多元回歸模型的灰色改進

韓 靜,王舒鴻，楊 力

(1.淮南職業技術學院 經濟管理系，安徽 淮南 232001；2.南開大學 經濟學院數量經濟研究所，天津 300071；3.中國科技大學 管理學院，合肥 230026)

0 引言

回歸分析是定量分析的重要統計方法，能夠研究客觀事物的相互關系，測定它們聯系的緊密程度，以揭示其變化的具體形式和規律。回歸模型需要原始數據有足夠的樣本量，但有時樣本量較少的時候，就無法進行回歸建模。而灰色理論正是針對少數據，弱噪聲的數據建模，從而有效的彌補了回歸模型的不足。根據這種方法，本文擬對2001～2005年工業總產值進行建模，以期為經濟預測和宏觀調控政策的制定提供一種值得探討和實踐的新途徑。

1 灰色預測模型的引入

灰色模型是利用微分方程給出系統生成序列長期、持續的變化過程，這一過程通過生成序列轉換得到，生成序列指減弱原序列隨機性后的序列，還原生成序列就得到系統趨勢作用。

在對數據進行預測時需要研究與該組數據相關的各種因素的影響，但是有些因素是難以確定或者說是難以量化的，我們稱之為灰色的。

由于原始數據的觀測受到噪聲干擾，使得觀測值X（0）與真實值 X（0）有偏差 ε（0），且

要把握真實值 X（0），就必須跨越障礙 ε（0）。

1.1 GM(1,1)模型建立與求解

記 x（0）為觀測值數列，且

用1—AGO生成一階累加生成序列

這樣新生成的數據弱化了原始數據的隨機性，使原來的數據明顯接近指數關系規律。對生成序列x（1）(k)建立白化微分方程：

其中，模型參數a,u分別稱為發展灰度和內生灰度。

對參數a，u進行最小二乘法估計，分別構造數據矩陣B及數據向量Y

則a，u的估計值為

解微分方程（1）后可以得到：

1.2 模型的檢驗

根據灰色理論，設：

（1）相對誤差

其中，ε為系統殘差，s為系統標準差。只有當C0,Δ,P,ε同時滿足一級或二級精度等級，模型才能夠稱為滿意的模型，具有較高的精度，預測的數據相對較為準確。精度等級如表1所示。

表1 精度檢驗等級參照表

1.3 灰色預測

表2為2001～2005年我國國有獨立核算工業企業的統計資料，由于原始數列數據量較少（只有五組），若要根據原始數列建立多元線性回歸模型，則所建立的模型就不能反應真實情況，對于預測與決策會產生較大的偏差，故引入灰色理論將原始模型進行數據的擴展。

表2 我國國有獨立核算工業企業統計資料

根據灰色理論，我們分別對工業總產值，就業人數與固定資產投資進行預測。鑒于灰色模型對短期數據的預測具有較好的擬合效果，故分別對三組原始數據進行灰色建模預測，并預測五組，然后將預測值與原始數據結合，達到多元線性回歸模型的建模條件，從而實現對原始數據的擴展。

經灰色擬合，所得到對工業總產值的微分方程的解為：

經過累減還原得到原始數據的擬合數據。經檢驗，該模型相對誤差=0.004372，關聯度η=0.996834，均方差比值C0=0.0211491，小誤差概率P=1，四項檢驗指標精度均為一級，通過檢驗，故可以進行預測。經預測，2006年工業總產值的為101770.67億元。

參照這種方法，我們還可以得到就業人數的白化方程為：

新增固定資產的白化方程為：

經檢驗，模型的擬合精度均達到了一級，故可以進行預測。經預測，2006年就業人數為18762.62萬人，新增固定資產投資為54251.41億元。

利用2006年的灰色預測值，結合原始數據重新建立模型進行預測，可以得到2007年的預測值。以此類推，可以得到2006～2010年的預測數據，如表3所示。

表3 工業企業總產值預測數據表

2 多元回歸模型

回歸分析就是一種處理變量間相關關系的數理統計方法。不僅可以提供變量間相關關系的數學表達式，而且可以利用概率統計知識對此關系進行分析，以判別其有效性；還可以利用關系式，由一個或多個變量值，預測和控制另一個因變量的取值，并進行因素分析。

我們考慮我國工業總產值只與職工人數與固定資產有關，且滿足線性關系：

其中，ε為隨機誤差項。

定義矩陣X，Y與參數矩陣B，且：

則參數B的最小二乘估計為：

經計算得到多元線性回歸模型為：

對該模型進行顯著性檢驗，得到統計量值為2248.261，通過查表可以認為回歸方程的效果較為顯著。

3 建議

從中國統計年鑒的統計數據可以看出，工業對整體國民經濟的貢獻率始終維持在40%左右，所以要發展經濟，就必須要重視工業的發展。

我們定義彈性E表示因變量y隨自變量x變化而變化的百分比，且

根據擬合的線性回歸方程，可以得出就業人數的工業總產值彈性為0.8134，新增固定資產的工業總產值彈性為0.60077。由于就業人數的彈性較大，故對就業人數的增加在短期內可以很明顯的提高工業總產值，且能促進國內消費與增加職工福利。

但是，國家調整的政策取決于國家的偏好：倘若國家更偏好于現期工業總產值的增加，則國家就會增加勞動力的投入而減少固定資產的投資，這樣必然影響到經濟長期增長的動力；如果偏好經濟長期的增長，就會將更多的資源配置在固定資產的投資上，那么現期工人的消費和福利勢必會受到影響。所以國家在做出決策的時候，要同時考慮這兩種因素的影響，在兩者之間做出一個均衡，使我國經濟持續、健康、穩定地發展。

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