,LE2=-0.0048,LE3=-0.6463.Lyapunov指數譜的實際計算會受到計算精度和系統初始值的影響而圍繞固定值上下起伏,這是正常現象,與前面的理論分析并不矛盾.

雖然混沌系統(2)含有兩個絕對值項,仍可仿照改進混沌系統[22]作線性變換,即令x=kx＊, y=ky＊,z=kz＊,從而得到

從(4)式亦可知,混沌系統三個狀態變量的線性演變與常數項控制器增益d的尺度變化相對應.因此,系統(2)的常數項控制器d能夠線性調整系統狀態變量的演變幅值,也就是新混沌系統仍然存在全局線性調幅參數d.固定參數a=0.4,b=0.4,c= 1.62,g=-0.05,h=-0.25,m=0.4,n=-0.05不變,改變常數項控制器增益d時的分岔圖、信號幅值變化情況曲線如圖4(b)—(d)所示,證明了常數項控制器增益d的全局線性調幅作用.

固定d=1,g=-0.05,h=-0.25,m=0.4, n=-0.05不變,利用數值仿真手段,分析系統其他幾個參數變化時的Lyapunov指數譜,如圖5所示.由圖5可知,當b=0.4,c=1.62,a在區間[0.37, 0.52]改變時,系統為混沌狀態的參數a區間為[0.37,0.41];當a=0.4,c=1.62,b在區間[0.35,0.95]改變時,系統為混沌狀態的參數b區間為[0.39,0.5];當a=0.4,b=0.4,c在區間[1.07,1.67]改變時,系統為混沌狀態的參數c區間為[1.525,1.625].同樣,系統變幅參數d的正實數可調區間,以及參數a,b,c的較寬混沌區間,保證了該混沌系統的工程應用價值,因為根據這些參數可以設計合適的混沌電路,并保證該電路輸出混沌信號的魯棒調幅.

圖4 混沌系統(2)的Lyapunov指數譜與信號幅度變化情況 考察區間d∈[0.1,10.1].(a)Lyapunov指數譜, (b)y-d分岔圖(Poincaré截面為x=0),(c)z-d分岔圖(Poincaré截面為x=0),(d)參數d變化下的信號幅值變化曲線

圖5 混沌系統(2)的Lyapunov指數譜 (a)b=0.4,c=1.62,a∈[0.37,0.52];(b)a=0.4,c=1.62,b∈[0.35,0.95];(c)a=0.4,b=0.4,c∈[1.07,1.67]

4.電路實現

圖6為混沌系統(2)的電路實現原理圖,三路模擬運算電路組成了該電路的基本框架,每路運放電路分別實現混沌系統(2)中的狀態變量x(t), y(t),z(t).圖6中由運放與二極管連接成的反饋電路完成絕對值運算,其他運算放大器及其外圍電路用來實現加、積分、反相運算等,這里運放構成了混沌信號產生電路的核心器件.根據電路容易建立如下方程:

圖6 混沌系統(2)的電路實現原理圖

根據系統特點,為使參數取值為a=0.4,b= 0.4,c=1.62,g=-0.05,h=-0.25,m= 0.4,n=-0.05,同時盡可能使得元件參數與實際元件標稱值接近,這里統一選取C1=C2=C3= 1μF,R5=R10=R17=20 kΩ,R4=R9=R16=390 Ω;另外針對系數不同選取R1=R32=12.037 kΩ, R2=R28=R29=19.5 kΩ,R3=R8=R15=R26= 48.75 kΩ,R24=R27=390 kΩ,R25=78 kΩ,R13= R14=15.6 kΩ.設置所有的反相器的電阻都是1 kΩ.將這組參數代入到電路方程,可以驗證,得到的電路數學方程與混沌系統(2)的數學表達式完全一致.V1,V2,V3的值的大小直接決定了d的大小,也決定了吸引子的大小.當V1=V2=V3=1 V時,d=1.

為了獲得大的動態電壓工作范圍,在實際實驗電路中,如圖7所示,選擇LM741作為實驗電路中的運放,這種運放雙電源供電,供電電壓可以達到±22 V,且在正負兩極有著較大的動態工作范圍,差分輸入電壓可達±30 V,任意單端輸入電壓可達±15 V,如此將便于觀察、驗證全局線性調幅參數d線性調整系統輸出混沌信號幅值演變的作用與效果.對照原理圖,發現實際實驗電路中的運放是14個而不是12個,這是因為此電路額外用兩個運放使-|y|也能實現,以使系統具有更多的驗證功能和演變靈活性.

當然,采用上述元件參數所實現的電路混沌信號頻率不足1 Hz,一般的模擬示波器很難清楚顯示混沌信號的波形,為提高頻率,這里同樣將電容減小[22].在實際電路中,如圖7的左上角所示,將電容1μF的C1,C2,C3,調整為C1=C2=C3=1000 pF,也就是將頻率放大為原來的k=1000倍,同時調整V1=V2=V3=d至同一合適的水平(d的大小決定了信號幅值與吸引子的大小,影響測量效果),利用示波器TDS2022B可以清晰觀察到連續而穩定的混沌波形,如圖8所示.且通過Hanning窗觀察到的信號頻譜也與數值仿真結果一致,也能在示波器上觀察到與數值仿真一致的混沌吸引子,如圖9所示.容易證明,當所有電容都縮小為原來的1/k,其他參數都不作改變時,電路的系統方程變為系統表達式(2)與(6)比較顯示,系統狀態變量變化的速度提高到了原來的k倍.

圖7 系統(2)的實際實驗電路

圖8 實驗電路輸出信號及其頻譜 (a)波形圖,橫坐標25 ms/diV,縱坐標1 V/diV;(b)頻譜圖,橫坐標500 Hz/diV,縱坐標10 dB/diV

圖9 電路實驗觀測到的混沌吸引子 每格1 V電壓.(a)x-y平面投影,(b)x-z平面投影,(c)y-z平面投影

對于上述實驗系統(見圖7),還需要說明的是: 1)由于運放μA741管腳配置與運放LM741兼容,且有同樣大的供電電壓與輸入信號電壓動態范圍,因此兩者可以選擇互用.2)采用三端可調正輸出電壓穩壓器LM317與三端可調負輸出電壓穩壓器LM337,目的是簡化電路的電壓供給,統一電源的管理.LM317正輸出電壓可穩定在1.2—37 V之間,而LM337負輸出電壓可穩定在-1.2—37 V之間.每個穩壓器電路配套一個電位器,只要選擇合適的電位器,就可以將輸出電壓調整到相應的值.實驗系統需要±22 V兩個電壓給運放供電,需要+V1, -V2,-V3來實現系統方程中的常數項+d,-d,-d(當然,也可以將后面的兩個-d用同一個電源供電,這里分開處理是為了便于更多驗證),故共需2個正輸出電壓穩壓器LM317和3個負輸出電壓穩壓器LM337,并配以5個電位器,如圖7所示.3)為了取得好的實驗效果,實驗系統中絕對值運算電路采用的二極管最好是結電容很小且正向壓降很小的點接觸型鍺管.當然,將d提高,即將可調電壓V1=V2=V3同時調高也可以減少二極管導通電壓門限給絕對值運算帶來的影響[22].

為了驗證混沌系統(2)的全局線性調幅參數d的恒Lyapunov指數譜調幅作用,在實驗電路中同步調整可調電壓V1,V2,V3(V1=V2=V3=d),這等價于調整電壓轉換電路中相應的可調電位器.實驗證明,調整電位器,調大調幅參數d,便能看到系統輸出的混沌吸引子也在增大.如圖10所示,混沌吸引子的形狀保持不變,只是大的吸引子顯得更加飽滿一些,末梢顯得突出一點.調整過程中,必須注意運算放大器的工作電壓范圍和飽和特性,d不能過大.

圖10 實驗觀測到的增大的混沌吸引子 每格1 V電壓.(a)x-y平面投影,(b)x-z平面投影,(c)y-z平面投影

5.結 論

圍繞改進的恒Lyapunov指數譜混沌系統[22],通過在系統方程中補齊線性項與常數項[23],并調整與添加非線性項,發現了一個新的更復雜的混沌吸引子.新的混沌系統具有4個平衡點,與原恒指數譜系統具有不同的拓撲結構.文章分析了該混沌系統的指數譜特性與調幅特性,并分析了其他參數演變時對系統動力學行為的影響.設計了一個模擬電路,并在PCB板上完成了實際實驗電路,實現了該混沌系統.在物理實驗中觀測到了混沌波形、頻譜與新奇的混沌吸引子,并驗證了調幅參數的實際調幅作用,電路實驗和數值仿真之間具有很好的一致性.新的含有兩個絕對項的恒指數譜、幅度可調混沌系統對于超混沌恒指數譜系統的設計與實現具有重要的參考價值.

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PACC:0545

A novel chaotic attractorwith constantLyapunov exponent spectrum and its circuit implementation＊

Li Chun-Biao1)2)3)?Wang Han-Kang2)Chen Su3)

1)(Department of Engineering Technology,Jiangsu Institute of Econom ic&Trade Technology,Nanjing 210007,China)
2)(Department of Electric Source and System,Jiangsu Research&Development Center of Food Safety Engineering Technology,Nanjing 210007,China)
3)(School of Electronic Engineering and Optoelectronic Techniques,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

26 December 2008;revised manuscript

9 June 2009)

Based on the further evolvement of the improved chaotic system with constant Lyapunov exponent spectrum,by introducing an absolute term in the dynamic equation,a novel chaotic attractor is found in this paper.Firsty,the existence of chaotic attractor is verified by simulation of phase portrait,Poincarémapping,and Lyapunov exponent spectrum. Secondly,the basic dynamical behaviour of the new system is investigated and expounded.Simulation of Lyapunov exponent spectrum,bifurcation diagram and numerical analysis on amplitude evolvement of state variables show that the state variables of the chaotic system can be modified linearly by a global linear amplitude adjuster while the Lyapunov exponent spectrum keeps on stable and the chaotic attractor displays the same phase portrait.Finally,an analog circuit is designed to implement the new system,the chaotic attractor is observed and the action of global linear amplitude adjuster is verified,all of which show a good agreement between numerical simulation and experimental results.

chaotic attractor,Lyapunov exponent spectrum,circuit implementation

＊江蘇省“青藍工程”(批準號:蘇教師[2008]30號)和航空基金(批準號:2009ZC52038)資助的課題.

?E-mail:goontry@126.com

＊Project supported by Qing Lan Project of Jiangsu Province,China(Grant No.[2008]30)and the Aeronautical Science Foundation of China (GrantNo.2009ZC52038).

?E-mail:goontry@126.com