數據分布診斷對排隊模型優化影響——基于蘭州市某油庫排隊問題數據

蔣中華，張麗娟

（云南財經大學 商學院，云南 昆明 650221）

0 引 言

Q油庫位于甘肅省蘭州市，該油庫可通過公路輻射周邊地區60多座加油站和地區公司油庫，油庫現有5個裝油鶴位，其中兩個汽油裝油鶴位、三個柴油裝油鶴位（車輛到達后，排一條隊列，但在相應的鶴位空閑時，可插隊進入油庫接受服務，也就是說不存在柴（汽）油槽車等待和柴（汽）油鶴位空閑同時存在現象，隨著中轉量的增加，以及周邊加油站銷售量和輻射范圍的擴展，現有的公路發運設施顯現出明顯的能力不足現象，存在嚴重的槽車排隊等待現象，對油庫周轉率的提高、周邊成品油市場的穩定供應、運輸車輛的有效利用以及臨近馬路的正常行車都造成了很大影響。

2008年，該油庫管理部門提出了擴建公路發運設施、增加公路裝油鶴位的想法。在擴建過程中，油庫管理部門主要考慮兩個因素：一是滿足當前的發油任務，盡量減少運輸車輛排隊等待現象；二是按照降低投資成本、節約有限資源的要求，在滿足裝運任務的前提下，盡量減少發油鶴位的個數，減少資產設備的閑置。針對該問題，可選擇排隊論模型進行分析，以期為油庫管理部門提供科學決策。

運用排隊論解決問題，第一步要收集數據和建立排隊模型，第二步求解模型和優化方案，第三步檢驗模型和評價方案。在運用排隊論模型解決實際問題過程中，在數據的處理分析上，面對眾多的排隊模型，實際工作者容易誤用模型。

本文數據來源于文獻[1]，根據甘肅省蘭州市某油庫真實排隊數據，對比分析M/G/C/∞排隊模型與M/M/C/∞排隊模型的計算過程與計算結果，討論排隊模型應用過程中容易出現的問題，以期為研究者和實際工作者提供參考。

1 計算模型及數據分布診斷方法

1.1 模型及方法介紹

M/M/C/∞排隊模型假設服務機構有C個服務臺，顧客到達時，如果有空閑的服務臺，那么顧客可以立即接受服務；如果C個服務臺都忙著，那么顧客排隊等待。排隊規則是所有的顧客排成一隊，當出現空閑服務臺時，依次接受服務。

M/G/C/∞排隊模型與M/M/C/∞的大部分條件相同，惟一不同在于每個顧客所需的服務時間的分布。在M/M/C/∞排隊模型中，顧客所需的服務時間服從指數分布，而在M/G/C/∞排隊模型中，顧客所需的服務時間是獨立同分布的。

在拿到排隊問題數據后，人們總希望它的總體的分布是一個已知的分布，以便為下一步的決策提供依據。數據分布診斷就是對樣本數據所來自總體的分布所做的假設檢驗，用以判斷用既定模型擬合數據的合理性。比較一個樣本和一個已知正態分布的最直觀的方法之一是Q-Q圖法，還包括Kolmogorov-Smirnov檢驗，Lilliefors正態性檢驗，Shapiro-wilk正態檢驗，χ2擬合優度檢驗等[2]。

Kolmogorov-Smirnov檢驗，χ2擬合優度檢驗可以用來檢驗正態分布、泊松分布、均勻分布、指數分布。

Kolmogorov-Smirnov檢驗的SPSS程序。選項為Analyze-nonparametric tests-1 sample K-S。具體的實現請見文獻[2]。

1.2 數據分布診斷

1.2.1 服務時間分布檢驗

采用SPSS15.0軟件對汽油車輛服務時間數據、柴油車輛服務時間數據進行描述分析，可以發現汽油車輛服務時間的均值是15分鐘，標準差為6.76分鐘，極差值為32.41分鐘，偏態值為1.71，峰度值為2.86。

柴油車輛服務時間的均值是15分鐘，標準差為7.07分鐘，極差值為47.34分鐘，偏態值為2.95，峰度值為13.11。

采用SPSS15.0軟件分別對汽油車輛服務時間數據、柴油車輛服務時間數據進行非參數Kolmogorov-Smirnov分布檢驗，得到分析結果如表1，從表1中可以看出，原假設H0為：汽油、柴油車輛服務時間數據的總體均服從指數分布。

表1

兩個檢驗的P值都近似為0，遠小于0.01、0.05，故不管在顯著性水平為0.01還是0.05的情況下，都拒絕原假設，認為汽油車輛服務時間、柴油車輛服務時間都不服從指數分布。兩種數據合并，進行檢驗，發現合并后的數據也不服從指數分布。

需要注意的是，在統計上，拒絕原假設是可信的，因為根據小概率事件幾乎不可能發生的原則，有不確定性度量的，即顯著性水平α，當檢驗的P值小于α時，我們認為該事件發生的概率很小，幾乎不可能發生。而不拒絕原假設，即當P值大于顯著性水平α時，是沒有不確定性度量的。

同樣的檢驗方法可得到，汽油車輛服務時間、柴油車輛服務時間都不服從均勻分布、正態分布。

1.2.2 到達時間間隔數據分布檢驗

采用SPSS15.0軟件對汽油車輛到達間隔時間數據、柴油車輛到達間隔時間數據進行描述分析，發現汽油車輛到達間隔時間的均值是10分鐘，標準差為9.11分鐘，極差值為59.7分鐘，偏態值為2.76，峰度值為13.22。

柴油車輛到達間隔時間的均值是6分鐘，標準差為4.84分鐘，極差值為22.78分鐘，偏態值為1.42，峰度值為2.55。

采用SPSS15.0軟件分別對汽油車輛到達間隔時間數據、柴油車輛到達間隔時間數據進行非參數Kolmogorov-Smirnov分布檢驗，得到結果如表2，由表2可知，在原假設H0：檢驗的樣本數據的總體分布與指數分布相同的情況下，檢驗的P值分別為0.15、0.05。

不管在顯著性水平為0.01時，P值都大于0.01，都不拒絕原假設，可以認為總體分布服從指數分布；在顯著性水平為0.05時，可以認為汽油車輛到達間隔數據服從指數分布，柴油車輛到達間隔時間數據不服從指數分布。

把柴油車輛、汽油車輛的到達間隔數據合并，進行Kolmogorov-Smirnov檢驗，結果見表2，不管是在顯著性水平為0.05的情況下，還是在顯著性水平為0.01的情況下，合并后的樣本數據均服從指數分布，不服從正態分布以及均勻分布。

對于實際應用者來說，以該分布檢驗為例，可以認為汽油車輛到達時間間隔、柴油車輛到達時間間隔服從指數分布。

表2

2 M/G/C/∞排隊模型與M/M/C/∞排隊模型計算結果分析對比

根據第二部分的數據分析可知，汽油、柴油車輛的到達時間可認為服從指數分布，但是汽油車、柴油車輛服務時間不服從指數分布，油庫裝車排隊系統采用M/M/C/∞模型并不科學。

若采用一般服務時間排隊模型，其他條件與M/M/C/∞模型一樣，假設總體的服務時間存在期望E（v）以及方差VAR（v）。如果顧客的到達參數為λ的最簡單流，ρ表示服務臺的利用率或者說服務強度，可以證明，當時，M/G/1/∞排隊系統具有統計平衡狀態[2]。

由第二部分計算得到汽油車輛到達時間間隔的均值為10（分鐘），柴油車輛到達時間間隔的均值為6（分鐘），汽油、柴油車輛服務時間的均值為15（分鐘），標準差分別為6.76（分鐘）、7.07（分鐘）。

2.1 根據以上的數據分析，考慮采用一般服務時間排隊系統，即M/G/C/∞模型。

按照油庫當前的裝車鶴位數，S汽=2，S柴=3。采用WINQSB軟件進行排隊系統模擬計算[3]，可得到：

（1）汽油車的平均排隊長度為Lq=1.16，柴油車的平均排隊長度為Lq=2.15，系統整體排隊長度為Lq=3.31。

（2）汽油車的平均等待時間Wq=11.6分鐘，柴油車的平均等待時間Wq=12.87分鐘。

（3）汽油鶴位空閑的概率為14.29%，柴油鶴位空閑的概率為4.49%。

（4）排隊系統中平均的汽油車數量L汽=2.66，排隊系統中平均的柴油車數量L柴=4.65。

2.2 若采用M/M/C/∞排隊模型，采用WINQSB軟件計算結果為：

（1）汽油車的平均排隊長度為Lq=1.93，柴油車的平均排隊長度為Lq=3.51，系統整體排隊長度為Lq=5.44。

（2）汽油車的平均等待時間Wq=19.2分鐘，柴油車的平均等待時間分鐘Wq=21分鐘。

（3）汽油鶴位空閑的概率為14.29%，柴油鶴位空閑的概率為4.49%。

（4）排隊系統中平均的汽油車數量L汽=3.43，排隊系統中平均的柴油車數量L柴=6。

3 結 論

由上例的比較分析發現，采用M/G/C/∞模型計算得到的平均排隊長度與采用M/M/C/∞排隊模型得到的平均排隊長度相差很大，汽油車、柴油車的平均等待時間也少了近一半。顯然，若根據M/M/C/∞排隊模型的計算結果，在油庫管理層為了解決排隊問題而增加更多的成本投入的過程中，極有可能導致低效率的成本投入。

我們知道，M/G/C/∞排隊模型與M/M/C/∞的條件大部分相同，惟一不同在于每個顧客所需的服務時間的分布，可以說M/M/C/∞是M/G/C/∞排隊模型的特例。在我們不知道服務時間的具體分布時，或者服務時間不服從指數分布時，用M/G/C/∞排隊模型更恰當。

由上述可知，在應用排隊論模型解決實際問題的過程中，要對采集得到的數據進行分析診斷；在建立模型時，要根據實際樣本數據的分布來選用合適的模型，M/G/C/∞模型比M/M/C/∞模型的要求條件更寬松，這樣建立的排隊模型更科學。

[1]魯克鵬，孫永風.排隊論在成品油公路發運設施建設中的應用研究[J].科學決策，2009(3):82－86.

[2]吳喜之.非參數統計[M].北京：中國統計出版社，2008.

[3]沈榮芳,等.運籌學高級教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]徐玖平，胡知能,等.運籌學—數據·模型·決策[M].北京：科學出版社，2006.