非線性永磁同步電動機約束預測控制

林 輝，王永賓

(西北工業大學，陜西西安710129)

0 引 言

目前，在永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)伺服系統中，主要采用矢量控制、直接轉矩控制策略。上述策略在處理系統中的約束條件(主要是輸入飽和，輸出限幅)時，常采用傳統的抗飽和方法，即設計獨立的飽和補償器來減小由約束條件導致的系統性能惡化，這不僅增加了控制系統設計的復雜性，而且通常僅適用于某一類情況［1-2］。

線性預測控制(以下簡稱LMPC)是20世紀70～80年代發展起來的一種高級控制方法，其可以直接有效地處理系統中包含的輸入、狀態、輸出約束條件［3］。不同于傳統抗飽和方法，LMPC將求解最優控制率問題構造為包含約束條件的優化問題，采用線性規劃方法系統地設計預測控制器。然而，對于PMSM這樣的非線性被控對象，需采用非線性預測控制(以下簡稱NMPC)方法。由于非線性規劃是非凸規劃，迭代算法有可能收斂于局部極小點，而且計算量巨大，這使得NMPC無法應用于實時系統［4-5］。反饋線性化(以下簡稱FBL)是一種重要的非線性控制方法。該方法利用非線性狀態反饋和微分同胚坐標變換將非線性模型轉換為線性模型，當系統不存在零動態問題時，結合線性系統控制理論，可以很容易得到非線性系統控制率［6］。

本文中，針對帶有輸入約束條件的PMSM伺服系統，提出FBL與LMPC聯合控制方法;對設計過程中存在的約束條件映射問題，提出一改進方法。通過仿真實驗，將FBL-LMPC與FBL-極點配置方法的控制效果進行比較。

1 線性預測控制原理

下面以單輸入/單輸出系統為例，對預測控制原理進行說明，對于多輸入/多輸出系統，具有類似的結論。系統狀態方程如下:

式中:u(k)、x(k)、y(k)分別為輸入(控制)、狀態和輸出變量;A、B、C為相應維數的系數矩陣。假設在時刻k，通過測量狀態變量x(k)獲得系統的當前信息，控制變量預測序列表示為:

式中:Nu為控制時域;u(k+j|k)表示在k時刻預測的未來k+j時刻輸入變量值，j=0，1，…，Nu-1;針對其它變量，該表示法具有相同含義。根據當前狀態變量x(k)和式(1)，可以得到輸出變量預測序列:

式中:Np為預測時域，Nu≤Np;I為單位矩陣;當Nu≤j≤Np時為了便于分析，將式(3)重新寫成矩陣形式:

式中:F=［CA，CA2，…，CANp］T;

Y=［y(k+1|k)，y(k+2|k)，…，y(k+Np|k)］T。假定預測時域內參考信號為一常數，即:為k時刻的參考信號。LMPC的控制目標是在預測時域內求解最優控制預測序列u(k+j)|k)，使預測輸出盡可能接近參考信號。因此，定義二次型指標函數:

式中，R為控制預測序列權矩陣。將式(4)代入式(5)中，二次型指標函數可重新寫為:

在無約束條件下，可以通過對指標函數求導求解最優控制預測序列，從而得到:

得到最優控制預測序列U后，根據滾動優化策略，系統僅將u(k)=u(k|k)作為實際控制變量作用于系統，其它時刻預測控制變量將被拋棄。在時刻k+1，重新測量系統最新狀態信息x(k+1)，并重復上述優化過程。

在實際控制系統中，為應對因為裝置的非線性和干擾等因素導致的模型失配，必須引入反饋校正。其方法是測出當前裝置的輸出與模型輸出之差，然后從參考軌跡中減去這一偏差，得到新的控制序列:

式中:l表示一個矢量由于k+1，…，k+Np時刻還未到來，所以上述時刻真實輸出值是未知的，這里假設當前(k時刻)的偏差將連續以相同水平進入未來時刻［7］，如式(8)。

上述是無約束LMPC優化求解過程，在系統有輸入和輸出約束條件時:

由指標函數式(6)和約束條件式(1)、式(9)共同構成新的控制序列尋優問題。式(6)中，矩陣ΦTΦ+R為正定矩陣，因為指標函數J表示為二次型，而約束表示為線性不等式形式，新的尋優問題變成標準的二次規劃問題。通過積極域法或內點法，可以迅速求解出二次規劃問題的最優控制變量數值解序列。結合上面提到的滾動優化策略和反饋校正，構成了約束線性預測控制。

2 PMSM反饋線性化

本文選擇隱極PMSM，忽略寄生磁阻轉矩;在同步旋轉坐標系(dq)中，使d軸與轉子磁鏈重合，得到狀態方程:

式中:id、iq、ud和uq分別為d、q軸電樞電流、電壓;ωr為轉子角速度;Rs為電樞電阻;L為電樞電感;Ψr為轉子磁鏈;B為摩擦系數;J為總轉動慣量;p為極對數;Tl為負載轉矩。系統狀態變量和控制變量分別為x=［idiqωr］T，u=［uduq］T，選擇直軸電流和轉速作為輸出變量，將式(10)寫為仿射非線性形式:

根據微分幾何理論［8-9］，首先確定式(11)的相對階，對輸出變量h1(x)、h2(x)分別求李導數:

式中:Lgh1(x)≠0，LgLfh2(x)≠0可知系統相對階r=3，滿足反饋線性化條件，并且不存在零動態問題［10］。因此，可以通過微分同胚坐標變換:

和非線性狀態反饋:

3 約束條件映射

得到式(15)后，對式(11)中的約束條件作相應的映射。因為該映射是基于式(14)非線性映射，這使得原線性不等式約束條件變換成非線性、與狀態變量相關的不等式約束條件，必須在每一采樣時刻進行映射變換。式(14)的映射反變換可寫為:

在時刻k，為了得到虛擬輸入變量v的約束條件，需求解下列優化問題:

并服從于約束條件:

很顯然，求解虛擬輸入變量約束條件需要輸入預測序列u(k+j|k)和狀態預測序列x(k+j|k);而輸入和狀態預測序列需求解線性預測控制問題后才可獲得;進而在新系統約束條件未知的情況下，線性預測控制問題無法求解。因此，式(17)、式(18)所表述的優化問題，只有通過非線性規劃或數值迭代方法求解。這樣一來，將嚴重削弱由FBL-LMPC所帶來的減小計算量的優勢，影響系統實時性。

因為僅k時刻約束條件對系統起作用，對于虛擬輸入變量約束vmin(k+j|k)和vmax(k+j|k)，j≥1可以進行近似計算。文獻［2］與文獻［11］分別提出了常值約束和可變約束方法獲得近似虛擬輸入變量約束條件。上述兩種方法克服了NMPC計算量大的缺點，但是由于沒有考慮系統誤差對約束條件映射的影響，造成求解的優化輸入預測序列過于保守或激進。

由式(8)可得:

即系統誤差可以通過在輸入變量上加一附加項來補償。假設LMPC在時刻k-1產生輸入虛擬序列:

V(k-1|k-1)=［v(k-1|k-1)，v(k|k-1)，…，v

(k+Np-2|k-1)］T。第一輸入變量v(k-1|k-1)將被作用于系統，剩余輸入變量作為時刻k的近似預測值:

其中，直接擴展第Np-1個輸入變量得到第Np個輸入變量，對上式進行反饋校正:

這里仍假設當前(k時刻)的偏差將連續以相同水平進入未來時刻。當前狀態變量測量值x(k)通過式(13)計算出線性化模型狀態變量z(k)，然后根據式(15)和式(21)產生線性化模型近似狀態預測序列:

式中:z(k|k-1)=z(k)。利用式(22)以及式(13)的反變換可以計算得到式(11)的近似狀態預測序列:

對于非線性優化問題式(17)、式(18)，用x(k+j|k-1)代替x(k+j|k)后，優化問題轉化為包含u(k+j|k-1)的線性優化問題，避免求解原NMPC問題。在下一采用時刻，利用輸入變量序列V(k|k)和測量狀態x(k+1)重復上述過程。

該方法一個顯著特點是，在k時刻作用于系統的輸入變量v(k)所對應的約束條件vmin(k|k-1)，vmax(k|k-1)是采用真實狀態測量值x(k)計算得到的，所以完全滿足實際約束條件。與上述兩種方法相比，通過改進方法得到的約束條件在整個預測時域Np上，與實際約束條件更加一致，有利于提高系統性能和系統魯棒性。

4 仿真實驗分析

本文中，控制目標是使輸出轉速ωr快速跟蹤給定轉速，同時，為了實現磁場定向矢量變換控制，使d軸電流為零。僅對輸入變量設置約束條件:

表1 主要參數

對于FBL-LMPC方法，根據上述內容，可以定義指標函數:

式中:Wω、Wd是各項對應權系數，并設置為Wω=27，Wd=26。根據第三節所述內容，將式(24)映射至線性坐標空間。由此，可將原NMPC問題轉換為LMPC問題，借助Matlab提供的二次規劃解算器，可以得到虛擬輸入變量v=［v1v2］T，再通過式(14)進行反變換，可以得到實際輸入變量u=［uduq］T。FBL-LMPC閉環控制框圖如圖1所示，線性化模型部分實現模型線性化和約束映射功能;線性預測控制器則根據線性化模型進行設計。

圖1 FBL-LMPC閉環控制框圖

對于FBL-極點配置方法，根據極點配置定理，通過狀態反饋配置系統式(15)的3個極點(特征值)，狀態反饋矩陣為狀態反饋矩陣與3個特征值的推導關系為a10=-λ1，a21=λ2λ3，a22=-(λ2+λ3)，并確定反饋系數為a10=494，a21=123.6，a22=15.72。

圖3中，FBL-極點配置方法為了消除系統非線性影響，導致控制變量峰值非常大，達到1 000 V。在無約束的情況下，系統根本無法實現，這也是該方法的一個缺點。圖2中，無約束時，系統動態響應速度很快，超調量較小，可以滿足系統的要求;在對輸入采用抗飽和方法限幅后，系統出現嚴重滯后，在達到穩態值后，出現小幅振蕩現象，過渡時間延長。

圖2 FBL-極點配置控制速度響應波形

圖3 FBL-極點配置控制uq響應波形

圖5中，在無約束時，與上一方法比較，控制變量峰值顯著減小;圖4中，速度響應速度很快，而且沒有超調。在有約束時，轉速上升階段響應有一滯后，但仍在0.36 s達到穩態值，響應時間與無約束情況基本一樣，而且同樣沒有超調。這一結果驗證了LMPC對約束控制的優越性和有效性。

圖4 FBL-LMPC控制速度響應波形

圖5 FBL-LMPC控制uq響應波形

圖6、圖7中，兩種方法均使id趨向于零，然而，從減小焦耳損耗的角度來看，FBL-LMPC方法的控制效果更好。

圖6 FBL-LMPC控制id響應波形

圖7 FBL-極點配置控制id響應波形

5 結 語

FBL方法是解決非線性問題的一種有效方法，LMPC則可以系統地將約束條件包含在控制器設計中，充分利用兩者的優勢，采用FBL-LMPC的聯合控制方法設計帶有約束條件的PMSM伺服系統，同時解決了系統非線性和約束控制給控制器設計帶來的困難。仿真實驗結果表明了該方法可改善系統靜動態性能，提高系統實時性和魯棒性。

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