步進電動機運行曲線的優化算法與仿真

張海英，胡金高

(福州大學，福建福州350108)

0 引 言

步進電動機開環控制因其控制相對簡單，成本較低，廣泛應用于傳統的經濟型數控系統中。步進電動機結構特殊，磁路狀況復雜，難以精確建模分析，但它依然滿足一定的電路方程，其轉矩產生機理和傳統電機也是類似的。在開環情況下，過快過慢的升降速或過大的負載都有可能引起失步，為保證電機不失步，需留有相適應的余量，性能除和升降頻控制有關外，和驅動部分也有很大關系，不同的機械負載也會影響到控制性能。由于開環控制是它控的，通常較難得到與負載相適應的平穩升降速控制性能，但在要求高速平穩運行的場合就須給出適當的步進電動機升降速控制過程，以滿足實際應用需要。

本文以步進角基本可連續控制的三相細分驅動的混合式步進電動機為研究對象，在電機運動控制方程和轉矩公式的基礎上建立步進電動機模型，以具體傳動應用為例，為滿足不同轉速和不同負載的需要，研究步進電動機運行曲線的優化算法，并通過仿真給出了普通算法和優化算法的效果比較。

1 步進電動機數學模型

通用的電機運動方程:

式中:ω為電機轉子角速度;Jm為轉子轉動慣量;JL為折算到電機軸上的負載轉動慣量;D為系統粘阻尼系數;Te為電機電磁轉矩;TL為折算到電機軸上的負載轉矩。

混合式步進電動機電磁轉矩近似為失調角電角度的正弦函數:

式中:Tsm表示轉矩峰值;Δθ為機械失調角，即定子旋轉磁場矢量與轉子位置的夾角;Zr為電機轉子齒數。

2 電機運行曲線設計

圖1 S形升降頻曲線

電機運行曲線的設計，對電機平穩運行、精確定位等有著至關重要的作用。考慮到應用時曲線的軟件實現不宜太復雜，為了使起動和停止更平滑，這里采用S形升降頻曲線。為了簡化計算，采用斜線與單周期正弦曲線的疊加形成，所得曲線如圖1所示，對應曲線方程如下:

式中:f0為起動頻率;k為升頻段平均斜率;A為正弦波幅值;ω為升頻段正弦波角速度;Tr為升頻過程時間，亦為降頻起點;fr為該曲線最高頻率;k2為降頻段平均斜率;ω2為降頻段正弦波角速度;Tm為頻率截止時間。且有:

式中:Qr為升降比例系數;Qa為S形彎度系數;fe為終止頻率;Tf為降頻過程時間。

在電機循環定位控制應用中，往往考慮機電平穩性和系統其他部件動作協調配合要求，并不都以最快速度完成定位。故給定控制量除了定位位移，還有定位時間，升降頻運行曲線的設計需滿足給定控制量的要求。若到達給定位移需轉過S個步距角，則需輸出S個控制脈沖。式(3)頻率方程對時間t的積分等于時間Tm內的脈沖總數，在數值上等于頻率曲線f(t)與時間軸所圍成的面積，又由于正弦曲線的對稱性，該面積可以簡化為同斜率直線段與時間軸圍成的面積，可得脈沖總數表達式:

由式(1)可知，最大加速度受運行條件(如最大電磁轉矩及負載慣量等)的限制，若對應的升頻平均斜率為kmax，則k的取值范圍為［kmin，kmax］，一般kmin取較小正數。若給定定位脈沖數S，定位時間Tref，當S足夠小，則脈沖截止時間提前;當S足夠大，則脈沖截止時間推后。故若已知f0、fe、Qa、Qr、S、Tref，將給定S分三個區間計算式(3)中的曲線參數:

(1)當0＜S≤Sshort時，k=kmin，代入式(4)、式(5)可解得:

式中:a=kQr;b=(f0+fe)+(f0-fe)Qr。

(2)當Sshort＜S＜Slarge時，Tm=Tref，代入式(4)、式(5)可解得:

(3)當S≥Slarge時，k=kmin，代入式(4)、式(5)可得式(6)。

式(6)中，Sshort為k=kmin、Tm=Tref時脈沖數S;Slarge為k=kmax、Tm=Tref時脈沖數S。

一般取f0=fe，折中考慮取Qa=0.5、Qr=0.5，那么對于給定的S，總可以找到最佳參數f0來匹配Tref。

3 不同定位時間下優化算法

在實際應用中，對于不同定位位移、不同定位時間設計不同升降頻曲線是不切實際的。通常對某一定位位移以最短定位時間Tmin對應的頻率曲線作為頻率基線，并以延時數據表的形式存儲至處理芯片中，直接調用。對于不同定位時間的頻率曲線則是對頻率基線的比例縮放獲得。具體處理方法如下:

取定位時間Tb對應的頻率曲線作為頻率基線，則對于定位時間Tref的比例系數頻率基線上的頻率點(t*，f*)對應于當前頻率曲線上點(t′*，f′*)，有

故當前頻率曲線方程:

式中，各曲線參數取頻率基線對應參數值。

若處理芯片為16位機，取定位時間Tb對應的頻率曲線作為頻率基線，延時表數據為:

式中:Δt為Tb下單步延時時間;Tint為脈沖發生器程序耗時。

對于任意一定位時間Tref，對應的單步延時定時器設置時間為:

其中，T′ref為實際定位時間。若Tref≥Tmin，則T′ref=Tref，否則T′ref=Tmin。

本文以某一數控系統中移框驅動為例，移框電機采用三相細分驅動的混合式步進電動機，電機型號為110BYG350C，技術參數:轉子齒數50，步距角1.2°，相電流3 A，驅動電壓220 V(AC)，保持轉矩16 N·m，轉子轉動慣量16.8 kg·cm2。采用每轉10 000細分的步進電動機驅動器，脈沖發生器輸出脈沖經10倍頻后，輸出到電機驅動器，脈沖發生器脈沖轉換當量為0.1 mm/p。粘性摩擦系數一般很小，取D=0.05。

在很多數控系統中，如服裝業的電腦繡花機、印刷電路板打孔機等，主軸轉動一圈要求XY移框一定位移。本例設主軸轉速為n，移框時主軸轉過角度為210°(移框角為250°，定位角為100°)，則定位時間，最短定位時間Tmin對應最高允許轉速nmax，頻率基線定位時間Tb對應轉速nb。

以定位位移6 mm(S=60)為例，在特定負載(TL=0.52 N·m，JL=76.8 kg·cm2)下，最高允許轉速nmax=800 r/min，對應最佳參數為f0=620 Hz，并將此參數對應曲線作為頻率基線，分析主軸轉速n從100～800 r/min逐級增加的仿真波形，記錄各級最大超調量，并描繪如圖2所示。

若取nb=450 r/min，對應最佳參數為f0=100 Hz，并將此參數對應曲線作為頻率基線，分析主軸轉速n從100～800 r/min逐級增加的仿真波形，記錄各級最大超調量，并描繪如圖3所示。從圖中可以看出，中低速段ΔS非常小，不超過0.03 mm，但n超過650 r/min后，誤差急劇增大，當n=730 r/min時，電機失步。所以取nb=450 r/min，對中低速性能明顯改善，但要犧牲最高允許轉速。

圖2 S=60，按nb=800 r/min時最大超調量分布圖

圖3 S=60，按nb=450 r/min時最大超調量分布圖

nb=800 r/min和nb=450 r/min各有千秋，取長補短，采用高低速兩條基線的方法，具體方案如下:取nL、nH兩個基準轉速下的兩條最優升降頻曲線作為頻率基線，其中nL取中低轉速(可取0.6nmax)，nH取最高允許轉速。當前轉速n越接近這兩個基準轉速中的一個，則對應的這條基線占更大權重，也即采用加權平均法得到不同轉速下的頻率曲線。將轉速劃分為L、H兩個語言值，其隸屬度分別用符號μL、μH表示，其隸屬函數如下:

(1)當n≤nL時，μL=1，μH=0;

(2)當nL＜n＜nH時，μL

(3)當n≥nH時，μL=0，μH=1，且降速到nH運行。

在運行環境不變的情況下，取前面兩條基線作為高低速基線，即nH=800 r/min，nL=450 r/min，按加權平均法得到優化的頻率曲線，分析主軸轉速n從100～800 r/min逐級增加的仿真波形，記錄各級最大超調量，并描繪如圖4所示。對比圖2和圖3，采用兩條曲線加權平均法，能夠充分利用兩條曲線各自的優勢，既保證了最高允許轉速，又大大減小定位誤差，取得良好的性能。采用這種方案，只增加一倍的內存空間，實現簡單，只要先分別計算出當前轉速對應兩條基線的單步延時時間，再用加權平均法得到最終的延時時間。

圖4 S=60，nH=800 r/min，nL=450 r/min時最大超調量分布圖

4 不同負載下優化算法

在實際應用中，負載參數并不固定，升降頻曲線的設計要滿足不同負載的需要，也即適應性要強。而開環控制的缺點，就是負載適應范圍小。但針對不同負載設計不同軟件，增加了版本管理的難度，是不可行的。這就要求在設計升降頻軟件時，考慮到負載的變化，并采取相應的解決措施。

以定位位移6 mm(S=60)為例，在特定負載(TL=0.52 N·m，JL=76.8 kg·cm2)下，取nH=800 r/min，nL=450 r/min，由對應最佳參數建立兩條頻率基線，并采用加權平均法得到其他轉速下的頻率曲線。若主軸轉速n=600 r/min，改變(TL、JL)±80%，仿真得給定位移曲線Sg與實際位移曲線S的波形比較圖分別如圖5、圖6所示。若主軸轉速n=800 r/min，增加TL、JL，超調較大甚至失步，減小TL、JL雖有一些超調，但在可接受范圍內，仿真波形略。

也就是說，低速下頻率曲線對負載的適應能力強，中高速下負載減小時有一些超調，但在可接受范圍內，而負載增大對運行效果影響較大。若取大負載為參考建立頻率基線，負載適應能力加大，但犧牲了最高允許轉速。負載增大，最高允許轉速必然要降低，否則會失步;負載減小，最高允許轉速可適當上調，減小超調。這就要求根據負載情況對不同定位位移的最高允許轉速進行修正。在實現時，可在人機界面開放一個負載系數，程序根據負載系數，修正不同定位位移的最高允許轉速。

以針長6 mm(S=60)為例，TL=0.52 N·m，JL=76.8 kg·cm2，負載系數kL由0.25～2逐級增大，頻率曲線仍采用原兩條基線加權平均獲得，仿真不同負載下的最高允許轉速(要求ΔS＜0.1 mm)。表1給出了不同負載下的最高允許轉速nH，為了簡化修正方法，用n′H近似替代nH。

圖5 n=600 r/min，(TL、JL)-80%的仿真波形

圖6 n=600 r/min，(TL、JL)+80%的仿真波形

表1 S=60，不同負載下的最高允許轉速

取開放設置的負載系數為0.4～1.8，超過部分取邊沿值，在特定負載(kL=1)下獲得頻率基線，對應最高允許轉速為nmax，則簡化的修正公式:

必須指出的是，這里nH的修正只會影響轉速限定和權值μL、μH，頻率基線不變。且最高允許轉速還受主軸極限轉速的限制。

采用nH修正，主軸轉速n=600 r/min，改變(TL、JL)+80%，仿真結果如圖7所示。與圖6相比，大大減小了超調量，實現精確定位。

圖7 采用nH修正后的仿真波形′

5 結 語

本文從S形升降頻曲線方程的設計出發，提出了延時數據表在不同轉速下的應用方法。通過仿真不同轉速下運行效果，提出了有效的改進方案，即采用高低速兩條頻率基線加權平均法獲得不同轉速頻率曲線，以平衡高低速的矛盾。通過仿真不同負載下運行效果，也提出了有效的改進方案，即采用負載參數可設，并根據負載參數修正nH的方法，這種方法能有效地提高負載適應能力，避免了負載變化時的振蕩和失步現象，切實提高了限時定位的要求。

雖然仿真證實，不同負載可以通過參數修正達到更好的運行效果，但是對于由安裝不平衡、接觸面不平滑等原因引起的負載突變，仍然需要模擬閉環系統或先進的自適應控制理論來識別，有待進一步研究。

［1］ 方玉甫.步進電機自動升降速系統的研究與應用［D］.安徽:安徽理工大學，2003.

［2］ 鄭灼.基于DSP的無位置傳感器步進電機數字化控制研究［D］.杭州:浙江大學，1999.

［3］ 陳愛國，黃文玲，楊紅紅.步進電機升降速曲線的研究［J］.機電產品開發與創新，2003，2:47-49.

［4］ 余少知，李立新，陳文華.變化負載步進電機升降速曲線的計算［J］.機電工程，2004，21(4):20-22.

［5］ 劉亞東，李從心，王小新.步進電機速度的精確控制［J］.上海交通大學學報，2001，35(10):1517-1520.