關于歐拉方程的進一步討論

宋澤成

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

在現行的教材中，都把形如

的方程稱為歐拉方程，（其中 a1,a2,…, an是常數），并給出了其解法，如果定義形式僅局限于此，對于更深刻的理解歐拉方程，掌握歐拉方程的應用很不利，因此有必要將其從形式到解法進行推廣，使其應用更廣泛。

1 推廣的歐拉方程及解法

定義1 形如

的方程（其中 a, b, a1, a2,… ,an均為常數）稱為推廣的歐拉方程。

a=1，b=0則方程(2)轉化成方程(1)，因此方程(1)是方程(2)的特殊情況。

在方程（2）中令t=ax+b，則

代入(2)中得

即方程(2)也可轉化方程(1)，進一步可按方程(1)的解法求解方程(2)。

例1 求方程

的通解。

解 作變換 z= 2 x+ 1，則有

代入原方程得

方程(4)的通解為 y = c1z+c2z2

原方程的通解為

定義2 形如

的方程稱為非齊歐拉方程（其中 a1, a2,… ,an為常數）。當f( x) = 0時，方程(1)稱為齊歐拉方程。

一般地，可先求齊歐拉方程的通解，然后利用常數變易法求非齊歐拉方程的通解，但比較麻煩，因此對于 f( x)的一些特殊情況可以直接作變換將其轉化成常系數的線性方程，再利用歐拉待定指數函數法求解。

例2 求非齊歐拉方程

的通解。

解 作變換 x=eu，于是方程化為

利用待定系數法，求得(6)的通解為

將 u x=e代入上式，得到原方程的通解為

其中c1, c2為任意常數。

例3 求非齊歐拉方程

的通解。

解 作變換x=eu，于是方程化為

利用待定系數法，求得方程(7)的通解為

將x=eu代入上式，得到原方程的通解為

其中c1, c2為任意常數。

2 二階齊歐拉方程一種特殊解法

定理 對于二階齊歐拉方程

如果 a1=-a2，那么 y=x( x ≠ 0)是方程的一個特解，其通解為

代入方程(8)左邊得，左=a1x+a2x；又 a1=-a2，所以左=0=右，即y=x是方程（8）的特解。

通解的證明見文獻[1]。

例4 求歐拉方程

的通解。

解 因為a1=1，a2=-1，所以y=x是原方程的一個特解，那么方程的通解為

計算整理得