一種基于分數階傅里葉變換的改進圖像加密算法

崔得龍, 肖 明, 左敬龍

（茂名學院計算機與電子信息學院,廣東茂名 525000）

分數階傅里葉變換（FRFT,Fractional Fourier Transform）作為傳統傅里葉變換的廣義形式,其實質是一種統一的時頻變換,與常用二次型時頻分布不同的是它沒有交叉項困擾,且可以理解為chirp基分解,因此,FRFT成為近十多年來信號處理領域的研究熱點之一。目前,FRFT作為一種嶄新的時頻分析工具和旋轉算子為信號處理領域的研究人員所廣泛接受,在目標檢測、信息安全和信號處理[1-3]等領域已得到了初步應用。

針對目前基于分數階傅里葉變換圖像加密算法的不足,設計了一種基于FRFT的改進圖像加密新算法。算法重新設計了基于FRFT圖像加密算法的流程圖,將經過FRFT加密后的圖像再進行置亂加密。理論分析和實驗結果表明該算法在不增加算法復雜性的同時,提高了其安全性。

1 分數階傅里葉變換理論

信號 x（t）的FRFT定義為[4]:

式中:p為FRFT的階,可以為任意實數;α=pπ/2為FRFT的算子符號;Kp（t,u）為FRFT的變換核:

FRFT的逆變換為:

FRFT域也稱為u域,而時域和頻域則可視為FRFT域的特例。

離散形式的分數階傅里葉變換（DFRFT,Discrete Fractional Fourier T ransform）需通過限定輸入輸出采樣間隔來保持DFRFT變換核的正交性,從而使經過正反兩次變換后得到的序列和原序列完全一致[5]。即對FRFT的輸入輸出分別以間隔 Δ t和Δ u進行取樣,當FRFT域的輸出采樣點數M≥時域采樣點數,并且采樣間隔滿足:

為了簡化計算,通常取M=N,這樣,當α≠Dπ時,上式可以寫成如下矩陣形式:

同樣,逆變換可以寫為:

2 目前算法存在的不足

文獻[6]提出一種基于分數階傅里葉變換的圖像加密算法,算法將原始圖像乘以隨機相位掩膜后進行2DFRFT變換得到加密圖像。文獻[7]提出一種基于分數階傅里葉變換的指紋圖像加密算法,算法中使用4次隨機相位掩膜和5次FRFT變換得到加密圖像。目前此類算法的安全性只取決于FRFT階數和用戶密鑰生成的隨機相位掩膜,所存在的不足主要有:

（1）密鑰空間小。分數階傅里葉變換的階數以4[4]為周期,其密鑰空間為103,抵抗窮舉攻擊的能力較差;

（2）加密圖像對密鑰的敏感性較差。以圖1為例進行說明,圖1（a）為FRFT的加密圖像,圖1（b）為錯誤隨機密鑰下恢復的解密圖像,可見即使在錯誤的隨機相位掩膜下,仍可恢復原始圖像的部分信息。

（3）加密圖像的系數分布均勻性差。根據Walsh圖像置亂程度評價函數,加密圖像的系數分布越均勻,即加密圖像的Walsh變換能量越集中左上角一點處,圖像加密的效果越好。圖1（c）為利用FRFT加密圖像中心區域1/4系數恢復的原始圖像,圖1（d）為利用FRFT加密圖像中心區域1/16系數恢復的原始圖像。從圖中可見,只利用加密圖像中很少一部分系數即可恢復出原始圖像的大部分內容,即加密圖像的系數分布均勻性差。

圖1 FRFT圖像加密算法安全性分析

3 改進的圖像加密算法

針對目前算法存在的不足,設計了一種基于分數階傅里葉變換的改進圖像加密新方案。方案的加密/解密流程圖如圖2所示。

圖2 圖像加密/解密流程圖

加密過程描述如下:

（1）將原始圖像I如圖3（a）所示進行FRFT域雙隨機相位加密,即首先將I與隨機相位掩膜MASK1=exp[i2π n（x,y）]相乘后經過階為（α1,β1）的分數階傅里葉變換,得到圖像 I′,然后將再I′與隨機相位掩膜 MASK2=exp[i2π h（x,y）]相乘后經過階為（α2,β2）的分數階傅里葉變換,其中 n（x,y）和h（x,y）為用戶密鑰k1,k2生成的[0,1]范圍內均勻分布的隨機數,得到圖像I″;

（2）設定初始值 x0和參數μ,利用Logistic混沌映射生成置亂矩陣 T（x,y）,x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1,將圖像I″代入下式生成最終加密圖像C,其實部和虛部分別如圖3（b）,（c）所示。

其中t（x,y）為置亂矩陣 T在（x,y）處的元素值。與其它置亂算法相比較,混沌映射具有對參數敏感以及密鑰空間大等優點,其在較少置亂次數下就能達到很好的置亂效果,與其它置亂算法的比較如表1所示[7]。

解密過程為加密過程的逆過程,為了得到原始圖像I,加密圖像C首先利用置亂矩陣T進行反置亂得到圖像I″,然后經過階為（-α2,-β2）的分數階傅里葉變換后乘以隨機相位掩膜MASK3=exp[-i2π h（x,y）]得到圖像I′,然后再經過（-α1,-β1）的分數階傅里葉變換后乘以隨機相位掩膜 MASK4=exp[-iπ n（x,y）]后得到原始圖像I,如圖4（a）所示,其中 n（x,y）和 h（x,y）的生成與加密過程相同。

圖3 加密圖像示例

表1 各種置亂變換的比較

4 算法分析

圖像加密算法的安全性取決于密鑰空間的大小、加密圖像對密鑰的敏感性及算法的復雜性,下面逐一進行分析。

（1）密鑰空間

根據改進的圖像加密方案,加密過程采用的密鑰包括:生成隨機相位掩膜中的參數k1和k2（設參數由10位數字組成,則密鑰空間數量級為1010）;FRFT的階α1,2和 β1,2（密鑰空間數量級為103）;混沌映射中的 x0（密鑰空間數量級為1015）和μ（密鑰空間數量級為1013）。因此總密鑰空間達到1060,可見該算法密鑰空間巨大,能夠抵抗非授權用戶在規定時間內的窮舉攻擊。

（2）加密圖像對密鑰的敏感性

設定不同的混沌映射初始條件 x0和 μ,其它所有參數都相同的條件下恢復的原始圖像如圖4（b）所示;設定用戶加密密鑰k1=1234567890,解密密鑰k1=1234567891,其它所有參數都相同的條件下的解密圖像如圖4（c）所示;設定加密階（α1=1.4149,β1=1.751）,解密階（α1=1.4149,β1=1.761）,其它所有參數都相同的條件下的解密圖像如圖4（d）所示。從實驗結果可以看出,密鑰的細微改變都會對解密圖像產生很大影響,即該算法對密鑰是敏感的。

圖4 解密圖像示例

5 結束語

針對目前基于分數階傅里葉變換的圖像加密算法中存在的不足,設計了一種圖像加密改進算法。算法重新設計了基于FRFT圖像加密算法的流程圖,將原始圖像經過雙隨機相位加密后再進行混沌置亂映射。理論分析和模擬實驗結果表明該方案不僅解決了之前算法存在的不足,而且具有密鑰空間巨大、加密圖像對密鑰敏感等特性,是一種安全、有效的圖像加密方案。

[1] Sun Hongbo,Liu Guosui,Gu Hong.Application of fractional fourier trans form to moving target detection in airborne SAR[J].IEEE Transaction Onaero space and Electronic Systems,2002,38（3）:1416-1424.

[2] Igor Djurovic.Srdjan Stankovic Bannis Pitas.Digital watermarking in the fractional Fourier transformation domain[J].Journal of Network and Computer Applications,2001,24:167-173.

[3] SooChang Pei,JianJiun Ding.Relations between fractional operations and time-frequency distributions and their application[J].IEEE Trans,2001,49（8）:1638-1655.

[4] 陶然,齊林,王越.分數階Fourier變換的原理與應用[M].北京:清華大學出版社,2004.

[5] Soo-Chang Pei,Jian-Jiun Ding.Closed-form discrete fraction and affine Fourier transforms[J],IEEE Transon Signal Processing,2000,48（5）:1338-1353.

[6] 張兆祥,田沛.基于分數階傅立葉變換的圖像加密研究[J],儀器儀表用戶,2007,14（5）:87-88.

[7] 劉家勝.基于混沌的圖像加密技術研究[D].合肥:安徽大學,2007.